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Entraînements aux Olympiades

Dans cet exercice, le symbole 

Sommaire

Nous sommes toutes distinctes - Olympiades 2024 Exercice 2Plus fort ! - Olympiades 2023 Exercice 1Étiquetage gracieux d'une figure - Olympiades 2022 Exercice 1Addition du cancre, suites de Farey et cercles de Ford - Olympiades 2020 Exercice 1(***)image Olympiades 2019 - Somme de carrés

Nous sommes toutes distinctes - Olympiades 2024 Exercice 2

Dans cet exercice, le symbole 
nnn
désigne un entier naturel, avec 
n≥1n \ge 1n≥1
; tous les ensembles considérés sont non vides, finis et constitués de nombres réels distincts ; de plus, on conviendra d’écrire tout ensemble fini 
A={a1,…,an}A= \{a_1, \ldots, a_n\}A={a1​,…,an​}
à 
nnn
éléments réels distincts en ordonnant toujours
a1,a2,⋯ ,ana_1, a_2, \cdots, a_na1​,a2​,⋯,an​
 si bien que
a1<a2<⋯<ana_1< a_2< \cdots<a_na1​<a2​<⋯<an​
S(A)=a1+⋯+an\hspace{5 cm}S(A)=a_1+\cdots+a_nS(A)=a1​+⋯+an​
En particulier, lorsque 
n=1n=1n=1
et donc 
A={a1}A=\{a_1\}A={a1​}
 est un singleton, 
S(A)=a1S(A) = a_1S(A)=a1​
.
On dit que l’ensemble 
AAA
est à sommes toutes distinctes (en abrégé que 
AAA
est STD) quand, pour toutes parties non vides distinctes 
YYY
et 
ZZZ
de
AAA
,
S(Y)≠S(Z)S(Y) \neq S(Z)S(Y)=S(Z)
. Cela revient à demander aux 
2n−12^n-12n−1
sommes que l’on peut former avec des éléments de 
AAA
 d’être toutes distinctes.
Par exemple, 
A={1,2,5}A=\{1,2,5\}A={1,2,5}
est STD parce que les nombres
1,2,5,1+2=3,2+5=7,1+5=6,1+2+5=81,2,5,1+2=3, 2+5=7, 1+5=6, 1+2+5=81,2,5,1+2=3,2+5=7,1+5=6,1+2+5=8
  sont tous distincts. En revanche, 
A={2,4,6,7}A=\{2,4,6,7\}A={2,4,6,7}
n’est pas STD parce qu’en prenant 
Y={2,4,7}Y=\{2,4,7\}Y={2,4,7}
et
Z={6,7}Z=\{6,7\}Z={6,7}
, on a 
S(Y)=2+4+7=13S(Y)= 2+4+7=13S(Y)=2+4+7=13
=S(Z)=S(Z)=S(Z)
, bien que
Y≠ZY \neq ZY=Z
.
Partie 1 - Exemples et contre-exemples simples
1.Expliquer pourquoi le nombre de sommes à envisager pour étudier le caractère STD de 
AAA
vaut
2n−12^n-12n−1
.
2.Montrer que l’ensemble 
{1,3,5}\{1,3,5\}{1,3,5}
est STD mais que l’ensemble
{4,6,7,9}\{4,6,7,9\}{4,6,7,9}
 ne l’est pas.
3.Quel(s) ensemble(s) 
AAA
contenant 
000
est (sont) STD  ?
4.Soit 
AAA
et 
BBB
deux ensembles non vides et finis de réels distincts, avec 
A⊂BA\subset BA⊂B
(c’est-à-dire que 
AAA
est un sous-ensemble de
BBB
).
    a.Si 
BBB
est STD, justifier que 
AAA
l’est aussi.
    b.L’ensemble 
BBB
peut-il être STD si 
AAA
ne l’est pas ? 
5.Soit 
AAA
un ensemble non vide et fini de réels distincts. On suppose que 
AAA
n’est constitué que de nombres entiers et qu’il est STD. Justifier que 
A∪{12}\displaystyle A \cup \left\{\frac{1}{2}\right\}A∪{21​}
puis que 
A∪{12,2}\displaystyle A\cup \left\{ \frac{1}{2} , \sqrt2\right\}A∪{21​,2​}
sont aussi STD.
Partie 2 - Construction d’une suite
On considère la suite 
(un)(u_n)(un​)
définie par 
u1=1u_1=1u1​=1
et par la relation de récurrence, valable pour tout
n≥1n \ge1n≥1
,
u(n+1)=u1+⋯+un+1u_{(n+1)}=u_1+ \cdots+u_n+1u(n+1)​=u1​+⋯+un​+1
6.Vérifier que
u2=2u_2=2u2​=2
 et
u3=4u_3=4u3​=4
. Calculer
u5u_5u5​
.
7.Rédiger sur votre copie un programme en langage Python qui renverrait 
u100u_{100}u100​
(qu’on ne calculera pas).
8.Étudier le sens de variation de la suite
(un)(u_n)(un​)
.
9.Montrer que, pour tout
n≥1n \ge1n≥1
, l’ensemble 
{u1,⋯ ,un}\{u_1, \cdots, u_n\}{u1​,⋯,un​}
est STD.
10.Montrer que 
(un)(u_n)(un​)
est en fait une suite géométrique que l’on déterminera.
Partie 3 - Suites STD
Une suite 
(un)(u_n)(un​)
est diteSTD lorsqu’elle est strictement croissante, qu’elle est composée d’entiers strictement positifs et que, pour tout
n≥1n \ge1n≥1
, l’ensemble 
{u1,⋯ ,un}\{u_1, \cdots, u_n\}{u1​,⋯,un​}
est STD.
Par exemple, la suite étudiée dans la partie 2 est une suite STD.
11.Soit (𝑢𝑛) une suite STD quelconque.
    a.Montrer que pour tout 
n≥1n \ge1n≥1
: 
u1+⋯+un≥2n−1u_1+ \cdots+u_n \ge2^n-1u1​+⋯+un​≥2n−1
.
     b.En déduire que pour tout 
n≥2n \ge2n≥2
: 
un≥2nnu_n \ge\dfrac{2^n}{n}un​≥n2n​
.
12.Le but cette question est d’affiner la minoration obtenue à la question précédente. Pour ce faire, nous aurons recours aux probabilités, et nous dirons qu’une variable aléatoire 
XXX
à valeurs dans un ensemble réel fini non vide
A={a1,⋯ ,an}A= \{a_1, \cdots,a_n\}A={a1​,⋯,an​}
 à 
nnn
éléments distincts suit une loi uniforme quand toutes les valeurs qu’elle peut atteindre sont équiprobables. Ainsi,
P(X=a1)=P(X=a2)=⋯=P(X=an)=1nP(X=a_1) = P(X=a_2)= \cdots=P(X=a_n)=\dfrac{1}n{}P(X=a1​)=P(X=a2​)=⋯=P(X=an​)=n1​
.
    a.Soit 
(un)(u_n)(un​)
une suite STD quelconque. Pour 
n≥2n\ge 2n≥2
, on considère les variables aléatoires indépendantes 
X1,…,XnX_1, \ldots,X_nX1​,…,Xn​
qui suivent la loi uniforme sur la paire 
{−1,1}\{-1,1\}{−1,1}
: ainsi, pour chacun des indices
i,P(Xi=1)=P(Xi=−1)=12i, P(X_i=1)=P(X_i=-1)=\dfrac{1}{2}i,P(Xi​=1)=P(Xi​=−1)=21​
. 
On pose
X=u1X1+⋯+unXnX=u_1X_1+ \cdots+u_nX_nX=u1​X1​+⋯+un​Xn​
.
On admet que
E(X)=u1E(X1)+⋯+unE(Xn)E(X)=u_1E(X_1)+\cdots+u_nE(X_n)E(X)=u1​E(X1​)+⋯+un​E(Xn​)
 et que
V(X)=u12V(X1)+…+un2(Xn)V(X)=u^2_1V(X_1)+\ldots+u^2_n(X_n)V(X)=u12​V(X1​)+…+un2​(Xn​)
.
Après avoir justifié que 
E(X1)=0E(X_1)=0E(X1​)=0
et
V(X1)=1V(X_1)=1V(X1​)=1
, calculer l’espérance 
E(X)E(X)E(X)
et exprimer la variance 
V(X)V(X)V(X)
en fonction de
u1,u2,⋯ ,unu_1,u_2,\cdots, u_nu1​,u2​,⋯,un​
.
    b.Montrer que 
XXX
suit une loi uniforme sur un ensemble de 
2n2^n2n
entiers relatifs, symétrique par rapport à
000
, et dont les éléments sont non nuls et de la même parité.
    c.En déduire que pour
n≥1n\ge1n≥1
, 
un2≥1n2n−1(12+32+52+⋯+(2n−1)2){u_{n}}^2\ge\dfrac{1}{n2^{n-1}}(1^2+3^2+5^2+ \cdots+(2^n-1)^2)un​2≥n2n−11​(12+32+52+⋯+(2n−1)2)
.
    d.Proposer une valeur de 
n≥2n\ge2n≥2
pour laquelle cette inégalité fournit un minorant plus grand qu’en11.b.

Plus fort ! - Olympiades 2023 Exercice 1

Dans tout ce problème, 
nnn
désigne un entier naturel supérieur ou égal à
333
.
Un joueur dispose de 
nnn
cartes numérotées de 
111
à
nnn
. Il les mélange puis note dans l’ordre la suite des numéros des cartes obtenue. On appellelistela suite des numéros ainsi observés.
Le nombre 
nnn
sera appelélongueurde la liste.
Par exemple, avec
n=8n=8n=8
, une liste possible est
L=[2,5,7,6,1,8,4,3]L=[2,5,7,6,1,8,4,3]L=[2,5,7,6,1,8,4,3]
.
Avec une liste donnée, le joueur marque un point chaque fois que le numéro d’une carte est supérieur à celui de la carte précédente.
Par exemple avec la liste
L=[2,5,7,6,1,8,4,3]L=[2,\mathbf5,\mathbf7,6,1,\mathbf8,4,3]L=[2,5,7,6,1,8,4,3]
, le joueur marque 
333
points.
On appellescorele nombre de points marqués par le joueur. Le score précédent est donc
333
.
1. Quelques exemples
    a.Donner un autre exemple de liste de longueur 
888
et de score
333
.
    b.Donner toutes les listes de longueur 
333
possibles ainsi que les scores correspondants.
2.Écrire sur votre copie la syntaxe d’une fonction Python qui, prenant en argument une liste 
LLL
et sa longueur
nnn
, renvoie le score de la liste
LLL
.
On revient au cas général ainsi qu’à des considérations théoriques.
3.Démontrer que tout score est compris entre 
000
et
n−1n-1n−1
. Donner une liste dont le score vaut 
000
et une liste dont le score vaut
n−1n-1n−1
.
4.Soit 
kkk
un entier compris entre 
111
et
n−2n-2n−2
.
    a.Démontrer qu’il existe une liste de longueur 
nnn
et de score
kkk
.
    b.Peut-on trouver deux listes de longueur 
nnn
et de score 
kkk
?
On note désormais 
Ln(S)L_n(S)Ln​(S)
le nombre de listes de longueur 
nnn
et de score
sss
.
5.Déterminer 
Ln(0)L_n(0)Ln​(0)
et
Ln(n−1)L_n(n-1)Ln​(n−1)
.
6. Une relation de récurrence
    a.Déterminer
L3(0)L_3(0)L3​(0)
, 
L3(1)L_3(1)L3​(1)
et
L3(2)L_3(2)L3​(2)
. Comment insérer dans la liste 
[3,1,2][3,1,2][3,1,2]
la carte portant le numéro 
444
pour obtenir une liste dont le score vaut encore 
111
?
    b.Comment insérer dans la liste 
[3,2,1][3,2,1][3,2,1]
la carte portant le numéro 
444
pour obtenir une liste dont le score reste nul ?
   c.Vérifier que
L4(1)=2L3(1)+3L3(0)L_4(1)=2L_3(1)+3L_3(0)L4​(1)=2L3​(1)+3L3​(0)
.
   d.Montrer que pour tout entier naturel
n≥3n\ge3n≥3
, 
Ln+1(1)=2Ln(1)+nLn(0)\hspace{5 cm}L_{n+1}(1)=2L_n(1)+nL_n(0)Ln+1​(1)=2Ln​(1)+nLn​(0)
.
   e.Pour tout 
nnn
et pour tout entier naturel 
kkk
non nul, exprimer 
Ln+1(k)L_{n+1}(k)Ln+1​(k)
à l’aide de 
Ln(k)L_n(k)Ln​(k)
et
Ln(k−1)L_n(k-1)Ln​(k−1)
.
    f.Dresser un tableau des valeurs de 
Ln(k)L_n(k)Ln​(k)
pour \(n\in \{3,4,5\}\)et
k∈{0,1,2,3,4}k\in\{0,1,2,3,4\}k∈{0,1,2,3,4}
.

Étiquetage gracieux d'une figure - Olympiades 2022 Exercice 1

On considère un ensemble fini de points. On relie certains de ces points par des segments. L’ensemble ainsi constitué est appeléfigure.
On effectue l’étiquetaged’unefigurecomportant 
nnn
segments en associant à chaque point un entier compris entre 
000
et
nnn
, ces entiers étant distincts deux à deux.
On attribue à chaque segment la valeur absolue de la différence des entiers associés à ses extrémités. Cet entier est appelépondérationdu segment.
On dit que l’étiquetagede la figure estgracieuxsi les 
nnn
pondérations obtenues sur les segments sont exactement tous les entiers de 
111
à
nnn
.
On donne ci-dessous un exemple d’étiquetagegracieuxd’une figure comportant 
666
points et 
777
segments :
Figure étiquetée.
Figure étiquetée avec indication des pondérations/
A. Des exemples
1.Pour chacune des figures ci-dessous, préciser si l’étiquetage proposé est un étiquetage gracieux.
2.Compléter l’étiquetage de la figure ci-dessous pour obtenir un étiquetage gracieux.
B. Cas des lignes
Pour tout entier naturel non nul
nnn
, on considère la figure 
LnL_nLn​
constituée de 
n+1n+1n+1
points alignés et des 
nnn
segments joignant des points voisins.
On propose ci-dessous l’étiquetage gracieux des points de la figure
L4L_4L4​
.
1.Montrer qu’on peut trouver un étiquetage gracieux pour chacune des figures
L5L_5L5​
, 
L6L_6L6​
et
L7L_7L7​
.
2.On admet qu’on peut trouver un étiquetage gracieux pour la figure
L2022L_{2022}L2022​
tel que le point le plus à gauche soit étiqueté avec
000
. Décrire cet étiquetage.
C. Cas des polygones
1.Montrer que tout triangle et tout quadrilatère peut être muni d’un étiquetage gracieux.
2.On a représenté ci-dessous un polygone à 
111111
côtés muni d’un étiquetage gracieux.
En déduire un étiquetage gracieux pour un polygone à
121212
 côtés.
3.Déterminer la parité de la pondération d’un segment lorsque les étiquettes de ses extrémités sont :
      a.de parités différentes ;
      b.de même parité.
4.En déduire qu’on ne peut pas trouver un étiquetage gracieux pour les pentagones.
D. Une très grande figure
On note
k2022k_{2022}k2022​
 la figure constituée de 
2 0222\,0222022
points telle que tout couple de points est relié par un unique segment.
1.Montrer que 
k2022k_{2022}k2022​
est constituée de 
2 043 2312\,043\,2312043231
 segments.
2.On suppose qu’il existe d’un étiquetage gracieux de
k2022k_{2022}k2022​
.
       a.Quel est le nombre de segments dont la pondération est un nombre impair ?
       b.On note 
ppp
le nombre de points étiquetés avec un nombre pair. Exprimer en fonction de 
ppp
le nombre de segments dont la pondération est un nombre impair.
3.Montrer finalement que 
k2022k_{2022}k2022​
ne peut pas être muni d’un étiquetage gracieux.

Addition du cancre, suites de Farey et cercles de Ford - Olympiades 2020 Exercice 1

Dans tout l’énoncé,
aaa
,
bbb
,
ccc
, 
ddd
désignent des entiers naturels, avec 
b≠0b\neq0b=0
et
d≠0d\neq0d=0
.
Partie A - L’addition du cancre
Le bon élève sait que, pour additionner deux fractions 
ab\dfrac{a}{b}ba​
et 
cd\dfrac{c}{d}dc​
, il faut d’abord réduire ces fractions au même dénominateur.
Toutefois, pour 
ab\dfrac{a}{b}ba​
et 
cd\dfrac{c}{d}dc​
deux fractions irréductibles, on définit « l’addition du cancre », notée 
⨁\bigoplus⨁
par : 
ab⨁cd=a+cb+d\dfrac{a}{b}\bigoplus\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}ba​⨁dc​=b+da+c​
.
Ainsi, si avec l’addition standard,
12+13=56\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}21​+31​=65​
, on aura avec « l’addition du cancre »
12⨁13=1+12+3=25\dfrac{1}{2}\bigoplus\dfrac{1}{3}=\dfrac{1+1}{2+3}=\dfrac{2}{5}21​⨁31​=2+31+1​=52​
 .
1.Calculer 
23⨁45\dfrac{2}{3}\bigoplus\dfrac{4}{5}32​⨁54​
puis 
46⨁45\dfrac{4}{6}\bigoplus\dfrac{4}{5}64​⨁54​
. Pourquoi est-il important de supposer 
ab\dfrac{a}{b}ba​
et 
cd\dfrac{c}{d}dc​
irréductibles ?
2.Justifier que 
(1⨁1)⨁2=32\big(1\bigoplus1\big)\bigoplus2=\dfrac{3}{2}(1⨁1)⨁2=23​
et que
1⨁(1⨁2)=431\bigoplus\big(1\bigoplus2\big)=\dfrac{4}{3}1⨁(1⨁2)=34​
. Que dire de la nécessité des parenthèses ?
On dit que l’addition des cancres n’est pas associative.
3.Justifier que 
2×(12⨁13)=452 \times\left(\dfrac{1}{2}\bigoplus\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4}{5}2×(21​⨁31​)=54​
et calculer
22⨁23\dfrac{2}{2}\bigoplus\dfrac{2}{3}22​⨁32​
. Que dire de la nécessité des parenthèses ?
On dit que l’addition des cancres n’est pas distributive.
4.Justifier que si 
x=abx=\dfrac{a}{b}x=ba​
et 
x=cdx=\dfrac{c}{d}x=dc​
sont des fractions irréductibles, alors
1x⨁1y=1x⨁y\dfrac{1}{x}\bigoplus\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x\bigoplus y}x1​⨁y1​=x⨁y1​
.
Partie B - Suites de Farey
Pour tout entier
n>1n>1n>1
, on appellesuite de Fareyd’ordre
nnn
, notée
FnF_nFn​
, la liste, rangée dans l’ordre croissant, des fractions irréductibles comprises entre 
000
et
111
, dont le dénominateur ne dépasse pas
nnn
.
Par exemple, en remarquant que
0=010=\dfrac{0}{1}0=10​
 et
1=111=\dfrac{1}{1}1=11​
 , on a :
F1=(01,11)F2=(01,12,11)F3=(01,13,12,23,11)F_1=\left( \dfrac{0}{1},\dfrac{1}{1} \right) F_2=\left( \dfrac{0}{1},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{1}\right) F_3 =\left( \dfrac{0}{1},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{1}\right)F1​=(10​,11​)F2​=(10​,21​,11​)F3​=(10​,31​,21​,32​,11​)
 etc.
Le diagramme ci-dessous permet alors de représenter les différents termes des suites de Farey :
1.Recopier et compléter le schéma précédent, et déterminer
F4F_4F4​
,
F5F_5F5​
,
F6F_6F6​
.
2.Justifier que, pour tout
n≥1n\ge1n≥1
, les termes d’une suite 
FnF_nFn​
sont aussi des termes de
Fn+1F_{n+1}Fn+1​
.
3.Montrer que, pour tout
n≥1n\ge1n≥1
, si 
ab\dfrac{a}{b}ba​
et 
cd\dfrac{c}{d}dc​
sont deux fractions consécutives de 
Fn+1F_{n+1}Fn+1​
, avec
ab<cd\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}ba​<dc​
 , alors l’une au moins de ces deux fractions appartient à
FnF_nFn​
.
4.Soit 
ab\dfrac{a}{b}ba​
et 
cd\dfrac{c}{d}dc​
deux fractions consécutives dans cet ordre d’une suite de Farey.
On admettra pour toute la suite de l’énoncé que dans ce cas, on a
bc−ad=1bc-ad=1bc−ad=1
.
Montrer qu’alors
ab<(ab⨁cd)<cd\dfrac{a}{b}<\left(\dfrac{a}{b}\bigoplus\dfrac{c}{d}\right) <\dfrac{c}{d}ba​<(ba​⨁dc​)<dc​
.
Un candidat attentif remarquera que, plus précisément, 
a+cb+d\dfrac{a+c}{b+d}b+da+c​
est la première fraction qui apparaît entre 
ab\dfrac{a}{b}ba​
et 
cd\dfrac{c}{d}dc​
dans la suite de Farey d’ordre supérieur. Ce résultat ne sera pas démontré ici.
5.Voici un algorithme écrit dans le langage Python
333
. Si 
xxx
est un réel entre 
000
et
111
, que représentent les valeurs
aaa
,
bbb
, 
ccc
et 
ddd
renvoyées ?
def mystere(x):a=0b=1c=1d=1while b+d <= 6:e = a+cf = b+dif (e/f) < x:a = eb = felse:c = ed = freturn (a,b,c,d)\boxed{\begin{array}{} \texttt{def mystere(x):}\hspace{3 cm}\\ \quad\texttt{a=0}\\\quad\texttt{b=1}\\\quad\texttt{c=1}\\\quad\texttt{d=1}\\\quad\texttt{while b+d <= 6:}\\\qquad\texttt{e = a+c}\\\qquad\texttt{f = b+d}\\\qquad\texttt{if (e/f) < x:}\\\quad\qquad\texttt{a = e}\\\quad\qquad\texttt{b = f}\\\qquad\texttt{else:}\\\quad\qquad\texttt{c = e}\\\quad\qquad\texttt{d = f}\\\quad\texttt{return (a,b,c,d)}\\ \end{array}}def mystere(x):a=0b=1c=1d=1while b+d <= 6:e = a+cf = b+dif (e/f) < x:a = eb = felse:c = ed = freturn (a,b,c,d)​​
Partie C - Cercles de Ford
On appelle cercle de Ford associé à une fraction irréductible 
pq\dfrac{p}{q}qp​
le cercle de centre le point de coordonnées 
(pq,12q2)\left( \dfrac{p}{q},\dfrac{1}{2q^{2}} \right)(qp​,2q21​)
et de rayon
12q2\dfrac{1}{2q^2}2q21​
. On peut alors représenter les différentes suites de Farey avec ces cercles de Ford.
Par exemple, la suite 
F3F_3F3​
se représente par les différents cercles ci-dessous :
L’objectif de cette partie est de démontrer la propriété suivante : « Les cercles de Ford associés à deux termes consécutifs d’une même suite de Farey sont tangents entre eux. »
1.Préciser les coordonnées des points 𝐴 et 𝐵, centres des cercles de Ford respectivement associés à 
ab\dfrac{a}{b}ba​
et 
cd\dfrac{c}{d}dc​
, où 
ab\dfrac{a}{b}ba​
et 
cd\dfrac{c}{d}dc​
sont deux fractions consécutives d’une même suite de Farey.
2.Montrer alors que
AB=12b2+22d2AB= \dfrac{1}{2b^2}+\dfrac{2}{2d^2}AB=2b21​+2d22​
.
3.Conclure.

(***)image Olympiades 2019 - Somme de carrés

Un nombre entier
nnn
 étant donné, on cherche dans cette partie à estimer
S(n)=12+22+32+⋯+(n−1)2+n2S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + (n-1)^2 +n^2S(n)=12+22+32+⋯+(n−1)2+n2
.
Sur la photo, on a représenté une pyramide de boulets de pierre, à base carrée, avec
666
étages qui contiennent 
62,52,…,16^2, 5^2, \dots,162,52,…,1
boulets. Le nombre de boulets qui la composent est
S(6)=91S(6) = 91S(6)=91
.
1.Dans le cas
n=5n = 5n=5
, le puzzle présenté ci-dessous permet d’estimer
S(5)S(5)S(5)
. Comment ? Quelle valeur obtient-on par cette méthode ?
2.Les exemples précédents inspirent la formule
S(n)=16n(n+1)(2n+1)S(n) = \dfrac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)S(n)=61​n(n+1)(2n+1)
.a.Montrer que l’entier
n(n+1)(2n+1)n(n + 1)(2n + 1)n(n+1)(2n+1)
 est bien un multiple de
222
 et de 
333
.b.Si on suppose que, pour un certain
nnn
, sur lequel on ne fait aucune autre hypothèse,
S(n)=16n(n+1)(2n+1)S(n) = \dfrac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)S(n)=61​n(n+1)(2n+1)
, quelle formule obtient-on pour
S(n)+(n+1)2S(n) + (n + 1)^2S(n)+(n+1)2
? On peut donc décider que la formule de 
S(n)S(n)S(n)
est vraie pour tout entier
nnn
.
3.Montrer que
S(24)S(24)S(24)
, somme des
242424
premiers carrés, est un carré.