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Exercices d'entraînement

Une fonction polynôme du second degré a pour racines 

Sommaire

* Forme développée* De la courbe à l'expression de la fonction (1)* De la courbe à l'expression de la fonction (2)* De la courbe à l'expression de la fonction (3)* Résolution d'équations bicarrées* Lecture graphique* Bénéfice maximum* Somme et produit de deux réels
** Position relative de deux courbes (1)** Position relative de deux courbes (2)** Périmètre d'un triangle rectangle** Vrai ou faux ?** Nombre de solutions d'une équation
*** Résolution d'inéquations

* Forme développée

Une fonction polynôme du second degré a pour racines 
666
 et 
−4-4−4
 et on sait que 
f(1)=25f\left(1\right) = 25f(1)=25
. Déterminer la forme développée de la fonction.

* De la courbe à l'expression de la fonction (1)

Soit
fff
 la fonction polynôme du second degré définie sur
R\mathbb RR
par
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c
, où
aaa
,
bbb
 et
ccc
 sont des réels à déterminer. La figure suivante montre la parabole représentative de la fonction
fff
ainsi que la droite d'équation
y=5y=5y=5
.
Partie 1
1.Déterminer l'image de
222
.
2.Déterminer les éventuels antécédents de
555
.
3.Quelles sont les solutions de
f(x)⩽0f(x) \leqslant 0f(x)⩽0
 ?
4.Quelles sont les solutions de
f(x)>5f(x) > 5f(x)>5
 ?
Partie 2 - Détermination des coefficients
1.Déterminer le signe de
aaa
.
2.Que vaut
ccc
 ?
3.Que vaut
α\alphaα
 ?
4.Que vaut
β\betaβ
 ?
5.Quelles sont les racines
x1x_1x1​
 et
x2x_2x2​
 de la fonction polynôme du second degré ?
Partie 3 - Détermination de l'expression de la fonction\(f\)
En utilisant les informations repérées graphiquement dans les parties 1 et 2, déterminer l'expression de la fonction
fff
sous sa forme développée.

* De la courbe à l'expression de la fonction (2)

Associer à chaque courbe l'expression de la fonction polynôme du second degré qu'elle représente, en justifiant.
f(x)=(x−2)2+2f(x) = (x-2)^2 + 2f(x)=(x−2)2+2
g(x)=x2−2x−3g(x) = x^2 - 2x - 3g(x)=x2−2x−3
h(x)=(x+2)2−2h(x) = (x+2)^2 - 2h(x)=(x+2)2−2
k(x)=(x−3)(x−5)k(x) = (x-3)(x-5)k(x)=(x−3)(x−5)

* De la courbe à l'expression de la fonction (3)

En s'aidant des représentations graphiques, compléter les expressions des fonctions polynômes du second degré
f,g,h,k\color{orange}f,\color{purple}g,\color{green}h,\color{blue}kf,g,h,k
.
f(x)=(x−...)(x−...)\color{orange}{f(x) = (x-...)(x-...)}f(x)=(x−...)(x−...)
g(x)=(x+...)2−...\color{purple}{g(x) = (x+...)^2 -...}g(x)=(x+...)2−...
h(x)=...x2−...x−...\color{green}{h(x) = ...x^2 - ... x - ...}h(x)=...x2−...x−...
k(x)=−(x−...)2−...\color{blue}{k(x) = -(x-...)^2 - ...}k(x)=−(x−...)2−...

* Résolution d'équations bicarrées

Résoudre dans
R\mathbb RR
les équations suivantes.
1. \(x^4 - 2x^2 - 3 = 0\)
2.\(x^4 + 8x^2 + 15 = 0\)
3.\(x^4 - \dfrac{13}{2} x^2 + 3 = 0\)

* Lecture graphique

On considère une fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c
où
aaa
,
bbb
 et
ccc
 sont trois réelsavec
aaa
 non nul.
La figure suivante montre la représentation graphique de la parabole représentative de
fff
 dans un repère. Déterminer, en justifiant la réponse, le signe de
aaa
,
ccc
,
bbb
,
Δ\DeltaΔ
 et
f(x)f\left(x\right)f(x)
.

* Bénéfice maximum

Dans une entreprise, le coût de production de 
qqq
objets décoratifs (bibelots) est modélisé par 
C(q)=0,002q2+2q+4 000C(q) = 0,002 q^2 + 2q + 4\ 000C(q)=0,002q2+2q+4 000
.
Un bibelot coûte
111111
 €. Toute la production est vendue.
1.Exprimer la recette
R(q)R(q)R(q)
 en fonction de
qqq
.
2.Exprimer le bénéfice
B(q)B(q)B(q)
 en fonction de
qqq
.
3. a.Combien l’entreprise doit-elle fabriquer et vendre de bibelots pour être bénéficiaire ?
    b.Combien l’entreprise doit-elle fabriquer et vendre de bibelots pour réaliser le bénéfice maximum ? À combien s'élève ce bénéfice ?

* Somme et produit de deux réels

Déterminer, s’ils existent, deux réels
uuu
 et
vvv
étant donnés leur somme
SSS
 et leur produit
PPP
 dans chacun des cas suivants.
1. \(S = 1\)et 
P=1P = 1P=1
2. \(S = -6\)et 
P=9P = 9P=9
3. \(S = \sqrt{3} + \sqrt{2}\)et 
P=6P = \sqrt{6}P=6​
4. \(S = 0\)et 
P=1P = 1P=1

** Position relative de deux courbes (1)

Soit 
f
 la fonction vérifiant, pour tout réel 
xxx
, 
f(x) = 3x^2 - 4x + 6
 et soit
ggg
 la fonction vérifiant, pour tout réel 
xxx
, 
g(x)=3x2+4x+14g(x) = 3x^2 + 4x + 14g(x)=3x2+4x+14
.
L'objectif de cet exercice est d'étudier la position relative des courbes représentatives des fonctions 
fff
et 
ggg
, c'est-à-dire d'établir sur quels intervalles la courbe représentative de 
fff
se trouve au-dessus de celle représentative de 
ggg
.
Partie 1 - Conjecture
1.En s'aidant du fichier de géométrie dynamique, décrire les positions relatives des deux courbes représentatives des fonctions
fff
en vert et
ggg
en orange. Le curseur 
aaa
permet de visualiser les points des courbes représentatives de même abscisse 
aaa
ainsi que l'écart entre leurs ordonnées. 
2.Quel lien peut-on établir entre le signe de
f(a)−g(a)f(a)-g(a)f(a)−g(a)
et la position relative des deux courbes ?
Partie 2 - Démonstration
1.Déterminer l'abscisse du point d'intersection des courbes représentatives de 
f
et 
g
.
Soit
eee
la fonction définie sur
R\mathbb RR
par
e(x)=f(x)−g(x)e(x)=f(x)-g(x)e(x)=f(x)−g(x)
. Cette fonction donne l'écartentre l'image de 
xxx
par la fonction 
fff
et l'image de 
xxx
par la fonction 
ggg
soit la différence des ordonnées du point de la courbe représentative de 
fff
et celui de la courbe représentative de
ggg
d'abscisse
xxx
. 
2.Démontrer que, pour tout 
xxx
dans 
R\mathbb RR
,
e(x)=−8x−8e(x)=-8x-8e(x)=−8x−8
.
3.Dresser le tableau de signes de la fonction
eee
.
4.Conclure quant aux positions relatives des courbes représentatives de
f
et 
g
.

** Position relative de deux courbes (2)

Soit
fff
 et 
ggg
 deux fonctions polynômes du second degré définies sur 
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=2x2+8x+4f(x) = 2x^2 + 8x + 4f(x)=2x2+8x+4
 et 
g(x)=x2−3g(x) = x^2 - 3g(x)=x2−3
.
Sur le graphique ci-dessous, 
P1\mathcal{P}_1P1​
 et 
P2\mathcal{P}_2P2​
 sont les paraboles représentant ces fonctions.
1.Attribuer à chaque fonction sa courbe, en justifiant.
2.Calculer les coordonnées du (ou des) point(s) d'intersection de ces deux paraboles.
3.Déterminer, par le calcul, le(s) intervalle(s) de 
R\mathbb{R}R
 sur le(s)quel(s) la courbe 
P1\mathcal{P}_1P1​
 est au-dessus de la parabole 
P2\mathcal{P}_2P2​
.

** Périmètre d'un triangle rectangle

L’aire d’un triangle rectangle est de
429  m2429 \; \text{m}^2429m2
 et l’hypoténuse a pour longueur 
h=72,5  mh = 72,5 \; \text{m}h=72,5m
.
Trouver son périmètre.

** Vrai ou faux ?

On considère la fonction 
fff
 définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c
, où 
aaa
, 
bbb
 et 
ccc
 sont trois nombres réels avec 
aaa
 non nul.
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
1.Si, pour tout 
xxx
 réel, 
f(x)<0f(x) < 0f(x)<0
 alors 
Δ<0\Delta < 0Δ<0
.
2.Si 
Δ<0\Delta < 0Δ<0
, alors, pour tout 
xxx
 réel, 
f(x)<0f(x) < 0f(x)<0
.
3.Si la fonction 
fff
 a deux racines opposées, alors 
b=0b = 0b=0
.

** Nombre de solutions d'une équation

Soit
m∈Rm \in \mathbb{R}m∈R
, on considère l’équation suivante en la variable réelle 
xxx
: 
(4m+1)x2−4mx+m−3=0(4m+1)x^2 -4mx+m-3 = 0(4m+1)x2−4mx+m−3=0
.
1.Pour quelle(s) valeur(s) de
mmm
 cette équation admet-elle des solutions distinctes ?
2.Soit
m=−14m=-\frac{1}{4}m=−41​
. Combien de solutions admet l'équation ?
3.Établir le nombre de solutions de l'équation en fonction de la valeur de
mmm
(on peut présenter la réponse sous forme d'un tableau).

*** Résolution d'inéquations

Résoudre les inéquations suivantes.
1. \(\left(-2x^2 - 5x + 3\right)\left(-4x^2 + 3x - 2\right) \leqslant 0\)
2.\(\dfrac{5x + 11}{x^2 + 2x + 4} \geqslant 2\)
3.\(1 + \dfrac{4}{x+2} - \dfrac{3x-2}{x^2 + 2x} < 0\)
4.\(\dfrac{x^2}{x + 4} \leqslant 4\)
5. \(\dfrac{3x-7}{2x^2 - 9x + 4} \leqslant 0\)
6. \(\dfrac{6x^2 + 7x - 3}{3x - x^2} \geqslant 1\)