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Applications directes

\(\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \left(1 + \sqrt{5}\right)^n + \left(1 - \sqrt{5}\right)^n\)

Sommaire

Une relation de récurrenceTermes d'une suite arithmétiqueCalcul de sommesCalcul de termesUne suite arithmétique (1)Une suite géométrique (1)Changement d'indiceUne suite définie par récurrence (1)Une suite définie par récurrence (2)Une suite arithmétique ?Une suite arithmétique (2)Une suite géométrique ?Une suite géométrique (2)Nature d'une suiteVariations de suitesComportement d'une suite

Une relation de récurrence

Soit
(un)\left(u_n\right)(un​)
 la suite définie par 
∀n∈N,un=(1+5)n+(1−5)n\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \left(1 + \sqrt{5}\right)^n + \left(1 - \sqrt{5}\right)^n∀n∈N,un​=(1+5​)n+(1−5​)n
.
Montrer que, pour tout
n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N
, 
un+2=2un+1+4unu_{n+2} = 2u_{n+1} + 4u_nun+2​=2un+1​+4un​
.

Termes d'une suite arithmétique

Soit
(un)\left(u_n\right)(un​)
 une suite arithmétique telle que
u4=−3u_4 = -3u4​=−3
 et
u7=12u_7 = \dfrac{1}{2}u7​=21​
.
Calculer 
u3u_3u3​
,
u5u_5u5​
,
u0u_0u0​
 et 
u10u_{10}u10​
.

Calcul de sommes

1.Soit
S1=7+18+29+40+...+ 2 856S_1 = 7 + 18 + 29 + 40 + ... + \ 2\,856S1​=7+18+29+40+...+ 2856
. Déterminer la valeur de
S1S_1S1​
.
2.Soit 
S2=3+8+13+18+...+1 003S_2 = 3 + 8 + 13 + 18 + ... + 1\,003S2​=3+8+13+18+...+1003
. Déterminer la valeur de 
S2S_2S2​
.
3.Soit 
S3=5+15+45+135+...+  295 245S_3=5 + 15 + 45 + 135 + ... + \; 295\ 245S3​=5+15+45+135+...+295 245
. Déterminer la valeur de 
S3S_3S3​
.

Calcul de termes

Soit 
(un)(u_{n})(un​)
, 
(vn)(v_{n})(vn​)
 et
(w_{n})
trois suites telles que, pour tout entier naturel 
n
, 
u0=4u_{0}=4u0​=4
, 
un+1=3+unu_{n+1}=3+\sqrt{u_{n}}un+1​=3+un​​
  ;
vn=3+nv_{n}=3+\sqrt{n}vn​=3+n​
 ;
w_{n}=2+3v_{n}
.
1.Calculer 
u1,u2,v1u_{1}, u_{2}, v_{1}u1​,u2​,v1​
 et 
v_{2}
.
2.Calculer 
w0w_{0}w0​
 et 
w1w_{1}w1​
.
3.Exprimer 
wnw_{n}wn​
 en fonction de 
n
.

Une suite arithmétique (1)

Soit 
(un)(u_{n})(un​)
 une suite arithmétique de premier terme 
u0=−5u_{0}=-5u0​=−5
 et de raison 3.
1.Calculer 
u1u_{1}u1​
 puis 
u2u_{2}u2​
.
2.Déterminer 
un+1u_{n+1}un+1​
 en fonction de 
unu_{n}un​
pour tout nombre naturel
nnn
.
3.Déterminer
unu_{n}un​
 en fonction de
nnn
.
4.Pour quelle valeur de
nnn
, 
un=34u_{n}=34un​=34
 ? 

Une suite géométrique (1)

Soit 
(vn)(v_{n})(vn​)
 une suite géométrique de premier terme 
v0=3v_{0}=3v0​=3
 et de raison
-2
.
1.Calculer 
v1v_{1}v1​
 puis 
v2v_{2}v2​
.
2.Déterminer 
vn+1v_{n+1}vn+1​
 en fonction de 
vnv_{n}vn​
pour tout nombre naturel
nnn
.
3.Déterminer
vnv_{n}vn​
 en fonction de
nnn
.

Changement d'indice

On considère la suite
(un)(u_n)(un​)
 définie, pour tout
n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N
, par 
un=3n+1n+1u_n = \dfrac{3n+1}{n+1}un​=n+13n+1​
.
1.Que vaut
u0u_0u0​
 ? Que vaut
u1u_1u1​
 ? Que vaut 
u2 023u_{2\,023}u2023​
 ?
2.Si
kkk
 est un entier naturel quelconque, que vaut
u2k+1u_{2k+1}u2k+1​
 ? Retrouver la valeur de
u1u_1u1​
 et de
u2 023u_{2\,023}u2023​
 grâce à cette expression.

Une suite définie par récurrence (1)

Soit
(un)(u_n)(un​)
 la suite définie par : 
{u1=0Pour tout n∈N∗,un+1=12−un\begin{cases} u_1 = 0 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}^*, u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_n} \end{cases}⎩⎨⎧​u1​=0Pour tout n∈N∗,un+1​=2−un​1​​
.
1.Calculer les quatre premiers termes.
2.Conjecturer l'expression de
unu_nun​
 en fonction de 
nnn
.

Une suite définie par récurrence (2)

Une suite est définie par 
u0=6u_0 = 6u0​=6
  et, pour tout entier
nnn
 positif,
un+1=3un+1u_{n+1} = 3u_n + 1un+1​=3un​+1
 si 
unu_nun​
 est impair, 
un+1=un2u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2}un+1​=2un​​
 si 
unu_nun​
 est pair. 
Déterminer 
u5u_5u5​
.

Une suite arithmétique ?

Soit
(un)(u_n)(un​)
 la suite définie par 
{u0=1Pour tout n∈N,un+1=un2un+1\begin{cases} u_0 = 1 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2u_n + 1} \\ \end{cases}⎩⎨⎧​u0​=1Pour tout n∈N,un+1​=2un​+1un​​​
.
On définit ensuite la suite
(vn)(v_n)(vn​)
 par
pour tout n∈N,vn=1un\text{pour tout } n \in \mathbb{N}, v_n = \dfrac{1}{u_n}pour tout n∈N,vn​=un​1​
.
La suite
(vn)(v_n)(vn​)
 est-elle arithmétique ?

Une suite arithmétique (2)

On considère la suite arithmétique
(un)(u_n)(un​)
 de raison
−23-\dfrac{2}{3}−32​
 et de premier terme
u1=5u_1 = 5u1​=5
 .
1.Exprimer
unu_nun​
 en fonction de
nnn
.
2.Calculer 
u25u_{25}u25​
.

Une suite géométrique ?

On considère la suite
(un)(u_n)(un​)
 définie par, pour tout 
n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N
, 
un=6n−2n2+1u_{n} = 6n - 2n^2 + 1un​=6n−2n2+1
.
La suite
(un)(u_n)(un​)
 est-elle géométrique ?

Une suite géométrique (2)

Soit
(vn)(v_n)(vn​)
la suite géométrique de premier terme
v0=25v_0 = \dfrac{2}{5}v0​=52​
 et de raison
q=−12q = -\dfrac{1}{2}q=−21​
.
1.Exprimer
vnv_nvn​
 en fonction de
nnn
.
2.Calculer 
v10v_{10}v10​
.

Nature d'une suite

Soit
(un)\left(u_n\right)(un​)
 la suite définie par 
{u0=−4Pour tout n∈N,un+1=32un+9\begin{cases} u_0 = -4 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \dfrac{3}{2}u_n + 9 \end{cases}⎩⎨⎧​u0​=−4Pour tout n∈N,un+1​=23​un​+9​
.
On définit ensuite la suite
(vn)(v_n)(vn​)
 par, pour tout
n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N
, 
vn=un+18v_n = u_n + 18vn​=un​+18
.
1.La suite
(un)(u_n)(un​)
 est-elle arithmétique ? 
2.La suite
(un)(u_n)(un​)
 est-elle géométrique ?
3.La suite
(vn)(v_n)(vn​)
 est-elle arithmétique ?
4.La suite
(vn)(v_n)(vn​)
 est-elle géométrique ?

Variations de suites

Dans chacun des cas, étudier le sens de variation de la suite
(un)(u_n)(un​)
.
1.\(u_n = n^2\)pour 
n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N
2.
un=3n−5u_n = 3n - 5un​=3n−5
 pour 
n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N
3.\(u_n = 1 + \dfrac{1}{n}\)pour 
n∈N∗n \in \mathbb{N}^*n∈N∗
4.\(u_n = \dfrac{n}{n+1}\) pour 
n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N
5.\(u_n = -\dfrac{2}{n+4}\) pour 
n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N
6.\(u_n = \dfrac{5^n}{n}\)pour 
n∈N∗n \in \mathbb{N}^*n∈N∗
7.\(u_n = 2n^2 - 1\) pour 
n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N
8. \(u_n = \dfrac{3^n}{2n}\)pour 
n∈N∗n \in \mathbb{N}^*n∈N∗

Comportement d'une suite

On considère la suite
(un)(u_n)(un​)
définie, pour tout entier 
n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N
, 
un=n2+12n2u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2}un​=2n2n2+1​
.
1.Étudier le sens de variations de la suite 
(un)(u_n)(un​)
.
2.Montrer que, pour tout
n∈N∗n \in \mathbb{N}^*n∈N∗
,
12<un⩽1\frac1 2<u_n \leqslant 121​<un​⩽1
3.Conjecturer la valeur de la limite de la suite 
(un)(u_n)(un​)
.