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Notion de limite de suite

On veut observer le comportement d'une suite lorsque 

Sommaire

Approche de la notion de limiteLimite d'une suite✎ Algorithme de seuil

Approche de la notion de limite

On veut observer le comportement d'une suite lorsque 
nnn
 prend des valeurs de plus en plus grandes. 
On étudie donc les valeurs des termes d'une suite lorsque 
nnn
 tend vers 
+∞+\infty+∞
. 
Pour cela, on peut utiliser les représentations graphiques de suite à l'aide d'une calculatrice, d'un logiciel de géométrie dynamique ou d'un tableur ou programme écrit, par exemple, en langage Python. 

Limite d'une suite

Définitions
    • Une suite admet unelimite finie \(l\in\mathbb{R}\) en 
+∞+\infty+∞
lorsque les termes 
unu_nun​
 se rapprochent de plus en plus de 
lll
 lorsque 
nnn
 tend vers 
+∞+\infty+∞
. On dit alors que la suite estconvergenteet on note \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=l\).
    • On dit qu’une suite estdivergentelorsqu’elle n’est pas convergente. Deux cas sont possibles :- la suite n’a pas de limite ;- la suite a pour limite
+∞+\infty+∞
 (respectivement
−∞-\infty−∞
) lorsque, pour tout réel positif (respectivement négatif)
MMM
, ses termes appartiennent tous à l’intervalle
]M;+∞[]M;+\infty[]M;+∞[
(respectivement 
]−∞;M[]-\infty;M[]−∞;M[
) lorsque
nnn
 devient très grand.
Exemple 1
Soit 
(un)n⩾1(u_n)_{n\geqslant1}(un​)n⩾1​
 la suite de terme général 
un=1nu_n=\dfrac{1}{n}un​=n1​
.
On calcule les premiers termes de la suite 
(un)n⩾1(u_n)_{n\geqslant1}(un​)n⩾1​
 et on peut voir que plus 
nnn
 est grand, plus les termes 
unu_nun​
 se rapprochent de 
000
.
On conjecture que la suite 
(un)n⩾1(u_n)_{n\geqslant1}(un​)n⩾1​
 admet comme limite finie 
000
.
Cette conjecture est exacte, on peut la démontrer. On note : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=0\).
Exemple 2
Soit 
(vn)n∈N(v_n)_{n\in\mathbb{N}}(vn​)n∈N​
 la suite définie par 
{v0=5Pour tout n∈N,vn+1=2vn+2vn+3\begin{cases} v_0 = 5 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, v_{n+1} = \dfrac{2v_n+2}{v_n+3}\end{cases}⎩⎨⎧​v0​=5Pour tout n∈N,vn+1​=vn​+32vn​+2​​
.
À l'aide de la représentation graphique de la suite, on peut conjecturer qu'elle admet
111
 comme limite finie. On note :\(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=1\). 
Exemple 3
Soit 
(wn)n∈N(w_n)_{n\in\mathbb{N}}(wn​)n∈N​
 la suite arithmétique de premier terme 
w0=2w_0=2w0​=2
 et de raison 
r=−5r=-5r=−5
.
Pour tout réel
M<0M<0M<0
, on peut toujours trouver un rang 
ppp
 tel que le terme
upu_pup​
 soit inférieur à 
MMM
.
En effet, pour 
M=−1000M=-1000M=−1000
, par exemple, 
wp=2−5p<−1 000⇔p>1 0025w_p=2-5p<-1\ 000\Leftrightarrow p>\dfrac{1\ 002}{5}wp​=2−5p<−1 000⇔p>51 002​
. C'est-à-dire 
p⩾201p\geqslant 201p⩾201
.
De même pour 
M=−1 000 000M=-1\ 000\ 000M=−1 000 000
, 
wp<−1 000 000⇔p>1 000 0025w_p<-1\ 000 \ 000\Leftrightarrow p>\dfrac{1\ 000\ 002}{5}wp​<−1 000 000⇔p>51 000 002​
. C'est-à-dire 
p⩾200 001p\geqslant 200\ 001p⩾200 001
.
La suite 
(wn)n∈N(w_n)_{n\in\mathbb{N}}(wn​)n∈N​
 admet comme limite
+∞+\infty+∞
. On note : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} w_n=+\infty\).
Exemple 4
Il existe des suites qui n’ont pas de limite, comme la suite 
(sn)n∈(N)(s_n)_{n\in\mathbb(N)}(sn​)n∈(N)​
définie par 
sn=(−1)ns_n=(-1)^nsn​=(−1)n
. 

✎ Algorithme de seuil

Méthode
Lorsqu'une suite admet une limite finie ou infinie, on peut s'intéresser à déterminer le rang à partir duquel les termes vérifient une condition.
Par exemple, si elle converge vers un réel 
lll
, chercher le rang à partir duquel les termes de la suite sont proches de 
lll
 à 
10−310^{-3}10−3
 près ou, si elle diverge vers 
+∞+\infty+∞
, déterminer le rang tel que les termes soient supérieurs à un réel positif fixé. 
Pour répondre à ce problème, on utilise généralement ce que l'on appelle un algorithme de seuil. 
Voici deux exemples de résolution d'un problème de seuil par :
  • La table du mode « suite » de la calculatrice et on procède par balayage ; 
  • Un programme écrit en langage Python. 
Exemple 1
La suite 
(un)n∈N(u_n)_{n\in\mathbb{N}}(un​)n∈N​
 définie par 
un=−n3u_n=-n^3un​=−n3
 tend vers 
−∞-\infty−∞
 lorsque 
nnn
 tend vers 
+∞+\infty+∞
. On cherche le rang à partir duquel les termes sont plus petits que 
1 000 0001\ 000\ 0001 000 000
. 
Pour cela, on regarde la table de la suite à la calculatrice puis on règle l'intervalle de façon à trouver 
nnn
. 
On obtient que 
un<−1 000 000u_n<-1\ 000\ 000un​<−1 000 000
lorsque
n>100n>100n>100
. 
Exemple 2
La suite 
(vn)n∈N(v_n)_{n\in\mathbb{N}}(vn​)n∈N​
 définie par 
{v0=0Pour tout n∈N,vn+1=3vn+4\begin{cases} v_0 = 0 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, v_{n+1} =\sqrt{3v_n+4} \end{cases}{v0​=0Pour tout n∈N,vn+1​=3vn​+4​​
 tend vers 
444
 lorsque 
nnn
 tend vers 
+∞+\infty+∞
. On cherche le rang à partir duquel 
vnv_nvn​
 se rapproche de sa limite avec une précision de 
10−410^{-4}10−4
 près. On admet que la suite est croissante. 
On utilise un algorithme Python qui calcule chaque terme de la suite et le compare à 
4−0,0001=3,99994-0,0001=3,99994−0,0001=3,9999
.
On teste chaque terme en le comparant à 
3,99993,99993,9999
 et on renvoie le premier indice
ppp
 tel que
vp⩾3,9999v_p\geqslant3,9999vp​⩾3,9999
. Il est convenable d’utiliser uneboucle « tant que ».
p=0v=0while v<3.9999:v=sqrt(3*v+4)p=p+1print(p)\begin{array}{}\texttt{p=0}\\\texttt{v=0}\\\texttt{while v<3.9999:}\\\qquad\texttt{v=sqrt(3*v+4)}\\\qquad\texttt{p=p+1}\\\texttt{print(p)}\\\end{array}p=0v=0while v<3.9999:v=sqrt(3*v+4)p=p+1print(p)​
Le programme renvoie
p=12p=12p=12
. Les termes de la suites se rapprochent de
4\text 44
avec une précision supérieure à
10−410^{-4}10−4
à partir du terme de rang
12\text{12}12
.