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Généralités sur les suites

Une suite numérique est une liste infinie de nombres réels.

Sommaire

Définitions et notationsReprésentation graphique d'une suiteMode de génération d'une suite
Suites définies par une formule explicite - Exemple 1Suites définies par une formule de récurrence - Exemple 2Suite définie à l'aide d'un algorithme - Exemple 3
Déterminer les termes d'une suite explicite avec la calculatrice TEXAS INSTRUMENTSDéterminer les termes d'une suite explicite avec la calculatrice CASIODéterminer les termes d'une suite explicite avec la calculatrice NUMWORKS

Suites définies par une formule explicite - Exemple 1

Pour tout entier naturel 
n
, on considère la suite 
u
 telle que`u_n=2n`.
On a alors 
u_\color{red}{0}=2\times\color{red}{0}=0
, 
u_\color{red}{1}=2\times\color{red}{1}=2
, 
u_\color{red}{2}=2\times\color{red}{2}=4
, etc.
Et aussi, 
u_\color{red}{51}=2\times\color{red}{51}=102
 ou encore 
u_\color{red}{10\,000}=2\times\color{red}{10\,000}=20\,000
. 
Pour tout entier naturel 
n
 non nul, on considère la suite 
v
 telle que 
v_n=1/n
. 
Le premier terme est alors 
v_\color{green}{1}=1/\color{green}{1}=1

Déterminer les termes d'une suite explicite avec la calculatrice TEXAS INSTRUMENTS

Soit 
(un)n∈N(u_n)_{n\in\mathbb{N}}(un​)n∈N​
 la suite de terme général 
un=nn+1u_n=\dfrac{n}{n+1}un​=n+1n​
.
On peut faire afficher les premiers termes de la suite à la calculatrice. 
Sur une calculatrice TEXAS Instruments
  • Utiliser la touche "Mode" puis choisir "SUITE" à la cinquième ligne.
  • Pour définir les paramètres du tableau de valeurs souhaité, rendez-vous dans "déf table" à l'aide de la touche "2nde".
  • Pour afficher les termes de la suite, rendez-vous dans "table" à l'aide de la touche "2nde".
Lorsque la suite est définie par récurrence, la lettre "u", "v" ou "w" s'écrit à l'aide des touches en activant en amont la touche "2nde".

Déterminer les termes d'une suite explicite avec la calculatrice CASIO

Soit 

Définitions et notations

Une suite numérique est une liste infinie de nombres réels.
À chaque élément de « place 
n
 » (
n\in\mathbb{N}
), appelé lerang, correspond un unique nombre appelétermede la suite de rang 
n
. 
On retrouve ainsi la notion de fonction numérique, mais avec une variable 
n
à valeurs entières.
Définitions
    • Une fonction numérique `u` définie sur
\mathbb{N}
 (ou une partie de`\mathbb{N}`) est appelée unesuite numérique.
    • Pour tout 
n\in\mathbb{N}
, les images`u(n)` sont appelées lestermes de la suiteet sont notées`u_n`(on lit « u indice n »).
    • Les antécédents 𝑛, qui sont des nombres entiers, sont appelés lesrangs(ou les indices) des termes correspondants.
    • Le terme
u_n
de rang 
n
 s'appelle leterme généralde la suite 
u
.
Notation
La suite 
u
se note également 
(u_n)_(n\in\mathbb{N})
ou encore  
(u(n))_(n\in\mathbb{N}]
.
RemarqueLe plus souvent,le premier terme est 
u_0
, le deuxième est 
u_1
, le troisième est 
u_2
 et ainsi de suite. Le terme 
u_n
de rang 
n
 est, dans ce cas, le 
(n+1)
e terme. 

Représentation graphique d'une suite

On peut représenter une suite numérique dans un repère comme un nuage de points : pour tout 
n\in\mathbb{N}
, on place le point de coordonnées 
(n ;un)(n\,;u_n)(n;un​)
. 
Exemple
Dans la figure suivante, on a représenté les premiers termes de la suite 
u
définie par
u_n=\sqrt(n)
pour tout 
n\in\mathbb{N}
. 

Mode de génération d'une suite

On peut définir une suite de deux façons : 
  • par uneformule explicite;
  • par uneformule de récurrence. 
On parle du mode de génération de la suite.
Définition Suite définie à l'aide d'uneformule explicite `u_n=f(n)`
Une suite estgénérée par une formule explicitelorsque le terme 
u_n
est donné en fonction de l’entier
n\in\mathbb{N}
.
Il existe une fonction 
fff
, définie sur un intervalle 
I
 de 
\mathbb{R}
, et 
n
 un entier naturel tels que le terme de rang 
n
de la suite 
u
est l'image de 
n
par la fonction
f
, soit
u_n=f(n)
.
DéfinitionSuite définie à l'aide d'uneformule de récurrence `u_(n+1)=f(u_n)`
Une suite estgénérée par une formule de récurrence lorsque :
1.son premier terme est donné et noté
u_(n_0)
 avec 
n_0\in\mathbb{N}
,
2.une relation permet de calculer chaque terme à partir du précédent (ou des précédents).
La relation est appeléerelation de récurrence.
Il existe une une fonction
f
définie sur un intervalle 
I
 de 
\mathbb{R}
telle que 
f(I)\subsetI
et 
n
 un entier naturel de sorte que le terme de rang 
n+1
de la suite 
u
est l'image de
u_n
par la fonction
f
, soit 
u_(n+1)=f(u_n)
.
Remarques
    • Lorsqu'une suite est définie par une formule explicite, il est possible de calculer chaque terme 
u_n
en fonction de son rang 
n
. Alors que, si elle est définie à l'aide d'une relation de récurrence, calculer le terme 
u_n
 de rang 
n
 nécessite de connaître le terme précédent 
u_(n-1)
 et tous ses prédécesseurs. 
    • La relation de récurrence peut faire intervenir plusieurs termes précédents et la variable 
n
. 

, 
v_\color{green}{2}=1/\color{green}{2}
, 
v_\color{green}{3}=1/\color{green}{3}
 et, par exemple, 
v_\color{green}{500}=1/\color{green}{500}
. 
Le terme de rang 
n+1
 est : 
v_\color{green}{n+1}=1/\color{green}{n+1}
.
Pour tout entier naturel 
n
 non nul, on considère la suite 
w
 telle que 
w_n=\sqrt(n-1)
. 
Le premier terme est alors 
w_\color{blue}{1}=\sqrt(\color{blue}{1}-1)=\sqrt(0)=0
, 
w_\color{blue}{2}=\sqrt(\color{blue}{2}-1)=\sqrt(1)=1
, 
w_\color{blue}{3}=\sqrt(\color{blue}{3}-1)=\sqrt(2)
 et 
w_\color{blue}{122}=\sqrt(\color{blue}{122}-1)=\sqrt(121)=11
. 
Le terme de rang 
n+1
 est : 
w_\color{blue}{n+1}=\sqrt(\color{blue}{n+1}-1)=\sqrt(n)
.
Pour tout entier naturel 
n
, on considère la suite 
s
 telle que 
s_n=n^2+3n-1
. 
On a alors 
s_\color{purple}{0}=\color{purple}{0}^2+3\times\color{purple}{0}-1=-1
, 
s_\color{purple}{1}=\color{purple}{1}^2+3\times\color{purple}{1}-1=3
, puis, par exemple, 
s_\color{purple}{49}=\color{purple}{49}^2+3\times\color{purple}{49}-1=2\ 547
. 
Le terme de rang 
n+1
 est : 
s_\color{purple}{n+1}=(\color{purple}{n+1})^2+3(\color{purple}{n+1})-1=n^2+2n+1+3n+3-1=n^2+5n+3
 .
Le terme de rang 
n-1
 est :
s_\color{purple}{n-1}=(\color{purple}{n-1})^2+3(\color{purple}{n-1})-1=n^2-2n+1+3n-3-1=n^2+n-3
.

Suites définies par une formule de récurrence - Exemple 2

On considère la suite 
u
 telle que\(\begin{cases} u_0 = -4 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \dfrac{3}{2}u_n + 9 \end{cases}\)
On a alors 
u_1=u_(\color{red}{0}+1)=3/2u_\color{red}{0}+9=3/2\times \color{red}{(-4)}+9=3
,
puis 
u_2=u_(\color{red}{1}+1)=3/2u_\color{red}{1}+9=3/2\times \color{red}{3}+9=27/2
, etc. 
On considère la suite 
v
 telle que\(\begin{cases} v_0 = 1\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, v_{n+1} = \sqrt{3+v_n} \end{cases}\)
On a alors 
v_1=v_(\color{red}{0}+1)=\sqrt{3+v_\color{red}{0}}=\sqrt{3+1}=\sqrt(4)=2
,
puis 
v_2=v_(\color{red}{1}+1)=\sqrt{3+v_\color{red}{1}}=\sqrt{3+2}=\sqrt(5)
 ;
v_3=v_(\color{red}{2}+1)=\sqrt{3+v_\color{red}{2}}=\sqrt{3+\sqrt(5)}
 ; etc. 
On considère la suite 
w
 telle que\(\begin{cases} w_1 = 2\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}^\star, w_{n+1} =2w_n+n-1 \end{cases}\)
On a alors 
w_2=w_(\color{red}{1}+1)=2w_\color{red}{1}+\color{red}{1}-1=2\times2+1-1=4
,
puis 
w_3=w_(\color{red}{2}+1)=2w_\color{red}{2}+\color{red}{2}-1=2\times4+2-1=9
, etc. 

Suite définie à l'aide d'un algorithme - Exemple 3

On peut définir une suite à l'aide d'un programme Python. 
Exemple 1
\begin{array}{}\texttt{1}&\texttt{def suite_u(n):}\\\texttt{2}&\qquad\,\texttt{return n}^{**}\texttt{2-1}\\\texttt{3}&\\\texttt{4}&\texttt{print(suite_u(3))}\\\end{array}
Le programme précédent permet de calculer les termes d'une suite 
u
 définie par une formule explicite, à savoir, pour tout entier naturel 
n
, 
u_n=n^2-1
. On a calculé le terme de rang 
3
c'est à dire
u_3=8
.
Exemple 2
\begin{array}{}\texttt{1}&\texttt{def suite_v(n):}\\\texttt{2}&\quad\texttt{v=2}\\\texttt{3}&\quad\texttt{for i in range(n):}\\\texttt{4}&\qquad\texttt{v=3*v-2}\\\texttt{5}&\quad\texttt{return v}\\\texttt{6}&\\\texttt{7}&\texttt{print(suite_v(6))}\\\end{array}
Ce programme génère une suite 
v
 définie par une relation de récurrence 
v_(n+1)=f(v_n)
 avec 
f:x\mapsto3x-2
 et 
v_0=2
. 
On calcule ainsi le terme 
v_6
 et le programme renvoie 
730
. 
Exemple 3
data-formula
On définit ici une suite par la relation de récurrence : 
{w0=1 etw1=1Pour tout n≥2,wn+2=wn+wn+1\begin{cases} w_0 =1 \ \text{et} w_1=1 \\ \text{Pour tout } n \geq 2, w_{n+2}=w_n+w_{n+1}\end{cases}{w0​=1 etw1​=1Pour tout n≥2,wn+2​=wn​+wn+1​​
Chaque terme de la suite `w`s'exprime, à partir du rang 2, en fonction des deux termes qui le précèdent. On dit alors que la relation de récurrence est d'ordre 2. Cette suite admet une relation de récurrence d'ordre 2. Il s'agit de lasuite de Fibonacci. 
Voici les huit premiers termes : 1, 1 , 2 , 3 , 5 , 8, 13, 21.

(un)n∈N(u_n)_{n\in\mathbb{N}}(un​)n∈N​
 la suite de terme général 
un=n2−4n+1u_n=n^2-4n+1un​=n2−4n+1
.
On peut faire afficher les premiers termes de la suite à la calculatrice. 
Sur une calculatrice CASIO
  • Dans le menu principale on choisit "RECUR"
  •  Choisir "TYPE" en appuyant sur F3 puis "an" puis entrer an=n^2-4n+1 et valider par EXE (la lettre n s'obtient par la touche F4).
  • Sélectionner "TABL" (touche "F6"), vous obtenez alors un tableau pour n prenant les valeurs : 0, 1 , 2 , 3, … , 10
  • Ne pas oublier de sélectionner la suite dont on veut afficher les termes. Pour ce faire, se placer sur la ligne correspondante et utiliser la touche "SEL". 
Lorsque la suite est définie par récurrence, on suit le même protocole en utilisant l'option "an+1" à la place de "an" à la première étape.

Déterminer les termes d'une suite explicite avec la calculatrice NUMWORKS

Soit 
(un)n∈N(u_n)_{n\in\mathbb{N}}(un​)n∈N​
 la suite de terme général 
un=n+3n−4u_n=\dfrac{n+3}{n-4}un​=n−4n+3​
.
On peut faire afficher les premiers termes de la suite à la calculatrice. 
Sur une calculatrice NUMWORKS
En sélectionnantTableau, on obtient 
On constate que lorsque
n=4n=4n=4
la calculatrice renvoie "undef" en effet le dénominateur du terme général de la suite s'annule en
4\text 44
.