Regarder la vidéo et réfléchir à deux conditions simples permettant d'assurer la chute de tous les sucres.
Principe de récurrence
Principe
Soit
P_n
une propriété dépendant de l'entier naturel
n
. Supposons que :
• il existe un entier
n_0
tel que
P_{n_0}
soit vraie(initialisation);
• pour tout entier naturel
, si
P_n
est vraie, alors
P_{n+1}
est vraie(hérédité).
Alors,
P_n
est vraie pour tout entier naturel
.
Principe de récurrence - Exemple
On considère la suite
définie par
u_0=0
et, pour tout entier naturel
n
,
u_{n+1}=u_n+2n+1
.
On calcule les premiers termes de la suite :
u_0=0
;
u_1=1
;
u_2=4
;
u_3=9
.
On souhaite démontrer que, pour tout entier naturel
n
,
u_n=n^2
.
Pour tout entier naturel
n
, on pose
P_n
:« \(u_n=n^2\)».
• Initialisation
u_0=0
et
0^2=0
.
u_0=0^2
donc
P_0
est vraie.
• HéréditéSoit
n
un entier naturel fixé.On suppose que
u_n=n^2
.On montre que
u_{n+1}=(n+1)^2
. D'après la définition de la suite, on sait que
u_{n+1}=u_n+2n+1
.On a donc, d'après l'hypothèse de récurrence,
u_{n+1}=n^2+2n+1
.D'après la première identité remarquable,
u_{n+1}=(n+1)^2
et ainsi
P_{n+1}
est vraie.
• ConclusionPar récurrence,pour tout
,
u_n=n^2
.