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Suites arithmétiques

Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme est obtenu à partir du précédent par ajout d’une...

Sommaire

Définition d'une suite arithmétiqueExpression du terme général d'une suite arithmétiqueCalculs des termes d'une suite arithmétique - Exemples✎ Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique
Somme des n premiers entiersSomme des n premiers termes d'une suite arithmétiqueCalcul d'une somme de termes d'une suite arithmétique - Exemple 1Calculs d'une somme de termes d'une suite arithmétique - Exemple 2Calculs d'une somme de termes d'une suite arithmétique - Exemple 3

Somme des n premiers entiers

Propriété
Pour tout entier naturel 
n
non nul, \(\boxed{1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}}\). 
Exemples 
    • Pour 
n=100
, on a :
1+2+3+...+100=\frac{100(100+1)}{2}=(10\ 100)/2=5\ 050
. 
    • Pour
n=2024
, on a : 
1+2+3+...+2\ 024=\frac{2\ 024(2\024+1)}{2}=(4\ 098\ 600)/2=2\ 049\ 300
. 
Démonstration
L'astuce de cette démonstration réside dans le fait de calculer 
2S
 et de regrouper les termes astucieusement. 
Soit 
n
entier naturel non nul, on note : `S=1+2+3+...+n`. 
D'une part, 
S=\color{green}{1}+\color{red}{2}+\color{purple}{3}+...+\color{blue}{(n-1)}+\color{orange}{n}

Définition d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme est obtenu à partir du précédent par ajout d’une constante.
Définition
Soit 
u_0
 un réel.
Une suite
(u_n)_(n\in\mathbb{N})
est unesuite arithmétiques'il existe un réel 
r
 tel que, pour tout entier naturel 
n
, \(\boxed{u_{n+1}=u_n+r}\). 
Dans ce cas, 
u_0
 s'appelle le premier termede la suite arithmétique et 
r
 laraison.
Exemples 
    • La suite des nombres entiers pairs est une suite arithmétique de premier terme 
0
 et de raison 
2
. 
    • La suite arithmétique 
(u_n)_(n\in\mathbb{N})
 de raison 
r=3
 et de premier terme 
u_0=4
 vérifie la relation de récurrence 
u_{n+1}=u_n+3
.On a alors : 
u_1=\color{red}{u_0}+3=\color{red}{4}+3=7
, 
u_2=\color{red}{u_1}+3=7+3=10
, etc. 
    • La suite
(v_n)_(n\in\mathbb{N})
définie par 
\begin{cases} v_0 = -4 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, v_{n+1} = v_n-\frac{1}{3} \end{cases}
est une suite arithmétique de premier terme 
v_0=-4
 et de raison 
r=-1/3
. 

Expression du terme général d'une suite arithmétique

Propriété
Soit 
u_0
 et 
r
 deux réels.
La suite 
(u_n)_(n\in\mathbb(N))
 est une suite arithmétique de premier terme 
u_0
 et de raison 
r
 si et seulement si, pour tout entier naturel 
n
, \(\boxed{u_n=u_0+nr}\). 
Remarque
Cette propriété permet également de calculer le terme de rang 
n
 d'une suite arithmétique à partir d'un terme autre que 
u_0
.
En effet, si 
(u_n)_(n\in\mathbb{N})
est une suite arithmétique de premier terme 
u_0
 et de raison 
r
, alors, pour tout entier naturel 
p<=n
 : 
u_n=u_0+nr=u_1+(n-1)r=u_2+(n-2)r=...=u_p+(n-p)r
.
Démonstration
Sens direct
On suppose que 
(u_n)_(n\in\mathbb(N))
 est une suite arithmétique de premier terme 
u_0
 et de raison 
r
. Observons d'abord que, étant donné 
n
naturel supérieur ou égal à 2,
u_n=\color{red}{u_(n-1)}+r \ \text{mais} \ \color{red}{u_(n-1)=u_(n-2)+r} \ \text{donc} \ u_n=\color{red}{(u_(n-2)+r)}+r=u_(n-2)+r+r
de même,si \(n\)est supérieur ou égal à 3, 
\color{green}{u_(n-2)=u_(n-3)+r
 donc 
u_n=\color{green}{u_(n-2)}+2r=\color{green}{u_(n-3)+r}+r+r=u_(n-3)+r+r+r=u_(n-3)+3r
et, en poursuivant ce raisonnement jusqu'à attendre le terme `u_0`dans le membre de droite de l'égalité, on arrive à : 
u_n=u_1+(n-1)r=u_0+r+(n-1)r=u_0+nr
. 
Sens réciproque
Réciproquement, si 
(u_n)_(n\in\mathbb(N))
 est une suite telle que, pour tout 
n
 entier naturel, 
u_n=u_0+nr
 alors : 
un+1=u0+(n+1)r=u0+nr⏟un+r=un+ru_{\color{red}{n+1}}=u_0+(\color{red}{n+1})r=\underbrace{u_0+nr}_{u_n}+r=u_n+run+1​=u0​+(n+1)r=un​u0​+nr​​+r=un​+r
.
La suite  
(u_n)_(n\in\mathbb(N))
 est bien une suite arithmétique de premier terme 
u_0
 et de raison 
r
.

Calculs des termes d'une suite arithmétique - Exemples

Exemple 1
Soit 
(u_n)_{n\in\mathbb(N)}
 la suite arithmétique de premier terme 
u_0=-3
 et de raison 
r=2
.
Alors le terme général de la suite 
(u_n)_{n\in\mathbb(N)}
 est : 
u_n=u_0+nr=-3+2n
. 
On peut alors calculer, par exemple, le terme de rang 
51
 : 
u_\color{red}{51}=-3+2\times\color{red}{51}=-3+102=99
. 
Exemple 2
Soit 
(v_n)_{n\in\mathbb(N)}
 la suite telle que, pour tout entier naturel 
n
, 
v_n=1/3n+5
 alors 
(v_n)_{n\in\mathbb(N)}
est une suite arithmétique. On peut identifier ses caractéristiques, son premier terme est 
v_0=5
 et sa raison est 
r=1/3
. 
Exemple 3
Soit 
(w_n)_{n\in\mathbb(N)}
 une suite arithmétique avec
w_6=3
 et 
r=-1
. Calculons 
w_11
.
On rappelle que, pour tout 
n \ \text{et} \ p
 entiers naturels tels que 
p⩽np \leqslant np⩽n
, 
w_\color{red}{n}=w_\color{green}{p}+(\color{red}{n}-\color{green}{p})\times r
.
Donc 
w_\color{red}{11}=w_\color{green}{6}+(\color{red}{11}-\color{green}{6})\times (-1)=3-5=-2
. 
De plus, 
w_\color{red}{0}=w_\color{green}{6}+(\color{red}{0}-\color{green}{6})\times (-1)=3+6=9
. On en déduit que,pour tout 
n
 entier naturel, 
w_n=w_0+nr=9-n
. 
On veut savoir s'il existe un terme de la suite égal à 
-200
.
On résout alors l'équation : 
w_n=-200\Leftrightarrow 9-n=-200 \Leftrightarrow n=9+200=209
.
Il existe bien un terme égal à 
-200
, il s'agit de 
w_209
. 

✎ Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique

Méthode
Pour déterminer la raison 
r
et le premier terme 
u_0
d'une suite arithmétique 
u
connaissant deux termes de cette suite, on utilise la relation suivante :
pour tout 
n \ \text{et} \ p
 entiers naturels, tels que 
p⩽np \leqslant np⩽n
, 
u_\color{red}{n}=u_\color{green}{p}+(\color{red}{n}-\color{green}{p})\times r
.
Exemple 1
Soit 
(u_n)_(n\in\mathbb{N})
la suite arithmétique telle que 
u_18=60
  et 
u_35=111
.
On appelle 
u_0
 et 
r
respectivement son premier terme et sa raison.
D'une part, 
u_\color{red}{35}=u_\color{green}{18}+(\color{red}{35}-\color{green}{18})\times r\Leftrightarrow 111=60+17r\Leftrightarrow17r=51\Leftrightarrow r=51/17=3
.
D'autre part, comme 
r=3
 et 
u_18=60
, on a : 
u_\color{red}{0}=u_\color{green}{18}+(\color{red}{0}-\color{green}{18})\times r \Leftrightarrow u_0=60-18\times3=6
. On a donc, pour tout 
n
 entier naturel, 
u_n=u_0+nr=6+3n
.
Exemple 2
Soit 
(u_n)_(n\in\mathbb{N})
la suite arithmétique telle que 
u_12=7
  et 
u_99=65
.
On appelle 
u_0
 et 
r
 respectivement son premier terme et sa raison.
D'une part,
u_\color{red}{99}=u_\color{green}{12}+(\color{red}{99}-\color{green}{12})\times r\Leftrightarrow 65=7+87r\Leftrightarrow87r=58\Leftrightarrow r=58/87=2/3
.
D'autre part, comme 
r=2/3
 et 
u_12=7
, on a : 
u_\color{red}{0}=u_\color{green}{12}+(\color{red}{0}-\color{green}{12})\times r \Leftrightarrow u_0=7-12\times2/3=-1
.
On a donc, pour tout 
n
 entier naturel, 
u_n=u_0+nr=-1+2/3n
.

et d'autre part, 
S=\color{green}{n}+\color{red}{(n-1)}+\color{purple}{(n-2)}+...+\color{blue}{2}+\color{orange}{1}
. 
Donc, 
2S=\color{green}{(n+1)}+\color{red}{((n-1)+2)}+\color{purple}{((n-2)+3)}+...+\color{blue}{(2+(n-1))}+\color{orange}{(1+n)}
. 
C'est-à-dire, 
2S=\underbrace{\color{green}{(n+1)}+\color{red}{(n+1)}+\color{purple}{(n+1)}+...+\color{blue}{(n+1)}+\color{orange}{(1+n)}}_{n fois}
Alors, 
2S=n(n+1)
. Enfin, 
S=\frac{n(n+1)}{2}
.
Illustration
Cette démonstration peut se visualiser. Par exemple, pour 
n=6
, on calcule 
2S
 en organisant les termes de façon à former 
6
 lignes constituées chacune de 
7(=6+1)
 points. 
On obtient alors : 
2\times (1+2+3+4+5+6)=6\times7
, c'est-à-dire :
1+2+3+4+5+6=\frac{42}{2}=21
.

Somme des n premiers termes d'une suite arithmétique

Propriété
Soit 
(u_n)
 une suite arithmétique de premier terme 
u_0
 et de raison 
r
.
Pour tout entier naturel 
n
, on a : 
u0+u1+...+un=(n+1)u0+un2\boxed{u_0+u_1+...+u_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}}u0​+u1​+...+un​=(n+1)2u0​+un​​​
Démonstration
Soit 
(u_n)
 une suite arithmétique de premier terme 
u_0
 et de raison 
r
.
Soit
n
 un entier naturel. Notons 
S_n=u_0+u_1+...+u_n
. `S_n=\color{green}{u_0}+\color{red}{u_1}+\color{purple}{u_2}+...+\color{blue}{u_n}=\color{green}{u_0}+\color{red}{(u_0+r)}+\color{purple}{(u_0+2r)}+...+\color{blue}{(u_0+nr)}``S_n=\color{green}{u_0}+\color{red}{u_0}+\color{purple}{u_0}+...+\color{blue}{u_0}+(\color{red}{1}+\color{purple}{2}+...+\color{blue}{n})r=(n+1)u_0+\frac{n(n+1)}{2}r``S_n=(n+1)\frac{2u_0+nr}{2}=(n+1)\frac{u_0+(u_0+nr)}{2}=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}`.
Remarque
On peut également calculer la somme des termes d'une suite arithmétique en commençant à 
u_p
, où 
p
 est un entier naturel inférieur ou égal à 
n
.
On a alors : 
u_p+u_(p+1)+...+u_n=(n-p+1)\frac{u_p+u_n}{2}
.
On pourra retenir que la somme des termes d'une suite arithmétique s'obtient en calculant : 
\text{Nombre de termes}\times\frac{\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}}{2}
.

Calcul d'une somme de termes d'une suite arithmétique - Exemple 1

Soit 
(u_n)
 une suite arithmétique de premier terme 
2
 et de raison 
3
.
Alors la somme des 100 premiers termes est :   
u_0+u_1+...+u_99=100\times\frac{u_0+u_99}{2}
Comme 
u_0=2
 et 
u_99=2+99\times3=299
, on trouve que : 
u_0+u_1+...+u_99=100\times\frac{2+299}{2}=15\ 050
. 

Calculs d'une somme de termes d'une suite arithmétique - Exemple 2

Déterminons la somme des 
1\ 000
 premiers nombres impairs. Il s'agit bien d'une somme des termes d'une suite arithmétique, à savoir la suite 
(v_n)
 de premier terme 
1
 et de raison 
2
.
On a alors : 
v_0+v_1+...+v_999=1000\times\frac{v_0+v_999}{2}
. 
Comme 
v_0=1
 et 
v_999=1+999\times2=1999
, on trouve que : 
v_0+v_1+...+v_999=1000\times\frac{1+1999}{2}=1\ 000\ 000
. 

Calculs d'une somme de termes d'une suite arithmétique - Exemple 3

Au 31 décembre 2023, pour la naissance de leur fille, les parents de Julie décident d'économiser de l'argent pour ses études en déposant une somme initiale de 
500
 € sur un livret. Ils verseront ensuite 
250
 € supplémentaires la première année, puis 
500
 € la deuxième année, puis 
750
 € la troisième année et ainsi de suite de telle sorte qu'ils augmentent de 
250
 € le montant déposé par an.
On cherche à savoir de quelle somme disposera Julie au bout de 18 ans. 
On peut modéliser la somme d'argent sur le livret de Julie le 31 décembre de l'année 2023
+n
par une suite arithmétique 
(w_n)
 de premier terme 
w_0=500
 et 
r=250
.
Au bout de 18 ans, il y aura donc 
w_0+w_1+...+w_18
 € sur le livret et comme 
w_0=500
 et 
w_18=500+18\times250=5000
, la somme cherchée est :
w_0+w_1...+w_18=19\times\frac{500+5000}{2}=52\ 250
. 
En procédant de cette façon, le livret de Julie contiendra la somme de 
52\ 250
 € au bout de 18 ans.