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Suites géométriques

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme est obtenu à partir du précédent en le multipliant...

Sommaire

Définition d'une suite géométriqueExpression du terme général d'une suite géométriqueCalculs des termes d'une suite géométrique - Exemples✎ Montrer qu'une suite est une suite géométrique
Somme des n+1 premières puissancesSomme des n premiers termes d'une suite géométriqueCalcul d'une somme de termes d'une suite géométrique - Exemple 1Calcul d'une somme de termes d'une suite géométrique - Exemple 2Calcul d'une somme de termes d'une suite géométrique - Exemple 3

Somme des n+1 premières puissances

Propriété
Pour tout entier naturel
n
non nul et
q
 un réel différent de
1
,
\(\boxed{1+q+q^2+...+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}\). 
Démonstration
Soit 
n
 un entier naturel non nul et
q
 un réel différent de
1
. On note 
S=1+q+q2+...+qnS=1+q+q^2+...+q^nS=1+q+q2+...+qn
. 
Alors 
{qS=q+q2+q3+...+qn+1−S=−1−q−q2+...−qn\begin{cases} qS=q+q^2+q^3+...+q^{n+1} \\ -S=-1-q-q^2+...-q^n \end{cases}{qS=q+q2+q3+...+qn+1−S=−1−q−q2+...−qn​
, puis en additionnant ces deux termes, on obtient 
qS−S=q+q2+q3+...+qn+1−1−q−q2+...−qn=qn+1−1qS-S=q+q^2+q^3+...+q^{n+1}-1-q-q^2+...-q^n=q^{n+1}-1qS−S=q+q2+q3+...+qn+1−1−q−q2+...−qn=qn+1−1
. 
Soit 
(q−1)S=qn+1−1⇔S=1−qn+11−q(q-1)S=q^{n+1}-1 \Leftrightarrow S=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}(q−1)S=qn+1−1⇔S=1−q1−qn+1​

Définition d'une suite géométrique

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme est obtenu à partir du précédent en le multipliant par une constante.
Définition
Soit 
v_0
 un réel.
Une suite 
(v_n)_(n\in\mathbb{N})
est unesuite géométrique s'il existe un réel 
q
 tel que, pour tout entier naturel 
n
, \(\boxed{v_{n+1}=v_n\times q}\). 
Dans ce cas, 
v_0
 s'appelle lepremier termede la suite géométrique et 
q
 laraison.
Exemples 
    • La suite géométrique 
(v_n)_(n\in\mathbb{N})
de raison 
q=3
 et de premier terme 
v_0=4
 vérifie la relation de récurrence 
v_{n+1}=v_n\times3
.On a alors : 
v_1=\color{red}{v_0}\times3=\color{red}{4}\times3=12
, 
v_2=\color{red}{v_1}\times3=\color{red}12\times3=36
, etc. 
    • La suite 
(v_n)_(n\in\mathbb{N})
définie par 
\begin{cases} v_0 =-1\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, v_{n+1} = v_n\times\frac{1}{3} \end{cases}
est une suite géométrique de premier terme 
v_0=-4
 et de raison 
q=1/3
. 
    • En considérant que le prix de l'essence augmente de façon constante de 
4%
par an et qu'au
1er1^{\text{er}}1er
janvier 2002, un litre coûtait 
1,10
 €, on peut modéliser le prix en euros d'un litre d'essence le 
1er1^{\text{er}}1er
janvier de l'année 2002
+n
à l'aide de la suite géométrique 
(w_n)_{n\in\mathbb(N)}
 telle que 
w_0=1,10
 et 
q=1+4/100=1,04
. 

Expression du terme général d'une suite géométrique

 Propriété
Soit 
v_0
 et 
q
 deux réels.
La suite 
(v_n)_(n\in\mathbb(N))
 est une suite géométrique de premier terme 
v_0
 et de raison 
q
 si et seulement si, pour tout entier naturel 
n
, \(\boxed{v_n=v_0\times q^n}\).
Remarque
Cette propriété permet également de calculer le terme de rang 
n
 d'une suite géométrique à partir d'un autre terme que 
v_0
. En effet, si 
(v_n)_(n\in\mathbb{N})
 est une suite géométrique de premier terme 
v_0
 et de raison 
q
, alors pour tout entier naturel 
n
, alors, pour tout entier naturel 
p<=n
 : 
v_n=v_0\q^n=v_1\timesq^(n-1)=v_2\times q^(n-2)=...=v_p\timesq^(n-p)
.
Démonstration
Sens direct
On suppose que 
(v_n)_(n\in\mathbb(N))
 est une suite géométrique de premier terme 
v_0
 et de raison 
q
.  
Observons d'abord que, étant donné 
n
naturel supérieur ou égal à 
2
,
v_n=\color{red}{v_(n-1)}\timesq \ \text{mais} \ \color{red}{v_(n-1)=v_(n-2)\timesq} \ \text{donc} \ v_n=\color{red}{(v_(n-2)\timesq)}\timesq=v_(n-2)\timesq^2
.
De même,si`n` est supérieur ou égal à 
3
, 
\color{green}{v_(n-2)=v_(n-3)\timesq
 donc 
v_n=\color{green}{v_(n-2)}\timesq^2=\color{green}{v_(n-3)\timesq}\timesq^2=v_(n-3)\timesq^3
et en poursuivant ce raisonnement jusqu'à atteindre le terme de rang `0` dans le membre de droite de l'égalité, on arrive à : 
v_n=v_1\timesq^(n-1)=v_0\timesq\timesq^(n-1)=v_0\timesq^n
. 
Sens réciproque
Réciproquement, si 
(v_n)_(n\in\mathbb(N))
 est une suite telle que, pour tout 
n
 entier naturel, 
v_n=v_0\timesq^n
 alors : 
vn+1=v0×qn+1=v0×qn⏟vn×q=vn×qv_{\color{red}{n+1}}=v_0\times q^{\color{red}{n+1}}=\underbrace{v_0\times q^n}_{v_n}\times q=v_n\times qvn+1​=v0​×qn+1=vn​v0​×qn​​×q=vn​×q
.
La suite 
(v_n)_(n\in\mathbb(N))
 est bien une suite géométrique de premier terme
u_0
 et de raison 
q
.

Calculs des termes d'une suite géométrique - Exemples

Exemple 1
Soit 
(v_n)_{n\in\mathbb(N)}
 la suite géométrique de premier terme 
v_0=-1
 et de raison 
q=2
.
Alors le terme général de la suite 
(v_n)_{n\in\mathbb(N)}
 est : 
v_n=v_0\timesq^n=-1\times2^n=-2^n
. 
On peut alors calculer, par exemple, le terme de rang 
8
 : 
v_\color{red}{8}=-2^\color{red}{8}=-256
.
Exemple 2
Soit 
(v_n)_{n\in\mathbb(N)}
 la suite telle que, pour tout entier naturel 
n
, 
v_n=5/3^(n+1)
 alors
(v_n)_{n\in\mathbb(N)}
 est une suite géométrique. En effet, en réécrivant son terme général sous la forme 
v_n=5/3^(n+1)=5/3\times1/3^n=5/3\times(1/3)^n
, on peut identifier ses caractéristiques, son premier terme est 
v_0=5/3
 et sa raison est 
q=1/3
.
Exemple 3
En considérant que le prix de l'essence augmente de façon constante de 
4%
par an et qu'au
1^{\text{er}}
janvier 2002, un litre coûtait 
1,10
 €, on peut modéliser le prix en euros d'un litre d'essence le 
1^{\text{er}}
janvier 2002
+n
à l'aide de la suite géométrique 
(w_n)_{n\in\mathbb(N)}
 telle que 
w_0=1,1
 et 
q=1+4/100=1,04
.
On a alors, pour tout entier naturel 
n
, 
w_n=w_0\timesq^n=1,1\times1,04^n
.
Ainsi le prix théorique d'un litre d'essence le 
1^{\text{er}}
janvier 2024 si cette augmentation se poursuit correspond à 
w_22
, soit 
w_22=1,1\times1,04^22\approx2,61
 €. 

✎ Montrer qu'une suite est une suite géométrique

Méthode
Pour démontrer qu'une suite
(v_n)
 est une suite géométrique, on peut : 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;montrer qu'il existe un réel
q
 tel que, pour tout entier naturel 
n
, 
v_{n+1}=v_n\timesq
 ; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;montrer qu'il existe 
v_0
 et 
q
 des réels tels que le terme général s'écrive sous la forme 
v_n=v_0\timesq^n
 ; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si 
v_n\ne0
 pour tout 
n\in\mathbb(N)
, montrer qu'il existe un réel
q
 tel que, pour tout entier naturel 
n
, 
v_{n+1}/v_n=q
. 
Exemple 1
On considère les suites 
(u_n)
 et 
(v_n)
 définies pour tout entier naturel 
n
, par 
u_0=-1
 , 
u_{n+1}=3u_n-4
 et 
v_n=u_n-2
.
La suite 
(u_n)
 n'est pas une suite géométrique. En effet, 
u_0=-1 ; u_1=3\u_0-4=3\times(-1)-4=-7 \text{ et } u_2=3u_1-4=3\times(-7)-4=-25.
Ainsi, 
u_1/u_0=(-7)/(-1)=7
 et
u_2/u_1=(-25)/(-7)=25/7.
Comme les rapports
u_1/u_0
 et
u_2/u_1
 ne sont pas égaux, la suite
(u_n)
 ne peut pas être une suite géométrique.
En revanche, la suite 
(v_n)
 est une suite géométrique de raison 
3
.
Pour tout entier naturel 
n
, on a : 
v_{n+1}=\color{blue}{u_{n+1}}-2=\color{blue}{3u_n-4}-2=3u_n-6=3(u_n-2)=3v_n
.
De plus, 
v_0=u_0-2=-1-2=-3
.
On a alors, pourtout entier naturel 
n
, 
v_n=v_0q^n=-3\times3^n =-3^(n+1)
.
On en déduit que, pour tout entier naturel 
n
, 
u_n=-3^(n+1)+2
. 
Exemple 2
Soit 
u
 une suite définie pour tout
n
entier naturel par : 
u_n=2^n/3^(2n)
.
En réécrivant 
u_n
 sous la forme : 
u_n=\frac{2^n}{(3^2 )^n}= 2^n/9^n= (2/9)^n
, on reconnaît le terme général d'une suite géométrique de premier terme 
u_0=1
 et de raison 
q=2/9
. 

. 
Remarques
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Lorsque 
q=1
, la somme 
1+q+q2+...+qn1+q+q^2+...+q^n1+q+q2+...+qn
 vaut 
n+1n+1n+1
. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La somme 
1+q+q2+...+qn1+q+q^2+...+q^n1+q+q2+...+qn
 correspond à la somme des 
(n+1)(n+1)(n+1)
 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 
111
 et de raison 
qqq
. 
Exemples 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour 
n=100
 et 
q=2q=2q=2
, on a : 
1+2+22+...+2100=1−2100+11−2=1−2101−1=2101−11+2+2^2+...+2^{100}=\dfrac{1-2^{100+1}}{1-2}=\dfrac{1-2^{101}}{-1}=2^{101}-11+2+22+...+2100=1−21−2100+1​=−11−2101​=2101−1
. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour 
n=50
et 
q=13q=\frac{1}{3}q=31​
, on a : 
1+13+(13)2+...+(13)50=1−(13)50+11−(13)=1−(13)5123=32(1−(13)51)1+\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+...+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{50}=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{50+1}}{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{51}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{2}\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{51}\right)1+31​+(31​)2+...+(31​)50=1−(31​)1−(31​)50+1​=32​1−(31​)51​=23​(1−(31​)51)
. 

Somme des n premiers termes d'une suite géométrique

 Propriété
Soit 
(v_n)
 une suite géométrique de premier terme 
v_0
 et de raison 
q
 différent de
1
.
Pour tout entier naturel 
n
, on a : 
v0+v1+...+vn=v01−qn+11−q\boxed{v_0+v_1+...+v_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}v0​+v1​+...+vn​=v0​1−q1−qn+1​​
Démonstration
Soit 
(v_n)
 une suite géométrique de premier terme 
v_0
 et de raison 
q
 différent de
1
.
Pour tout entier naturel 
n
, notons 
S_n=v_0+v_1+...+v_n
. 
`S_n=\color{green}{v_0}+\color{red}{v_1}+\color{purple}{v_2}+...+\color{blue}{v_n}=\color{green}{v_0}+\color{red}{(v_0\timesq)}+\color{purple}{(v_0\timesq^2)}+...+\color{blue}{(v_0\timesq^n)}`
Sn=v0(1+q+q2+...+qn)=v01−qn+11−qS_n=v_0\left(\color{green}{1}+\color{red}{q}+\color{purple}{q^2}+...+\color{blue}{q^n}\right)=v_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}Sn​=v0​(1+q+q2+...+qn)=v0​1−q1−qn+1​
. 
Remarque
On peut également calculer la somme des termes d'une suite géométrique en commençant à 
v_p
, où 
p
 est un entier naturel inférieur ou égal à 
n
. 
On a alors : 
vp+vp+1+...+vn=vp1−qn−p+11−qv_p+v_{p+1}+...+v_n=v_p\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}vp​+vp+1​+...+vn​=vp​1−q1−qn−p+1​
. 
On pourra retenir que la somme des termes d'une suite géométrique s'obtient en calculant : 
\text{premier terme}\times\frac{1-(\text{raison})^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{(raison)}}
.

Calcul d'une somme de termes d'une suite géométrique - Exemple 1

Soit 
(v_n)
 une suite géométrique de premier terme 
2
 et de raison 
3
. Alors la somme des 100 premiers termes est :   
v_0+v_1+...+v_99=v_0times\frac{1-3^100}{1-3}
.
Comme 
v_0=2
, on trouve que : 
v_0+v_1+...+v_99=2times\frac{1-3^100}{1-3}=3^100-1
. 

Calcul d'une somme de termes d'une suite géométrique - Exemple 2

On souhaite calculer la somme 
S=3+6+12+24+...+786\ 432
 sachant que 
2^18=262\ 144
.
On remarque qu'il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique 
(v_n)
 de premier terme 
v_0=3
 et de raison 
q=2
. 
On cherche le rang du terme 
786\ 432
. Comme 
v_n=3\times2^n\Leftrightarrow 2^n=(786\ 432)/3=262\ 144
, on en déduit que 
n=18
. 
La somme 
S
 est donc la somme des 
19
 premiers termes de la suite 
(v_n)
, soit 
S=v0+v1+...+v18=v01−2191−2=3(219−1)S=v_0+v_1+...+v_{18}=v_0\dfrac{1-2^{19}}{1-2}=3\left(2^{19}-1\right)S=v0​+v1​+...+v18​=v0​1−21−219​=3(219−1)
. 

Calcul d'une somme de termes d'une suite géométrique - Exemple 3

Un particulier épargne sur un livret bancaire à partir du 1er janvier 2024 en déposant la première année 
1 0001\,0001000
 € et, les années suivantes, une somme qui augmente chaque année de 
10 10\,10
%. On souhaite savoir de quelle somme d'argent il disposera au bout de 10 ans.
On modélise par une suite géométrique 
(vn)(v_n)(vn​)
 le montant déposé sur le livret l'année 2024
+n+n+n
. Le premier terme est 
v0=1 000v_0=1\,000v0​=1000
 et 
q=1+10/100=1,1
. 
On doit déterminer la somme 
v_0+v_1+...+v_9
. 
On a : 
v0+v1+...+v9=v0×1−q101−q=1 000×1−1,1101−1,1=10 000(1,110−1)v_0+v_1+...+v_9=v_0\times\dfrac{1-q^{10}}{1-q}=1\ 000\times\dfrac{1-1,1^{10}}{1-1,1}=10\ 000(1,1^{10}-1)v0​+v1​+...+v9​=v0​×1−q1−q10​=1 000×1−1,11−1,110​=10 000(1,110−1)
. 
On trouve une valeur approchée du résultat à la calculatrice : 
v0+v1+...+v9≈15 937v_0+v_1+...+v_9\approx15\,937v0​+v1​+...+v9​≈15937
 €.