Définitions Soit
,
,
trois réels et
non nul. Soit
la fonction polynôme du second degré, définie sur
par
.
L'équation
ax^2 + bx + c = 0
s'appelleéquation du second degré.
Le discriminantde l'équation du second degré, noté
\Delta
, est le réel :
\Delta = b^2 - 4 a c
.
• Résoudre une équation du second degré, c'est déterminer, s'ils existent, les réels
tels que
.
• On appelleracinede la fonction polynôme du second degré
toute solution de l'équation
.
PropriétéRésolution d'une équation du second degréSoit
,
,
trois réels et
non nul. Soit
la fonction polynôme du second degré définie sur
par
.
On considère l'équation du second degré :
ax^2 + bx + c = 0
.
• si
\Delta > 0
, l'équation admet deux solutions réelles distinctes
x_1 = \frac{-b-\sqrt \Delta}{2a}
et
x_2 = \frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}
;
• si
\Delta = 0
, l'équation admet une unique solution réelle. Dans ce cas, on dit que la fonction polynôme du second degré
admet une racine double.
x_0 = \frac{-b}{2a}
;
• si
\Delta < 0
, l'équation n'admet pas de solutions réelles.
Remarque
Il n'est pas utile de calculer systématiquement le discriminant. Les solutions sont parfois évidentes (petites valeurs ou valeurs simples) et, parfois, on reconnaît la forme développée d'une identité remarquable.
Exemple
Soit l'équation du second degré
x^2-2x+1=0
. On reconnaît le développement de
(x-1)^2
au premier membre. On en déduit que l'équation admet une unique solution,
x=1
.
Démonstration
Idée de la preuve : transformer l'expression
pour se rapporter à une équation produit nul.
Quels que soient les réels
,
,
,
non nul :
On peut factoriser cette expression si et seulement si
\frac{b^2 - 4 ac}{4a^2}
est positif.
Le dénominateur étant strictement positif (c'est un carré et
est non nul), le signe ne dépend que du numérateur.
Ainsi :
• si
b^2 - 4 ac <0
, l'expression n'est pas factorisable et l'équation du second degré associée n'admet pas de solution réelle ;
• si
b^2 - 4 ac = 0
, alors l'expression devient
ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2
et, à partir de l'équation
a(x+\frac{b}{2a})^2 = 0
, comme
est non nul, on obtient une unique solution
x_0 = \frac{-b}{2a}
;
• si
b^2 - 4 ac >0
, alors l'expression est factorisable et on obtient
ax^2 + bx + c =a(x +\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}})(x +\frac{b}{2a}+ \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}})
ax^2 + bx + c =a(x +\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})(x +\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})
ax^2 + bx + c =a(x - \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a})(x - \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a})
, et donc l'équation du second degré devient l'équation produit nul
a(x - \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a})(x - \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}) = 0
.
étant non nul, on obtient deux solutions :
x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
et
x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
.Remarque
Dans le cas où le discriminant est strictement négatif, l'équation du second degré n'admet pas de solutionréelles. Il existe un ensemble plus grand que celui des nombre réels où toutes les équations du second degré ont deux solutions (distinctes ou confondues) : c'est l'ensemble des nombres complexes.
Résolution d'équation du second degré - Exemple 1
On souhaite résoudre l'équation du second degré
-x^2 +4x + 5 = 0
.
Ici
,
et
.
On calcule
\Delta = b^2 - 4 ac = 4^2 - 4 \times (-1) \times 5 = 16 + 20 = 36
.
Le discriminant étant strictement positif, l'équation du second degré admet deux solutions réelles :
x_1 = \frac{-b - \sqrt \Delta}{2 a} = \frac{-4 - \sqrt 36}{2 times (-1)}= \frac{-4 - 6}{-2 }= \frac{-10}{-2 }=5
et
x_2 = \frac{-b + \sqrt \Delta}{2 a} = \frac{-4 + \sqrt 36}{2 times (-1)}= \frac{-4 + 6}{-2 }= \frac{2}{-2 }=-1
.
Résolution d'équation du second degré - Exemple 2
On souhaite résoudre l'équation du second degré
8x^2 -8x + 2 = 0
.
Ici
,
et
.
On calcule le discriminant
\Delta = b^2 - 4 ac = (-8)^2 - 4 \times 8 \times 2 = 64 - 64 = 0
.
Le discriminant étant nul, l'équation du second degré admet une unique solution réelle :
x_0 = \frac{-b }{2 a} = \frac{-(-8) }{2 times 8}= \frac{1 }{2 }
.
Résolution d'équation du second degré - Exemple 3
On souhaite résoudre l'équation du second degré
.
Ici
,
et
.
On calcule le discriminant
.
Le discriminant étant strictement négatif, l'équation du second degré n'admet pas de solutions réelles.
Résolution d'équation du second degré - Exemple 4
On souhaite résoudre l'équation du second degré
x^2 -x - 1 = 0
.
Ici
,
et
.
On calcule
\Delta = b^2 - 4 ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 1 + 4 = 5
.
Le discriminant étant strictement positif, l'équation du second degré admet deux solutions réelles :
x_1 = \frac{-b - \sqrt \Delta}{2 a} = \frac{-(-1) - \sqrt 5}{2 times 1}= \frac{1 - \sqrt 5}{2 }
et
x_2 = \frac{-b + \sqrt \Delta}{2 a} = \frac{-(-1) + \sqrt 5}{2 times 1}= \frac{1 + \sqrt 5}{2 }
.
x_2
est appelé le nombre d'or.