Lors d'un entretien d'embauche, une entreprise a proposé deux types de contrats.
Dans les deux cas, le premier salaire est versé en janvier 2024 et son montant net mensuel est de 1 800 €. Sa revalorisation prend effet sur la paye du mois de janvier de chaque nouvelle année.
1re proposition : une augmentation fixe de 63,4 €.
2e proposition : une augmentation de 4 % sur le salaire mensuel de l’année précédente.
Donner des arguments en faveur des deux propositions.
Le radon 222
Le radon 222 est un noyau radioactif produit par la chaîne de désintégration de l'uranium 238. Il se présente sous forme de gaz dans l'atmosphère ; ses produits de désintégration sont des métaux lourds qui peuvent affecter les voies pulmonaires.
Le taux de désintégration journalier du radon 222 est de
16,5 %. Cela signifie que, étant donnés
noyaux de radon 222, 16,5 % d'entre eux se désintègrent chaque jour.
Déterminer après combien de jours plus de la moitié des noyaux sera désintégrée. On appelle ce nombre la demi-vie du radon 222.
Pour en savoir plus sur les enjeux de la présence du radon 222 dans l'atmosphère, sante.gouv.fr/sante-et-environnement/batiments/article/qu-est-ce-que-le-radon.
Somme des carrés des n premiers entiers naturels
D'après le cours, nous connaissons la somme des
premiers entiers naturel, soit pour tout
,
.
L'objectif de cet exercice est de déterminer le terme général de la suite
définie, pour tout
, par
, c'est-à-dire la somme des carrés des
premiers entiers naturels.
Conseil: la démonstration proposée suit un raisonnement similaire à celui utilisé pour démontrer l'expression de
en fonction de
et il est profitable de revoir cette preuve avant d'entamer l'exercice.
1.Démontrer que, pour tout
dans
, \((n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1\). On remarquera que cette identité reste valable dans
.
2.Exprimer
en fonction de
puis compléter le tableau suivant.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline n=1&2^3-1^3& =&3\times 1^2+3\times 1+1 \\ \hline n=2&3^3-2^3& =&3\times 2^2+3\times 2+1 \\ \hline n=3&4^3-3^3& =&3\times ...^2+3\times ...+1 \\ \hline n=4&5^3-4^3& =&3\times ...^2+3\times ...+1 \\ \hline ...&.. & ... &...\\\hline n&(n+1)^3-n^3& =&3\times ...^2+3\times ...+1 \\ \hline \end{array}
3.En additionnant tous les termes de la deuxième colonne puis tous ceux de la quatrième colonne, démontrer que, pour tout
,
.
4.En déduire l'expression de
.
5.Démontrer que la suite définie pour tout
par
est arithmétique et préciser son premier terme et sa raison.
6.Exprimer
en fonction de
pour tout
.
Moyennes arithmétique et géométrique
1.Soit
(u_n)
une suite définie sur
\mathbbN
. Montrer que
(u_n)
est arithmétique si et seulement si pour tout
n \in\mathbbN
,
u_{n+1}
est la moyenne arithmétique de
u_n
et
u_{n+2}
.
C'est-à-dire : pour tout
n \in\mathbbN
,
u_{n+1}=\frac{u_n+u_ {n+2}}{2}
.
2. Soit
(v_n)
une suite définie sur
\mathbbN
telle que
v_n>0
. Montrer que
(v_n)
est géométrique si et seulement si pour tout
n \in\mathbbN
,
v_{n+1}
est la moyenne géométrique entre
v_n
et
v_{n+2}
.
C'est-à-dire :pour tout
n \in\mathbbN
,
v_{n+1}=\sqrt{v_n times v_ {n+2}}
.
Contenu d'une tirelire
Chaque année, la grande-mère de Sylvain a déposé de l'argent dans une tirelire afin de constituer une cagnotte pour son petit-fils. Elle a commencé le 1erjanvier 2002 par un dépôt de
euros. Depuis, elle a effectué un dépôt chaque 1erjanvier, en augmentant chaque année le montant du dépôt de
euros.Ainsi, la deuxième année, elle a déposé\(550\) euros.
On note
le montant, exprimé en euros, de la somme déposée dans la tirelire le 1erjanvier de l'année
, où
. On a donc
.
On note
le montant, exprimé en euros, de la somme contenue dans la tirelire après le dépôt du 1erjanvier de l'année
. On a donc
puis
, etc.
1.a.Déterminer
,
et
. Exprimer
en fonction de
. b.Déterminer
et
. Exprimer
en fonction de
.c.Le 1erjanvier 2022, la grand-mère de Sylvain a effectué son dépôt habituel, puis elle a offert la tirelire à son petit-fils. Quel est le montant de la somme reçue par Sylvain ?
2.Avec le cadeau de sa grand-mère, Sylvain effectue quelques achats puis ouvre un compte bancaire et y place la plus grande partie de la somme qu'il a reçue. Il place
euros, à intérêts composés, au taux annuel de
%. On note
le montant, exprimé en euros, du capital disponible sur le compte bancaire de Sylvain après
années de placement.a.Montrer que la suite
est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison. Exprimer
en fonction de
.b.Combien d'années, au minimum, Sylvain devra-t-il attendre pour disposer d'une somme de
euros sur son compte bancaire ?
Augmentation de loyer
En\(2021\), lors de la première année de location d'un appartement, le loyer annuel s'élève à
euros. Le propriétaire décide d'appliquer une augmentation annuelle au loyer. Pour cela il étudie deux modèles d’augmentation.
1.Dans le premier cas, le loyer annuel augmente chaque 1erjanvier de
euros. On modélise le prix en euros du loyer annuel en fonction du nombre d'années écoulées depuis
par une suite
avec
.a.Calculer
et
et préciser la nature de la suite
.b.Donner le terme général de la suite
.c.Quel sera le montant annuel du loyer en
?d.En quelle année le loyer dépassera-t-il une fois et demie le montant de la première année ? e.Quelle sera la somme perçue par le propriétaire au terme des vingt premières années ?
2.Dans le second cas, le loyer annuel augmente chaque 1erjanvier de
%. On modélise le prix en euros du loyer annuel en fonction du nombre d'années écoulées depuis
par la suite
avec
. a.Calculer
et
et préciser la nature de la suite
.b.Donner le terme général de la suite
.c.Quel sera le montant annuel du loyer en
? d.En quelle année le loyer dépassera-t-il une fois et demie le montant de la première année ?e.Quelle sera la somme perçue par le propriétaire au terme des vingt premières années ?Arrondir le résultat à l'euro près.
3. La règlementation prévoit de signer un bail de location de 6 ans renouvelable. Si le locataire décidait de ne pas renouveler le contrat au bout de 6 ans, quelle modalité d'augmentation conviendrait-elle au propriétaire ?
Indices pairs et impairs
On considère la suite
définie sur
par
,
et
.
1.Déterminer la somme des
premiers termes de cette suite.
2.Étudier le cas où
, puis le cas où
et enfin le cas où
.
Terme général d'une suite et somme
On considère la suite
définie sur
et dont les premiers termes sont :
1.Expliquer la logique de cette suite de nombres et donner les quatre termes qui suivent
.
2.Déterminer, en fonction de l’entier positif
, le terme de rang
de cette suite.
3.Déterminer la somme des
premiers termes de cette suite.
Forage d'un puits
On s'intéresse au forage d'un puits. Chaque mètre supplémentaire creusé coûte
euros de plus que le mètre précédent.
On appelle
le coût en euros du
-ième mètre creusé pour ce forage. On sait que le coût du premier mètre creusé est
euros.
1.Que vaut
? Que vaut
?
2.Quelle est la nature de la suite
? Justifier brièvement.
3.Pour tout entier naturel
, exprimer
en fonction de
.
4.Quel est le coût d'un forage de
mètres ?
5.Quelle est la profondeur maximale d'un puits que l'on peut forer avec un budget de
euros ?
Équipement d'une falaise
Le conseil municipal d'une station touristique de montagne a décidé de faire équiper une falaise afin de créer un site d'escalade. L'équipement doit être réalisé depuis le pied de la falaise. Deux entreprises spécialisées dans ce type de chantier ont été contactées et ont envoyé des devis.
Devis A
Le premier mètre équipé coûte
euros puis chaque mètre supplémentaire équipé coûte
euros de plus que le mètre précédent (
euros pour équiper une falaise d'un mètre,
€ pour équiper une falaise de deux mètres,
pour équiper une falaise de trois mètres, etc).
Devis B
Le premier mètre équipé coûte
euros puis chaque mètre supplémentaire équipé coûte
de plus que le mètre précédent (
euros pour équiper une falaise d'un mètre,
€ pour équiper une falaise de deux mètres,
€ pour équiper une falaise de trois mètres, etc).
On appelle
le prix de l'
-ième mètre équipé et
le prix total pour l'équipement d'une falaise de
mètres de hauteur indiqué par l'entrepriseA.
On appelle
le prix d'un
-ième mètre équipé et
le prix total pour l'équipement d'une falaise de
mètres de hauteur indiqué par l'entrepriseB.
1.Exprimer
et
en fonction de
.
2.Exprimer
et
en fonction de
.
3.Calculer le prix à payer pour équiper une falaise de
mètres de hauteur avec chacune des deux entreprises. Préciser l'entreprise la moins chère (arrondir les prix à l'euro près).
4.Le conseil municipal a décidé d'accorder un budget de
euros pour équiper le site. Calculer la hauteur de la falaise qui peut être équipée avec cette somme par chacune des deux entreprises A et B(arrondir les hauteurs au mètre près).
Suite de Syracuse
La suite de Syracuse d’un nombre entier
N > 0
est définie par récurrence de la façon suivante :
u_0 = N
et pour tout entier naturel
n > 0
:
Une conjecture (donc toujours non démontrée à l’heure actuelle) affirme que, pour tout entier
, il existe un indice
tel que
.
Partie 1
On considère en langage Python la fonctionsyracuse(N,n)renvoyant le terme un avecu0 = N:
def syracuse(N,n):
u = N
for i in range(1, n+1): # pour i allant de 1 à n
if u%2==0: # u%2: reste de la division euclidienne de u par 2
u = u//2 # u//2: quotient de la division euclidienne de u par 2
else:
u = 3*u+1
return u
1.Saisir le programme précédent dans EduPython par exemple.
2.Exécuter la fonction afin d’obtenir les 5 premiers termes de la suite avec N = 1 et vérifier que les résultats fournis par le programme correspondent à ceux trouvés à la main.
Partie 2
Voici une fonction retournant la liste des n premiers termes de la suite de Syracuse :
def listesyracuse(N, n):
L = []
for i in range(n): # pour i allant de 0 à n-1
L = L+[syracuse(N, i)]
return L
Déterminer la liste des 30 premiers termes de la suite de Syracuse pour N allant de 1 à 15. Que remarquez-vous ? La conjecture est-elle vérifiée ?
Exercice en allemand
Auf einem Konto ist am 1. Januar
ein Kapital von
€. Es wird jährlich mit
% verzinst. Am Ende jeden Jahres werden noch zusätzlich
€ eingezahlt. Sei
das Kapital in Euro am 1. Januar des Jahres
2000 + n
, (
). Damit ist
.
1.a.Berechnen Sie
und
.b.Drücken Sie
abhängig von
aus.
2. Man beabsichtigt die Höhe des Kapitals am 1. Januar
direkt zu berechnen, falls die Sparbedigungen unverändert bleiben. Man definiert dafür eine neue Folge
durch
für alle natürlichen Zahlen.
a.Berechnen Sie
,
und
.b.Beweisen Sie, dass
eine geometrische Folge ist.c.Drücken Sie
in Abhängigkeit von
aus. Leiten Sie daraus den Ausdruck von
in Abhängigkeit von
her.d.Wie hoch wird das Kapital (auf
Cent gerundet) am 1. Januar
sein ?
3.In welchem Jahr (am 1.. Januar) wird das Kapital bei gleichbleibenden Sparbedingungen die Summe von
€ überschreiten ?
4.Zu welchem Zinssatz
% sollte das Anfangskapital von
€ angelegt werden, um am 1. Januar
, ohne die jährliche Zuzahlung von
€, auf
€ zu wachsen ? Die Zahl
ist auf Zehntel genau zu bestimmen.
Traduction
Un capital de
€ est investi sur un compte au 1erjanvier 2000, avec un taux d'intérêt annuel de
%. À la fin de chaque année, un montant supplémentaire de
€ est déposé. Soit
le capital en euros au 1erjanvier de l'année
2000 + n
, avec
. Ainsi,
K_0 = 400
.
1. a.Calculer
et
.b.Exprimer
en fonction de
.
2.On souhaite calculer directement la valeur du capital au 1erjanvier 2020, si les conditions d'épargne restent inchangées. On définit pour cela une nouvelle suite
par
pour tout nombre naturel.
a.Calculer
,
et
.b.Montrer que
est une suite géométrique.c.Exprimer
en fonction de
. En déduire l'expression de
en fonction de
.d.Quelle sera la valeur du capital (arrondie à 1 centime) au 1erjanvier 2020 ?
3.En quelle année (au 1erjanvier) le capital dépassera-t-il la somme de
€, en maintenant les conditions d'épargne inchangées ?
4.À quel taux d'intérêt
% le capital initial de
€ devrait-il être investi pour atteindre
€ au 1erjanvier
, sans le dépôt annuel de
€ ? La valeur de
doit être déterminée avec une précision d'une décimale.
Suite de Syracuse
Voici un algorithme permettant de générer une suite connue sous le nom de suite de Syracuse.
- Choisir un nombre initial.
- Si ce nombre est pair, le diviser par 2, sinon le multiplier par 3 et ajouter 1.
- Recommencer avec le nombre obtenu.
Exemple avec 23 comme nombre initial
est impair, donc le nombre suivant est
est pair, donc le nombre suivant est
est impair, donc le nombre suivant est
• En réitérant on obtient la suite :
etc …
1. Avec un tableur, créer une feuille de calcul telle que :
• la colonne A donne le rang ;
• écrire
dans la cellule B1.
Dans la cellule B2, écrire la formule suivante, que l'on recopiera vers le bas : B2 : =SI(ENT(B1/2)=B1/2 ; B1/2 ; 3*B1+1)
2. Expliquer ce que calcule cette formule et pourquoi.
3.En partant du nombre
, que se passe-t-il à partir du rang
?
4.Dans la colonne C, générer une suite de Syracuse avec
comme nombre initial. Pour cela, il suffit d'écrire
dans C1, de recopier vers la droite la formule de B2 dans C2, puis de recopier vers le bas la cellule C2. Que se passe-t-il ?
5.En utilisant à chaque fois une nouvelle colonne, générer les suites de Syracuse en partant des nombres suivants :
6.Pour lesquelles de ces suites le phénomène numérique observé précédemment ne se produit pas ?
7.Chercher un nombre initial pour lequel le phénomène numérique ne se produit pas.
8.On considère que la suite s'arrête dès que le phénomène numérique apparaît.On appelledurée du vol de la suitele nombre de termes qu'elle contient jusqu'à ce que le phénomène numérique se produise pour la 1ère fois.
a. Chercher un nombre initial permettant d'obtenir une suite de Syracuse avec une durée de vol la plus grande possible.
Attention :un tableur ne peut faire des calculs exacts qu'avec des nombres dont l'écriture décimale comporte 14 chiffres au maximum. Pour s'en convaincre, essayer de demander de calculer 506250000000000×2 !! Aucun nombre de la suite ne doit donc avoir plus de 14 chiffres
b.À l'aide d'un programme Python, écrire un algorithme qui demande la valeur initiale, calcule les termes de la suite jusqu'à l'atterrissage, et affiche la durée du vol.