Méthode d'Héron
Il s'agit d'un célèbre algorithme, trouvé par les Babyloniens (-1800 environ -532) mais connu sous le nom d'algorithme de Héron, qui permet de calculer des approximations de la racine carrée d'un nombre, de plus en plus précises, et cela avec une grande facilité et surtout une grande rapidité.
L'idée vient d'une construction géométrique qu'on étudiera dans cette 1repartie.
PARTIE A Construction géométrique pour "quarrer" un rectangle
Idée de l'algorithme
En partant d'un rectangle d'aire égale à
N
, de dimensions
a
et
b
, tels que
N=ab
, la construction permet d'obtenir une suite de rectangles, tous d'aire égale à
N
, mais dont les dimensions tendent vers celles d'un carré, donc de plus en plus proches de la racine carrée de
N
.
1.Le fichier de géométrie dynamique suivant montre la construction envisagée par Héron avec
N=20
. Afin d'observer les étapes de l'algorithme, il suffit de cliquer sur le bouton "double-flèche droite" en bas de l'écran pour la suivre pas à pas.
Étapes de construction
• 1→5: construction du rectangle initial
\text{OA}_0\text{C}_0\text{B}_0
d'aire égale à
N
, et de dimensions arbitraires
a
et
b
tels que
ab=\text{N
(ici
a=10
et
b=2
). On a donc
\text{OA}_0=a
et
\text{OB}_0=b
.
• 6→7: construction du cercle de centre
\text{A}_0
et de rayon
\text{A}_0\text{C}_0
qui coupe la droite
\text{OA}_0
en
\text{D}_0
.
• 8→9: construction de la médiatrice
d_1
du segment
[\text{OD}_0 ]
coupe
[\text{OA}_0 ]
en
\text{A}_1
.
• 10→12: construction de la parallèle à la droite
\text{A}_1\text{B}_0
passant par
\text{A}_0
qui coupe
(\text{OB}_0)
en
\text{B}_1
.
• 13→15: construction du point
\text{C}_1
, le 4ème sommet du rectangle
.
• 16→25: Réitération de la construction à partir du rectangle
pour obtenir le rectangle
.
• 26→35: Réitération de la construction à partir du rectangle
pour obtenir le rectangle
.
2.À l'aide de la construction montrée dans le fichier de géométrique précédente, répondre aux questions suivante .
a. Exprimer la longueur du segment
[\text{OD}_0 ]
en fonction de
a
et
b
.
b. Exprimer la longueur du segment
[\text{OA}_1 ]
en fonction de
a
et
b
.
c. Démontrer que, quel que soit
a
et
b
, l'aire du rectangle
est égale à celle du rectangle
\text{OA}_0\text{C}_0\text{B}_0
, donc égale à
N
.
d.A chaque étape, les dimensions du rectangle obtenu donnent un encadrement de
\sqrt(N)
. Déterminer les deux bornes de l’encadrement de
\sqrt(20)
après trois itérations de la construction.
PARTIE B Modélisation de la suite numérique avec un tableur
On vient de voir que, si on connait deux nombres
a_0
et
b_0
tels que
a_0 b_0=N
, alors les nombres
a_1
et
b_1
tels que
et
vérifient bien
, et sont plus proches l'un de l'autre que ne le sont
a_0
et
b_0
.
En réitérant, on obtient des couples de nombres, de plus en plus proches l'un de l'autre, et dont le produit reste égal à
N
.
1. En suivant le modèle montré dans la figure suivante, générer, avec un tableur, en colonne les termes des suites
et
, en prenant comme premiers termes par exemple
et
(pour chercher à calculer
).
2. Quel est le rang du terme donnant une approximation de
à
près ? et à
près ?
3. Changer la valeur de
a_0
, en prenant soin que
b_0
se recalcule automatiquement pour que le produit reste égal à
. Répondre à la question précédente. Que constate-t-on ?
Vocabulaire
On dit que ces suitesconvergent vers \(\sqrt{20}\), ou encore qu'elles admettent une limite finie, égale à
.
On écrit :
.
PARTIE C Programmation d'un algorithme
Écrire un programme Python qui demande la valeur de
N
, celle de
a_0
, ainsi que la précision avec laquelle on veut obtenir
\sqrt(N)
et qui calcule les termes de la suite
jusqu'à ce que la précision demandée soit atteinte.