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Forme factorisée et signe des fonctions polynôme du second degré

    • Si 

Sommaire

Forme factoriséeFactorisation - Exemple 1Factorisation - Exemple 2Factorisation - Exemple 3Factorisation - Exemple 4Représentation graphique des fonctions polynômes du second degré - Lien avec le discriminant
Tableaux de signes des fonctions polynômes du second degréTableau de signes - Exemple 1Tableau de signes - Exemple 2Tableau de signes - Exemple 3Tableau de signes - Exemple 4

Tableaux de signes des fonctions polynômes du second degré

À partir des valeurs de
a
 et de 
Δ\DeltaΔ
, on peut dresser le tableau de signes correspondant à une fonction du second degré
fff
.
Propriété
On a les cas suivants :

Tableau de signes - Exemple 1

On souhaite dresser le tableau de signes de la fonction
fff
, définie sur 
R\mathbb RR
par 
f(x) = -x^2 +4x + 5
.
On calcule 
\Delta = b^2 - 4 ac = 4^2 - 4 \times (-1) \times 5 = 16 + 20 = 36 > 0
.
La fonction s'annule deux foissur
R\mathbb{R}R

Forme factorisée

Propriété 
On considère une fonction polynôme du second degré 
fff
 définiesur 
R\mathbb{R}R
par 
f(x) = ax² + bx + c
, avec
aaa
, 
bbb
, 
ccc
 trois réels et 
aaa
 non nul.
    • Si 
Δ\DeltaΔ
 > 0,
f(x)
peut s'écrire sous forme factorisée
f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)
avec
x_1
et
x_2
les solutions de l'équation 
f(x)=0
.
    • Si 
Δ\DeltaΔ
 = 0, 
f(x)
peut s'écrire sous forme factorisée
f(x) = a(x-x_0)^2
 avec
x_0
la solution de l'équation 
f(x)=0
.
    • Si 
Δ\DeltaΔ
 < 0, on ne peut pas factoriser
f(x)
dans
\mathbbR
.
Exemples
1.On considère la fonction 
fff
 définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
f(x) = 8(x - 9)(x+3)
.
L'équation du second degré associée admet deux solutions réelles : 
x1=9x_1 = 9x1​=9
 et 
x2=−3x_2 = -3x2​=−3
.
2.On considère la fonction 
ggg
 définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
g(x) = 3x (x+12)
.
L'équation du second degré associée admet deux solutions réelles : 
x1=0x_1 = 0x1​=0
 et 
x2=−12x_2 = -12x2​=−12
.
3.On considère la fonction 
hhh
 définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
h(x) = -2(x-4,5)^2
.
L'équation du second degré associée admet une unique solution réelle : 
x0=4,5x_0 =4,5x0​=4,5
. 
4.La fonction carrée 
i(x) = x^2
 définie sur 
R\mathbb{R}R
 est sous forme factorisée avec 
a=1a=1a=1
 et 
x0=0x_0 = 0x0​=0
. 

Factorisation - Exemple 1

On souhaite factoriser 
f(x) = -x^2 +4x + 5
.
On calcule 
\Delta = b^2 - 4 ac = 4^2 - 4 \times (-1) \times 5 = 16 + 20 = 36 > 0
.
La fonction s'annule donc deux foissur
R\mathbb{R}R
 en
x1=−b−Δ2a=−4−362×(−1)=−4−6−2=−10−2=5x_1 = \dfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-4 - \sqrt{36}}{2 \times (-1)} = \dfrac{-4 - 6}{-2} = \dfrac{-10}{-2} = 5x1​=2a−b−Δ​​=2×(−1)−4−36​​=−2−4−6​=−2−10​=5
 et 
x2=−b+Δ2a=−4+362×(−1)=−4+6−2=2−2=−1x_2 = \dfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-4 + \sqrt{36}}{2 \times (-1)} = \dfrac{-4 + 6}{-2} = \dfrac{2}{-2} = -1x2​=2a−b+Δ​​=2×(−1)−4+36​​=−2−4+6​=−22​=−1
.
Alors 
f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) = -1(x-5)(x-(-1)) = -(x-5)(x+1)
.

Factorisation - Exemple 2

On souhaite factoriser
f(x) = 8x^2 -8x + 2
.
On calcule 
\Delta = b^2 - 4 ac = (-8)^2 - 4 \times 8 \times 2 = 64 - 64 = 0
.
La fonction 
fff
 s'annule donc une unique fois sur
R\mathbb{R}R
 en 
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-8)}{2 times 8} = \frac{1}{2}
.
Alors 
f(x) = a(x-x_0)^2 = 8(x-\frac{1}{2})^2
.

Factorisation - Exemple 3

On souhaite factoriser
f(x) = 3x^2 -2x + 1
.
On calcule 
\Delta = b^2 - 4 ac = (-2)^2 - 4 \times 3 \times 1 = 4 - 12 = -8 < 0
.
Le discriminant étant strictement négatif, il n'est pas possible de factoriser cette expression.

Factorisation - Exemple 4

On souhaite factoriser
f(x) = x^2 -x - 1
.
On calcule 
\Delta = b^2 - 4 ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 1 + 4 = 5 > 0
.
La fonction s'annule donc deux fois sur
R\mathbb{R}R
 en
x1=−b−Δ2a=−(−1)−52×1=1−52x_1 = \dfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-(-1) - \sqrt 5}{2 \times 1} = \dfrac{1 - \sqrt 5}{2}x1​=2a−b−Δ​​=2×1−(−1)−5​​=21−5​​
 et 
x2=−b+Δ2a=−(−1)+52×1=1+52x_2 = \dfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-(-1) + \sqrt 5}{2 \times 1} = \dfrac{1+ \sqrt 5}{2}x2​=2a−b+Δ​​=2×1−(−1)+5​​=21+5​​
 .
Alors 
f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) = (x-\frac{1-\sqrt5}{2})(x-\frac{1+\sqrt5}{2})
.

Représentation graphique des fonctions polynômes du second degré - Lien avec le discriminant

Dans ce fichier de géométrie dynamique, on considère une fonction polynôme du second degré dont la forme développée​​​​​est donnée par
f(x) = a x^2 + bx + c
, avec 
aaa
, 
bbb
, 
ccc
 trois réels, 
aaa
 non nul. On a calculé 
Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac
.
En modifiant les valeurs des curseurs 
aaa
 et 
Δ\DeltaΔ
, on observe l'influence de ces deux paramètres sur l'allure de la parabole représentative de la fonction ainsi que sur le nombre de solutions de l'équation 
f(x)=0
.
On constate notamment que :
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Lorsque
Δ\DeltaΔ
est strictement positif, la parabole a deux points d'intersections distincts avec l'axe des abscisses.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Lorsque
Δ\DeltaΔ
est nul, la parabole et l'axe des abscisses ont un unique point commun.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Lorsque
Δ\DeltaΔ
est strictement négatif, la parabole n'a pas de points en commun avec l'axe des abscisses.

 en
x1=−b−Δ2a=−4−362×(−1)=−4−6−2=−10−2=5x_1 = \dfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-4 - \sqrt{36}}{2 \times (-1)} = \dfrac{-4 - 6}{-2} = \dfrac{-10}{-2} = 5x1​=2a−b−Δ​​=2×(−1)−4−36​​=−2−4−6​=−2−10​=5
 et 
x2=−b+Δ2a=−4+362×(−1)=−4+6−2=2−2=−1x_2 = \dfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-4 + \sqrt{36}}{2 \times (-1)} = \dfrac{-4 + 6}{-2} = \dfrac{2}{-2} = -1x2​=2a−b+Δ​​=2×(−1)−4+36​​=−2−4+6​=−22​=−1
.
Comme 
a=−1<0a = -1 < 0a=−1<0
, on en déduit le tableau de signes :

Tableau de signes - Exemple 2

On souhaite dresser le tableau de signes de la fonction
fff
, définie sur 
R\mathbb RR
par 
f(x) = 8x^2 -8x + 2
.
On calcule 
\Delta = b^2 - 4 ac = (-8)^2 - 4 \times 8 \times 2 = 64 - 64 = 0
.
La fonction 
fff
a une racine double en 
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-8)}{2 times 8} = \frac{1}{2}
.
Comme
a=8>0a= 8 > 0a=8>0
,
f(x)f(x)f(x)
est positif sur
R\mathbb RR
.
On en déduit son tableau de signes :

Tableau de signes - Exemple 3

On souhaite dresser le tableau de signes de la fonction
fff
, définie sur 
R\mathbb RR
,
f(x) = 3x^2 -2x + 1
.
On calcule 
\Delta = b^2 - 4 ac = (-2)^2 - 4 \times 3 \times 1 = 4 - 12 = -8 < 0
.
Le discriminant étant strictement négatif, la fonction ne s'annule pas sur
R\mathbb{R}R
.
Comme
a= 3 > 0
,
f(x)f(x)f(x)
est alors toujours positif.
On en déduit son tableau de signes :

Tableau de signes - Exemple 4

On souhaite dresser le tableau de signes de la fonction
fff
, définie sur 
R\mathbb RR
par 
f(x) = x^2 -x - 1
.
On calcule 
\Delta = b^2 - 4 ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 1 + 4 = 5 > 0
.
La fonction s'annule deux fois sur
R\mathbb{R}R
 en
x1=−b−Δ2a=−(−1)−52×1=1−52x_1 = \dfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-(-1) - \sqrt 5}{2 \times 1} = \dfrac{1 - \sqrt 5}{2}x1​=2a−b−Δ​​=2×1−(−1)−5​​=21−5​​
 et 
x2=−b+Δ2a=−(−1)+52×1=1+52x_2 = \dfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-(-1) + \sqrt 5}{2 \times 1} = \dfrac{1+ \sqrt 5}{2}x2​=2a−b+Δ​​=2×1−(−1)+5​​=21+5​​
 .
Comme
a=1>0a= 1 > 0a=1>0
, on en déduit le tableau de signes :