Quizéo

Soit

\left(u_n\right)

 la suite définie par 

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \left(1 + \sqrt{5}\right)^n + \left(1 - \sqrt{5}\right)^n

.

Montrer que, pour tout

n \in \mathbb{N}

,

u_{n+2} = 2u_{n+1} + 4u_n

.

Soit

\left(u_n\right)

 une suite arithmétique telle que

u_4 = -3

et

u_7 = \dfrac{1}{2}

.

Calculer 

u_3

,

u_5

,

u_0

et

u_{10}

.

1.Soit

S_1 = 7 + 18 + 29 + 40 + ... + \ 2\,856

. Déterminer la valeur de

S_1

.

2.Soit 

S_2 = 3 + 8 + 13 + 18 + ... + 1\,003

. Déterminer la valeur de 

S_2

.

3.Soit 

S_3=5 + 15 + 45 + 135 + ... + \; 295\ 245

. Déterminer la valeur de 

S_3

.

Soit 

(u_{n})

,

(v_{n})

et

(w_{n})

trois suites telles que, pour tout entier naturel 

n

,

u_{0}=4

,

u_{n+1}=3+\sqrt{u_{n}}

;

v_{n}=3+\sqrt{n}

;

w_{n}=2+3v_{n}

.

1.Calculer 

u_{1}, u_{2}, v_{1}

et

v_{2}

.

2.Calculer 

w_{0}

et

w_{1}

.

3.Exprimer 

w_{n}

 en fonction de 

n

.

Soit 

(u_{n})

 une suite arithmétique de premier terme 

u_{0}=-5

 et de raison 3.

1.Calculer 

u_{1}

 puis 

u_{2}

.

2.Déterminer 

u_{n+1}

 en fonction de 

u_{n}

pour tout nombre naturel

n

.

3.Déterminer

u_{n}

 en fonction de

n

.

4.Pour quelle valeur de

n

,

u_{n}=34

?

Soit 

(v_{n})

 une suite géométrique de premier terme 

v_{0}=3

 et de raison

-2

.

1.Calculer 

v_{1}

 puis 

v_{2}

.

2.Déterminer 

v_{n+1}

 en fonction de 

v_{n}

pour tout nombre naturel

n

.

3.Déterminer

v_{n}

 en fonction de

n

.

On considère la suite

(u_n)

 définie, pour tout

n \in \mathbb{N}

, par 

u_n = \dfrac{3n+1}{n+1}

.

1.Que vaut

u_0

 ? Que vaut

u_1

 ? Que vaut 

u_{2\,023}

?

2.Si

k

 est un entier naturel quelconque, que vaut

u_{2k+1}

 ? Retrouver la valeur de

u_1

 et de

u_{2\,023}

 grâce à cette expression.

Soit

(u_n)

 la suite définie par : 

\begin{cases} u_1 = 0 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}^*, u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_n} \end{cases}

.

1.Calculer les quatre premiers termes.

2.Conjecturer l'expression de

u_n

 en fonction de 

n

.

Une suite est définie par 

u_0 = 6

  et, pour tout entier

n

 positif,

u_{n+1} = 3u_n + 1

si

u_n

 est impair, 

u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2}

si

u_n

 est pair. 

Déterminer 

u_5

.

Soit

(u_n)

 la suite définie par 

\begin{cases} u_0 = 1 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2u_n + 1} \\ \end{cases}

.

On définit ensuite la suite

(v_n)

par

\text{pour tout } n \in \mathbb{N}, v_n = \dfrac{1}{u_n}

.

La suite

(v_n)

 est-elle arithmétique ?

On considère la suite arithmétique

(u_n)

 de raison

-\dfrac{2}{3}

 et de premier terme

u_1 = 5

.

1.Exprimer

u_n

 en fonction de

n

.

2.Calculer 

u_{25}

.

On considère la suite

(u_n)

 définie par, pour tout 

n \in \mathbb{N}

,

u_{n} = 6n - 2n^2 + 1

.

La suite

(u_n)

 est-elle géométrique ?

Soit

(v_n)

la suite géométrique de premier terme

v_0 = \dfrac{2}{5}

 et de raison

q = -\dfrac{1}{2}

.

1.Exprimer

v_n

 en fonction de

n

.

2.Calculer 

v_{10}

.

Soit

\left(u_n\right)

 la suite définie par 

\begin{cases} u_0 = -4 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \dfrac{3}{2}u_n + 9 \end{cases}

.

On définit ensuite la suite

(v_n)

 par, pour tout

n \in \mathbb{N}

,

v_n = u_n + 18

.

1.La suite

(u_n)

 est-elle arithmétique ? 

2.La suite

(u_n)

 est-elle géométrique ?

3.La suite

(v_n)

 est-elle arithmétique ?

4.La suite

(v_n)

 est-elle géométrique ?

Dans chacun des cas, étudier le sens de variation de la suite

(u_n)

.
1.\(u_n = n^2\)pour 

n \in \mathbb{N}

2.

u_n = 3n - 5

 pour 

n \in \mathbb{N}

3.\(u_n = 1 + \dfrac{1}{n}\)pour 

n \in \mathbb{N}^*

4.\(u_n = \dfrac{n}{n+1}\) pour 

n \in \mathbb{N}

5.\(u_n = -\dfrac{2}{n+4}\) pour 

n \in \mathbb{N}

6.\(u_n = \dfrac{5^n}{n}\)pour 

n \in \mathbb{N}^*

7.\(u_n = 2n^2 - 1\) pour 

n \in \mathbb{N}

8. \(u_n = \dfrac{3^n}{2n}\)pour 

n \in \mathbb{N}^*

On considère la suite

(u_n)

définie, pour tout entier 

n \in \mathbb{N}

,

u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2}

.

1.Étudier le sens de variations de la suite 

(u_n)

.

2.Montrer que, pour tout

n \in \mathbb{N}^*

,

\frac1 2<u_n \leqslant 1

3.Conjecturer la valeur de la limite de la suite 

(u_n)

.

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