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Forme canonique et variations des fonctions polynômes du second degré

la fonction polynôme du second degré définie sur 

Sommaire

Forme canoniqueReprésentation graphique des fonctions du second degré - Forme canonique
Tableau de variations d'une fonction du second degré - Exemple 1Tableau de variations d'une fonction du second degré - Exemple 2Tableau de variations d'une fonction du second degré - Exemple 3Tableau de variations d'une fonction du second degré - Exemple 4
De la forme canonique aux autres formes - Exemple 1De la forme canonique aux autres formes - Exemple 2De la forme canonique aux autres formes - Exemple 3De la forme canonique aux autres formes - Exemple 4
Complétion du carré
De la forme factorisée aux autres formes - Exemple 1
De la forme factorisée aux autres formes - Exemple 2
De la forme factorisée aux autres formes - Exemple 3

Forme canonique

Propriété 
Soit
aaa
, 
bbb
, 
ccc
 trois réels, 
aaa
 non nul et
fff
la fonction polynôme du second degré définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
f(x) = ax^2 + bx + c
. Il existe deux réels
\alpha
et
\beta
tels que, pour tout
xxx
dans
R\mathbb RR
,
f(x)f(x)f(x)
s'écrit de façon unique
f(x) = a (x-\alpha)^2 + \beta
.
Définition
L'expression donnée à la propriété précédente s'appelle la forme canonique de la fonction polynôme du second degré
fff
.
Propriété (hors programme)
(\alpha ;\beta)
sont les coordonnées de l'extremum de la parabole représentative de la fonction polynôme du second degré et on a 
α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2 a}α=−2ab​
 et 
β=f(α)=−Δ4a\beta = f(\alpha) = -\dfrac{\Delta}{4a}β=f(α)=−4aΔ​
. 
Propriété Tableau de variations
Le tableau de variations d'une fonction polynôme du second degré dépend du signe de
aaa
 :
Si 
a<0a<0a<0
   Si 
a>0a>0a>0
Remarque
Si 
\Delta > 0
, 
\alpha
 est la moyenne arithmétique des deux racines 
x_1
 et 
x_2
 de la fonction polynôme du second degré.
Si 
\Delta = 0
, 
\alpha
 est la racine double 
x_0
de la fonction et, dans ce cas,
\beta
est nul.
Exemples
1.On considère la fonction 
fff
 définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
f(x) = 8(x - 1)^2 + 3
.
Ici, 
a=8a = 8a=8
, 
α=1\alpha = 1α=1
 et 
β=3\beta = 3β=3
.
2.On considère la fonction 
ggg
 définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
g(x) = (x-1,2)^2 - 4,5
.
Ici, 
a=1a = 1a=1
, 
α=1,2\alpha = 1,2α=1,2
 et 
β=−4,5\beta = -4,5β=−4,5
.
3.On considère la fonction 
hhh
 définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
h(x) = -5(x+2)^2
.
Ici, 
a=−5a = -5a=−5
, 
α=−2\alpha = -2α=−2
 et 
β=0\beta = 0β=0
.
On remarque qu'il s'agit également d'une forme factorisée avec 
a=−5a = -5a=−5
 et 
x0=−2x_0 = -2x0​=−2
.
4.On considère la fonction 
iii
 définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
i(x) = sqrt 2 x^2 - 25
.
Ici, 
a=2a = \sqrt 2a=2​
, 
α=0\alpha = 0α=0
 et 
β=−25\beta =-25β=−25
.
On remarque qu'il s'agit également de sa forme développée avec 
a=2a = \sqrt 2a=2​
, 
b=0b = 0b=0
 et 
c=−25c =-25c=−25
. 
5.La fonction carrée 
j(x) = x^2
 définie sur 
R\mathbb{R}R
 est sous forme canonique avec 
a=1a=1a=1
,
α=0\alpha = 0α=0
 et 
β=0\beta = 0β=0
.
6.La fonction du second degré telle que 
a=−3a = -3a=−3
, dont le sommet de la parabole associée a pour coordonnées 
(−8;2)( -8 ; 2)(−8;2)
, a pour expression 
k(x)=−3(x+8)2+2k(x) = -3 (x +8 )^2+2k(x)=−3(x+8)2+2
.

Représentation graphique des fonctions du second degré - Forme canonique

Dans ce fichier de géométrie dynamique, on considère une fonction polynôme du second degré exprimée sous forme canonique par
f(x)=a(x−α)2+βf(x) = a(x - \alpha)^2 + \betaf(x)=a(x−α)2+β
, avec 
aaa
, 
α\alphaα
, 
β\betaβ
 trois réels, 
aaa
 non nul.
En modifiant les valeurs des curseurs des paramètres 
aaa
,
α\alphaα
 et 
β\betaβ
, on observe l'influence de ces trois paramètres sur l'allure de la parabole représentative de la fonction 
f
.
On constate notamment que :
α\alphaα
et
β\betaβ
correspondent aux coordonnées du sommet de la parabole représentative.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;En variant les valeurs de
α\alphaα
, on effectue une translation de la parabole parallèlement à l'axe des abscisses.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;En variant les valeurs de
β\betaβ
, on effectue une translation de la parabole parallèlement à l'axe des ordonnées.

Tableau de variations d'une fonction du second degré - Exemple 1

On souhaite dresser le tableau de variations de la fonction
fff
définie sur 
R\mathbb{R}R
par
f(x) = 3x^2 -2x + 1
.
Comme
a = 3 > 0
, la fonction est décroissante, puis croissante.
Elle change de sens de variation à
\alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \times 3} = \frac{1}{3}
.
La valeur de l'extremum de la parabole représentative de la fonction
f
est
\beta = f(\alpha) = 3 \alpha^2 -2 \alpha + 1 = 3 (\frac{1}{3})^2 - 2 \times \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3}
. 
On en déduit le tableau de variations :

Tableau de variations d'une fonction du second degré - Exemple 2

On souhaite dresser le tableau de variations de la fonction
fff
définie sur 
R\mathbb{R}R
par
f(x) = 8x^2 -8x + 2
 sur 
R\mathbb{R}R
.
Comme 
a=8>0a = 8 > 0a=8>0
, la fonction est décroissante, puis croissante.
Elle change de variation à 
\alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2 \times 8} = \frac{1}{2}
.
La valeur de l'extremum associé est:
\beta = f(\alpha) = 8\alpha^2 -8\alpha + 2 = 8(\frac{1}{2})^2 -8 \times \frac{1}{2} + 2 = 8 \times \frac{1}{4} - \frac{8}{2} + 2 = 2 - 4 + 2 = 0
.
On en déduit son tableau de variations :
On aurait pu remarquer, depuis sa forme développée, que pour tout 
x
dans 
\mathbbR
f(x) = 2(2x-1)^2
et en déduire, d'une part, que la parabole représentative admet un unique point commun avec l'axe des abscisses, dont les coordonnées sont
(\frac 1 2; 0)
et, d'autre part, que 
f(x)
est positif pour tout réel 
x
.
Ces observations permettent de conclure que le sommet de la parabole a bien pour ordonnée le minimum de la fonction et que ses coordonnées sont 
(\frac 1 2; 0)
.

Tableau de variations d'une fonction du second degré - Exemple 3

On souhaite dresser le tableau de variations de la fonction 
f
définie sur 
R\mathbb{R}R
par
f(x) = -x^2 +4x + 5
.
Comme
a=−1<0a = -1 < 0a=−1<0
, la fonction est croissante, puis décroissante.
Elle change de variation à 
\alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \times (-1)} = \frac{-4}{-2} = 2
.
La valeur de l'extremum associé est
\beta = f(\alpha) = -\alpha^2 +4\alpha + 5 = = -2^2 +4\times 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9
.  
On en déduit son tableau de variations :

Tableau de variations d'une fonction du second degré - Exemple 4

On souhaite dresser le tableau de variations de la fonction 
f
définiesur 
R\mathbb{R}R
par
f(x) = x^2 -x - 1
.
Comme
a=1>0a = 1 > 0a=1>0
, la fonction est décroissante, puis croissante.
Elle change de variation à 
\alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2 \times 1} = \frac{1}{2}
.
La valeur de l'extremum associé est
\beta = f(\alpha) = \alpha^2 -\alpha - 1 = (\frac{1}{2})^2 -\frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4} -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{5}{4}
. 
On en déduit son tableau de variations :

De la forme canonique aux autres formes - Exemple 1

On souhaite déterminer la forme développée puis factorisée (si elle existe) de la fonction polynôme du second degré 
fff
définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x) = 2(x-3)^2 - 8
.
Forme développée 
Il suffit de développer l'expression donnée.
Pour tout
x
dans
\mathbb R
, on a
f(x) = 2(x-3)^2 - 8 = 2(x^2-6x + 9) - 8 = 2x^2-12x + 18 - 8 = 2x^2-12x + 10
On obtient bien la forme développée de la fonction 
f
avec 
a = 2
, 
b= -12
 et 
c=10
.
Forme factorisée 
En factorisant la forme canonique.
Pour tout
x
dans
\mathbb R
, on a
f(x) = 2(x-3)^2 - 8 = 2((x-3)^2 - 4) = 2((x-3)^2 - 2^2)
On reconnaît ici une identité remarquable du type
A2−B2\text{A}^2-\text{B}^2A2−B2
avec
A\text AA
et 
B\text BB
réels. On en déduit
f(x)= 2(x-3 - 2)(x-3+2)= 2(x-5)(x-1)
.
On obtient la forme factorisée de la fonction
f
avec
a = 2
, 
x_1 = 5
 et
x_2 = 1
.
Remarque
On aurait pu résoudre l'équation
f(x)=0
pour déterminer les racines
x_1
et
x_2
puis utiliser la définition de la forme factorisée.

De la forme canonique aux autres formes - Exemple 2

On souhaite déterminer la forme développée puis factorisée (si elle existe) de la fonction polynôme du second degré 
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x) = 3(x + 2)^2 + 7
.
Forme développée
Il suffit de développer l'expression donnée.
Pour tout
x
dans
\mathbb R
, on a
f(x) = 3(x + 2)^2 + 7 = 3(x^2 + 4 x + 4 ) + 7 = 3x ^2+ 12 x + 12 + 7 = 3x ^2+ 12 x + 19
.
On obtient bien la forme développée de la fonction 
f
avec  
a = 3
, 
b= 12
 et 
c=19
.
Forme factorisée 
La forme canonique est la somme de deux termes strictement positifs. Cela implique que, pour tout
x
dans
\mathbb R
, 
f(x)>0
. On en déduit que la fonction polynôme du second degré n'admet pas de racines réels et,a fortiori, pas de forme factorisée. 
Si on ne s'était pas aperçu de cela, on aurait pu tenter de résoudre l'équation
f(x)=0
 : le calcul du discriminant donne
\Delta = 12^2-4\times 3 \times 19=-84<0
. L'équation n'a pas de solutions réelles et la fonction
f
n'admet pas de forme factorisée.

De la forme canonique aux autres formes - Exemple 3

On souhaite déterminer la forme développée puis factorisée (si elle existe) de la fonction polynôme du second degré 
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x) = (x+1)^2
.
Forme développée
Il suffit de développer l'expression donnée.
Pour tout
x
dans
\mathbb R
, on a
f(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
.
On obtient bien la forme développée de la fonction 
f
avec  
a=1a = 1a=1
, 
b = 2
 et 
c = 1
.
Forme factorisée
C'est déjà la forme factorisée de la fonction
fff
avec
a = 1
et 
x_0 = -1
.

De la forme canonique aux autres formes - Exemple 4

On souhaite déterminer la forme développée puis factorisée (si elle existe) de la fonction polynôme du second degré 
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x) = 3,6x^2 - 7,2
.
Forme développée
C'est déjà la forme développée de la fonction
fff
avec 
a = 3,6
, 
b = 0
 et 
c=-7,2
.
Forme factorisée 
En factorisant la forme canonique.
Pour tout
x
dans
\mathbb R
, on a
f(x) = 3,6x^2 - 7,2 = 3,6(x^2 - 2) = 3,6(x - \sqrt 2)(x + \sqrt 2)
.
On obtient la forme factorisée de la fonction
fff
avec
a = 3,6
, 
x_1 = \sqrt 2
 et
x_2 = -sqrt 2
.
Remarque
On aurait pu résoudre l'équation
f(x)=0
pour déterminer les réels
x_1
et
x_2
puis utiliser la définition de la forme factorisée.

Complétion du carré

Propriété
Soit 
sss
et 
ppp
deux réels. Pour tout 
xxx
dans 
R\mathbb RR
, on a 
x2+sx+p=(x+s2)2−s24+px^2+sx+p=\left(x+\dfrac{s}{2}\right)^2-\dfrac{s^2}{4}+px2+sx+p=(x+2s​)2−4s2​+p
. 
Démonstration
L'idée de la démonstration est de faire apparaître le développement de
(x+s2)2\left(x+\dfrac{s}{2}\right)^2(x+2s​)2
. Pour ce faire, on remarque que
s=2×s2s=2\times \dfrac{s}{2}s=2×2s​
et on rajoute et on enlève le réel
(s2)2=s24\left(\dfrac{s}{2}\right)^2=\dfrac{s^2}{4}(2s​)2=4s2​
.
Pour tout
xxx
dans
R\mathbb RR
, on a
x2+sx+p=x2+2s2x+s24−s24+p=(x+s2)2−s24+p\begin{align*}x^2+sx+p & = x^2+\color{green}{2}\dfrac{s}{\color{green}2}x\color{green}{+\dfrac{s^2}{4}-\dfrac{s^2}{4}}+p \\&=\left(x+\dfrac{s}{2}\right)^2-\dfrac{s^2}{4}+p \end{align*}x2+sx+p​=x2+22s​x+4s2​−4s2​+p=(x+2s​)2−4s2​+p​
Exemple
Pour tout
xxx
dans
R\mathbb RR
,
x2+2x−3=x2+2x+1−1−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−4\begin{align*}x^2+2x-3 &= x^2+2x\color{green}{+1-1}-3 \\&= x^2+2x+1-4\\&=(x+1)^2-4 \end{align*}x2+2x−3​=x2+2x+1−1−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−4​

De la forme factorisée aux autres formes - Exemple 1

On souhaite déterminer les formes développée et canonique de la fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x) = 7(x-1)(x+3)
.
Forme développée
Il suffit de développer l'expression de la fonction par double distributivité.
Pour tout
x
dans
\mathbb R
, on a
f(x) = 7(x-1)(x+3) = 7(x^2 + 3x-x-3) = 7(x^2 + 2x-3) =7x^2 + 14x-21
.
On obtient bien la forme développée de la fonction 
f
avec 
a = 7
, 
b = 14
 et 
c = -21
.
Forme canonique
Par complétion du carré, on a, pour tout
xxx
dans
R\mathbb RR
f(x)=7(x2+2x−3)=7(x2+2x+1−1−3)=7(x2+2x+1−4)=7(x2+2x+1)−28=7(x+1)2−28\begin{align*}f(x)&=7(x^2+2x-3) \\ & = 7(x^2+2x+1-1-3) \\&= 7(x^2+2x+1-4)\\&=7(x^2+2x+1)-28\\&=7(x+1)^2-28 \end{align*}f(x)​=7(x2+2x−3)=7(x2+2x+1−1−3)=7(x2+2x+1−4)=7(x2+2x+1)−28=7(x+1)2−28​
On reconnaît ici
α=−1\alpha=-1α=−1
et
β=−28\beta=-28β=−28
.
D'autres méthodes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;(hors programme) On repart de la forme développée et on calcule 
\alpha
 et 
\beta
. On a 
\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{14}{2\times 7}=-1
et 
β=−Δ4a=−142−4×7×(−21)4×7=−28\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{14^2-4\times 7 \times (-21)}{4\times 7}=-28β=−4aΔ​=−4×7142−4×7×(−21)​=−28
. On en déduit pour tout
x
dans
\mathbb R
f(x)=7(x-(-1))^2-28=7(x+1)^2-28
. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On aurait pu remarquer aussi que
\alpha
 est la moyenne des deux racines 
x_1
et 
x_2
.        
\alpha =\frac{x_1+x_2}{2} =\frac{1+(-3)}{2} =\frac{-2}{2} = -1
. On calcule
\beta
comme image de
\alpha
par
f
, on obtient
\beta=f(\alpha)=-28
, ce qui nous permet de retrouver la forme canonique.

De la forme factorisée aux autres formes - Exemple 2

On souhaite déterminer les formes développée et canonique de la fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x) = -2(x-3)^2
.
Forme développée
Il suffit de développer l'expression de la fonction à l'aide d'une identité remarquable.
Pour tout
x
dans
\mathbb R
, on a
f(x) = -2(x-3)(x-3) = -2(x^2-6x + 9)= -2x^2+12x -18
.
On obtient une forme développée avec
a = -2
, 
b = 12
 et 
c = -18
.
Forme canonique 
La forme factorisée coïncide avec la forme canoniqueavec
a = -2
,
\alpha = 3
 et
\beta =0
.

De la forme factorisée aux autres formes - Exemple 3

On souhaite déterminer les formes développée et canonique de la fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x) = 5x(x- 3)
.
Forme développée
Il suffit de développer l'expression de la fonction par simple distributivité.
Pour tout
x
dans
\mathbb R
, on a
f(x) = 5x(x-3) = 5x^2 - 15x
.
On obtient une forme développée avec 
a = 5
, 
b = -15
 et 
c = 0
.
Forme canonique
Par complétion du carré on a, pour tout
xxx
dans
R\mathbb RR
f(x)=5(x2−3x)=5(x2−3x+94−94)=5(x2−3x+94)−454=5(x−32)2−454\begin{align*}f(x)&=5(x^2-3x) \\ & = 5\left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4}\right) \\&= 5\left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}\right)-\dfrac{45}{4}\\&=5\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{45}{4} \end{align*}f(x)​=5(x2−3x)=5(x2−3x+49​−49​)=5(x2−3x+49​)−445​=5(x−23​)2−445​​
On reconnaît ici
α=32\alpha=\dfrac3 2α=23​
et
β=−454\beta=-\dfrac{45} 4β=−445​
.