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Le rectangle d'or

L'objectif de cette activité est d'étudier les proportions du rectangle appelé «

Sommaire

Activité complèteLe rectangle d'or
Étape par étapeQuestion préliminairePartie A - Étude du rectangle d'orPartie B - Application

Activité complète

Le rectangle d'or

L'objectif de cette activité est d'étudier les proportions du rectangle appelé «
 \,
rectangle d'or
 \,
» .
Question préliminaire
Résoudre l’équation
x^2-x-1=0
.
Donner les valeurs exactes de ses solutions ainsi que les valeurs approchées à
10^-3
 près.
Partie A - Étude du rectangle d'or
Soit
\text{ABCD}
un rectangle, non aplati, de longueur 
L
et largeur
ℓ\ellℓ
.
Soit
\text{EBCF}
le rectangle obtenu en retirant le carré de coté 
[AD]\text{[AD]}[AD]
(voir figure ci-dessous).
On dit que
ABCD\text{ABCD}ABCD
est un rectangle d’or si on a
\frac{\text{AB}}{\text{AD}}=\frac{\text{BC}}{\text{FC}}
.
1.Démontrer que si
\text{ABCD}
est un rectangle d’or alors on a
Lℓ=ℓL−ℓ\dfrac{L}{\ell}=\dfrac{\ell}{L-\ell}ℓL​=L−ℓℓ​
.
2.Soit
x=Lℓx=\dfrac{L}{\ell}x=ℓL​
. Démontrer que l’égalité établie à la question précédente est équivalente à
x^2-x-1=0
. On obtient donc une équation du second degré.
3.Résoudre l'équation précédente. La solution positive de cette équation s’appelle nombre d’or et on l’indique souvent avec la lettre grecque
\phi
. Donner la valeur exacte de 
\phi
puis une valeur approchée à
10−210^{-2}10−2
près.
Partie B - Application(d'après le sujet national d'Olympiades 2024 de première)
Considérons deux rectangles identiques
\text{ABCD}
et 
A′B′C′D′\text{A}^{\prime} \text{B}^{\prime} \text{C}^{\prime} \text{D}^{\prime}A′B′C′D′
 de longueur 
L
et largeur 
ℓ\ellℓ
disposés comme dans la figure ci-dessous. Démontrer que les points
ACB′\text{A} \text{C} \text{B}^{\prime}ACB′
sont alignés lorsque
Lℓ\frac{L}{\ell}ℓL​
est le nombre d'or. 

Étape par étape

Question préliminaire

Résoudre l’équation
x^2-x-1=0
.
Donner les valeurs exactes de ses solutions ainsi que les valeurs approchées à
10^-3
 près.

Partie A - Étude du rectangle d'or

Soit
\text{ABCD}
un rectangle, non aplati, de longueur 
L
et largeur
ℓ\ellℓ
.
Soit
\text{EBCF}
le rectangle obtenu en retirant le carré de coté 
[AD]\text{[AD]}[AD]
(voir figure ci-dessous).
On dit que
ABCD\text{ABCD}ABCD
est un rectangle d’or si on a
\frac{\text{AB}}{\text{AD}}=\frac{\text{BC}}{\text{FC}}
.
1.Démontrer que si
\text{ABCD}
est un rectangle d’or alors on a
Lℓ=ℓL−ℓ\dfrac{L}{\ell}=\dfrac{\ell}{L-\ell}ℓL​=L−ℓℓ​
.
2.Soit
x=Lℓx=\dfrac{L}{\ell}x=ℓL​
. Démontrer que l’égalité établie à la question précédente est équivalente à
x^2-x-1=0
. On obtient donc une équation du second degré.
3.Résoudre l'équation précédente. La solution positive de cette équation s’appelle nombre d’or et on l’indique souvent avec la lettre grecque
\phi
. Donner la valeur exacte de 
\phi
puis une valeur approchée à
10−210^{-2}10−2
près.

Partie B - Application

Considérons deux rectangles identiques
\text{ABCD}
et 
A′B′C′D′\text{A}^{\prime} \text{B}^{\prime} \text{C}^{\prime} \text{D}^{\prime}A′B′C′D′
 de longueur 
L
et largeur 
ℓ\ellℓ
disposés comme dans la figure ci-dessous. Démontrer que les points
ACB′\text{A} \text{C} \text{B}^{\prime}ACB′
sont alignés lorsque
Lℓ\frac{L}{\ell}ℓL​
est le nombre d'or. 
 (d'après le sujet national d'Olympiades 2024 de première)