(***) Principe de récurrence

Regarder la vidéo et réfléchir à deux conditions simples permettant d'assurer la chute de tous les sucres.

Principe

Soit 

P_n

une propriété dépendant de l'entier naturel

n

. Supposons que :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;il existe un entier 

n_0

tel que 

P_{n_0}

soit vraie(initialisation);

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;pour tout entier naturel

n \geqslant n_0

, si

P_n

est vraie, alors 

P_{n+1}

est vraie(hérédité).

Alors, 

P_n

est vraie pour tout entier naturel

n \geqslant n_0

.

On considère la suite 

(u_n)

définie par 

u_0=0

et, pour tout entier naturel

n

,

u_{n+1}=u_n+2n+1

.
On calcule les premiers termes de la suite :

u_0=0

;

u_1=1

;

u_2=4

;

u_3=9

.
On souhaite démontrer que, pour tout entier naturel

n

,

u_n=n^2

.
Pour tout entier naturel

n

, on pose 

P_n

:«  \(u_n=n^2\)».

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Initialisation

u_0=0

et

0^2=0

.

u_0=0^2

 donc 

P_0

est vraie.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;HéréditéSoit 

n

un entier naturel fixé.On suppose que

u_n=n^2

.On montre que

u_{n+1}=(n+1)^2

.   D'après la définition de la suite, on sait que

u_{n+1}=u_n+2n+1

.On a donc, d'après l'hypothèse de récurrence,

u_{n+1}=n^2+2n+1

.D'après la première identité remarquable, 

u_{n+1}=(n+1)^2

et ainsi

P_{n+1}

est vraie.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;ConclusionPar récurrence,pour tout

n \in \mathbb{N}

,

u_n=n^2

.

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