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Exercices bilan et problèmes

Alice et Bilal partent simultanément pour effectuer un trajet de

Sommaire

Des vitesses moyennesLa corniche du tableauQuestion d'aires égales
Étude d'une équationUne somme de puissances d'entiersSujet Olympiades de mathématiques métropole 2023 - Une descente infinie

Des vitesses moyennes

Alice et Bilal partent simultanément pour effectuer un trajet de
545454
 km. On considère que les déplacements se font à vitesse constante correspondant à la vitesse moyenne.
La vitesse moyenne d'Alice est supérieure de
666
 km/h à celle de Bilal.
Alice arrive
454545
 min avant Bilal.
Quelles sont les vitesses moyennes respectives d'Alice et de Bilal ?

La corniche du tableau

La figure suivante modélise un tableau (rectangle blanc) et son cadre (bande grise).
Le cadre a la même épaisseur sur les quatre côtés.
Déterminer la largeur de la bande hachurée pour que l’aire du tableau soit égale aux trois quarts de l’aire du cadre.

Question d'aires égales

Luca dit à Leila : « Regarde ce que je viens de découvrir : si tu prends un triangle rectangle isocèle, une droite parallèle à l'hypoténuse partage le triangle en deux parties de même aire lorsqu'elle coupe chaque côté à une distance du sommet de l'angle droit égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse. »
Et Leila répond : « Mais Luca, c'est évident ! »
Démontrer cette propriété.

Étude d'une équation

Dans cet exercice, on se propose de résoudre l'équation 
x2+1x2=5x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5x2+x21​=5
 de deux méthodes différentes.
Partie 1 - Résolution par un changement de variable
1.Montrer que résoudre l'équation
x2+1x2=5x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5x2+x21​=5
équivaut à résoudre l'équation 
x4−5x2+1=0x^4 - 5x^2 + 1 = 0x4−5x2+1=0
.
2.En effectuant le changement de variable
t=x^2
, résoudre sur
R\mathbb RR
l'équation
t2−5t+1=0t^2 - 5t + 1 = 0t2−5t+1=0
.
3.En déduire les solutions de l'équation 
x2+1x2=5x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5x2+x21​=5
.
Partie 2 - Résolution par factorisation
1.Montrer que résoudre l'équation
x2+1x2=5x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5x2+x21​=5
est équivalent à résoudre l'équation
(x+1x)2=7\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = 7(x+x1​)2=7
.
2.En déduire les solutions de l'équation 
x2+1x2=5x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5x2+x21​=5
.
Partie 3 - Des considérations sur les solutions
Dans cette partie, on démontrera des résultats concernant les propriétés des solutions de l'équation
x2+1x2=5x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5x2+x21​=5
. On vérifiera que les solutions trouvées dans les parties 1 et 2 ont ces propriétés.
Remarque
En mathématiques, ce travail est très souvent préliminaire à la résolution et permet de se rendre compte de la forme des solutions d'une équation.
Soit
aaa
un nombre réel.
1.Montrer que si 
aaa
 est solution de l'équation, alors 
−a-a−a
 l'est aussi.
2.Montrer que si 
aaa
 est solution de l'équation, alors 
1a\dfrac{1}{a}a1​
 l'est aussi.
3.Vérifier que les solutions trouvées dans les parties 1 et 2 satisfont à ces propriétés.

Une somme de puissances d'entiers

On considère trois entiers consécutifs. On note 
nnn
 celui du milieu (qui n'est donc ni le plus grand, ni le plus petit). 
L'objectif de l'exercice est de déterminer pour quelle(s) valeur(s) de
nnn
la somme des puissances quatrièmes de ces trois nombres est égale à
353353353
.
Partie 1 - Tâtonnement 
1.Calculer la somme suivante
14+24+341^4+2^4+3^414+24+34
et établir si, oui ou non,
n=2n=2n=2
est solution du problème posé.
2.Justifier que
n=3n=3n=3
est solution du problème posé.
Partie 2 - Ensemble des solutions
1.Démontrer que répondre au problème équivaut à résoudre l'équation
3n4+12n2+2=3533n^4+12n^2+2=3533n4+12n2+2=353
.
2.Résoudre l'équation précédente ; on pourra s'aider du changement de variable
t=n2t=n^2t=n2
.
3.Conclure.

Sujet Olympiades de mathématiques métropole 2023 - Une descente infinie

Dans tout l’exercice,
α\alphaα
désigne un entier naturel supérieur ou égal à
444
.
On considère l’équation
(E)(E)(E)
ci-dessous dont l’inconnue est le triplet d’entiers relatifs
(x1,x2,x3)∈Z3(x_1, x_2, x_3) \in\mathbf{Z^3}(x1​,x2​,x3​)∈Z3
.
(E):x12+x22+x32=αx1x2x3(E) : x_1^2+x_2^2+x_3^2=\alpha x_1x_2x_3(E):x12​+x22​+x32​=αx1​x2​x3​
Le but de l’exercice est de démontrer que le seul triplet dans 
Z3\mathbf{Z^3}Z3
solution de 
(E)(E)(E)
est
(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)
.
Partie 1
Soit 
bbb
et 
ccc
deux réels. On considère la fonction polynôme 
PPP
de 
R\mathbf{R}R
dans 
R\mathbf{R}R
définie par
P(x)=x2+bx+cP(x)= x^2+bx+cP(x)=x2+bx+c
. Un réel 
rrr
tel que 
P(r)=0P(r)=0P(r)=0
est appelé racinede
PPP
. On suppose dans cette partie que 
PPP
admet deux racines distinctes,
r1r_1r1​
et
r2r_2r2​
. Ainsi,
P(x)=(x−r1)(x−r2)P(x)= (x-r_1)(x-r_2)P(x)=(x−r1​)(x−r2​)
  pour tout réel
xxx
.
1.Exprimer 
bbb
et 
ccc
en fonction de 
r1r_1r1​
et
r2r_2r2​
.
2.On suppose ici 
b≤0b\le0b≤0
et
c≥0c\ge0c≥0
.
Que peut-on dire du signe de 
r1r_1r1​
et 
r2r_2r2​
?
Partie 2
1. a.On suppose que le triplet 
(x1,x2,x3)∈Z3(x_1, x_2, x_3) \in\mathbf{Z^3}(x1​,x2​,x3​)∈Z3
est solution de l’équation 
(E)(E)(E)
. Montrer que
(∣x1∣,∣x2∣,∣x3∣)(|x_1|,|x_2|,|x_3|)(∣x1​∣,∣x2​∣,∣x3​∣)
 est aussi solution de l’équation
(E)(E)(E)
.
    b.En déduire que, s’il existe un triplet d’entiers relatifs différent de 
(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)
solution de l’équation
(E)(E)(E)
, alors il existe un triplet d’entiers naturels différent de 
(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)
 solution de l’équation
(E)(E)(E)
.
2.Si le triplet 
(x1,x2,x3)∈Z3(x_1, x_2, x_3) \in\mathbf{Z^3}(x1​,x2​,x3​)∈Z3
est solution de l’équation
(E)(E)(E)
, que dire du triplet
(x2,x1,x3)(x_2,x_1,x_3)(x2​,x1​,x3​)
?
3.En déduire que, si l’équation
(E)(E)(E)
 admet une solution dans 
Z3\mathbf{Z^3}Z3
différente du triplet
(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)
, alors elle admet une solution 
(x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3)(x1​,x2​,x3​)
 dans 
N3\mathbf{N^3}N3
différente du triplet 
(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)
et telle que
x1≤x2≤x3x_1\le x_2 \le x_3x1​≤x2​≤x3​
.
Partie 3
On suppose donc dans cette partie qu’il existe un triplet d’entiers naturels 
(x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3)(x1​,x2​,x3​)
différent de 
(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)
solution de 
(E)(E)(E)
et tel que 
x1≤x2≤x3x_1\le x_2\le x_3x1​≤x2​≤x3​
. On fixe un tel triplet.
1.Démontrer que
x1>0x_1>0x1​>0
.
2.On définit la fonction 
QQQ
de 
R\mathbf{R}R
dans 
R\mathbf{R}R
par
Q(x)=x2−αx1x2x+x12+x22Q(x) = x^2-\alpha x_1x_2x+x_1^2+x_2^2Q(x)=x2−αx1​x2​x+x12​+x22​
. Un réel 
rrr
tel que 
Q(r)=0Q(r)=0Q(r)=0
est appelé racine de
QQQ
.
    a.Soit 
yyy
un réel. Montrer que 
(x1,x2,y)(x_1,x_2,y)(x1​,x2​,y)
est solution de 
(E)(E)(E)
si, et seulement si, 
yyy
est une racine de
QQQ
.
    b.Indiquer une première racine de 
QQQ
à partir des données de l’énoncé.
    c.Vérifier que 
Q(x2)=(3−αx1)x22+(x12−x22)Q(x_2)=(3-\alpha x_1)x_2^2+(x_1^2-x_2^2)Q(x2​)=(3−αx1​)x22​+(x12​−x22​)
et en déduire que
Q(x2)<0Q(x_2) <0Q(x2​)<0
.
    d.Quel est le signe de 
Q(0)Q(0)Q(0)
?
    e.Démontrer que 
QQQ
a deux racines distinctes : celle donnée précédemment et une autre notée 
yyy
; ranger dans l’ordre croissant les nombres
000
, 
x2x_2x2​
et 
x3x_3x3​
et 
yyy
et justifier qu’ils sont tous distincts.
    f.Montrer que 
(x1,x2,y)(x_1,x_2,y)(x1​,x2​,y)
est un triplet d’entiers naturels solution de l’équation
(E)(E)(E)
.
3.Que donne le raisonnement de la question 
222
en remplaçant le triplet solution 
(x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3)(x1​,x2​,x3​)
 par le triplet constitué de 
x1,x2,yx_1,x_2,yx1​,x2​,y
rangés dans l’ordre croissant ?
4.Expliquer comment aboutir à une absurdité et conclure quant aux triplets d’entiers relatifs solutions de l’équation
(E)(E)(E)
.
5.Démontrer le résultat suivant :
« Soit 
n∈Nn\in \mathbb{N}n∈N
et 
α∈N\alpha \in \mathbb{N}α∈N
avec 
α>n≥2\alpha>n\ge2α>n≥2
.
L’équation 
x12+⋯+xn2=αx1…xnx_1^2+ \cdots+ x_n^2=\alpha x_1 \ldots x_nx12​+⋯+xn2​=αx1​…xn​
d’inconnue 
(x1,x2,…,xn)(x_1, x_2, \ldots, x_n)(x1​,x2​,…,xn​)
n’admet pas de
nnn
-uplet d’entiers relatifs solution autre que
(0,0,…,0)(0,0,\ldots,0)(0,0,…,0)
. »