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Nombre dérivé

une fonction définie sur un intervalle

Sommaire

Taux de variation et coefficient directeur d'une sécanteNombre dérivéÉtude de la dérivabilité d'une fonction affine - Exemple 1Étude de la dérivabilité d'une fonction inverse - Exemple 2Calcul d'une vitesse instantanée - Exemple 3Non-dérivabilité en un réel - ExempleNon-dérivabilité en un réel - Remarque

Taux de variation et coefficient directeur d'une sécante

Définition
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle
I
 de 
\mathbb{R}
 et 
aaa
un nombre réel appartenant à
I
.
Soit
h
 un nombre réel non nul tel que
a+h
 appartient à 
I
.
On appelletaux de variationde 
f
entre
a
 et
a+h
 le nombre \(\boxed{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}\).
​​​​​On le note aussi\({\tau_a(h)}\).
Propriété
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle
I
 de 
\mathbb{R}
 et 
aaa
un nombre réel appartenant à
I
.
Soit
h
 un nombre réel non nul tel que
a+h
 appartient à 
I
.
Soit 
A\text AA
le point de la courbe représentative de 
f
d’abscisse 
a
et
M\text MM
 le point de la courbe représentative de 
f
d’abscisse 
a+h
.
Le coefficient directeur de la droite\(\text {(AM)}\)est le nombre 
f(a+h)−f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}hf(a+h)−f(a)​
. C'est letaux de variationde la fonction 
fff
 entre 
aaa
 et 
a+h.a+h.a+h.
Remarque
La notation
ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy​
est également utilisée pour indiquer le taux de variation, notamment dans des contextes relevant de la physique.
Démonstration
On représente la fonction 
f
 dans un repère.
Le point 
A
 a pour coordonnées 
(a;f(a))
 et le point 
M(a+h;f(a+h))
.
Le coefficient directeur de la droite 
(AM)\left(AM\right)(AM)
 se calcule donc par : 
ΔyΔx=f(a+h)−f(a)(a+h)−a=f(a+h)−f(a)h\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f\left(a+h\right)-f(a)}{\left(a+h\right)-a}=\dfrac{f\left(a+h\right)-f(a)}{h}ΔxΔy​=(a+h)−af(a+h)−f(a)​=hf(a+h)−f(a)​
On retrouve bien
τa(h)\tau_a\left(h\right)τa​(h)
, le taux de variation de 
f
 entre
a
et
a+ha+ha+h
. 

Nombre dérivé

Définition
Soit 
f
 une fonction définie sur un intervalle
I
 et 
a
un nombre appartenant à 
I
.
Soit 
h
 un nombre réel non nul tel que
a+h
 appartient à 
I
.
On dit que
f
 estdérivable en `a`si
τa(h)\tau_a\left(h\right)τa​(h)
tend vers unnombre réellorsque 
h
 tend vers zéro, autrement dit la limitede 
τa(h)\tau_a\left(h\right)τa​(h)
lorsque 
h
 tend vers zéro existe et est finie.
Ce nombre limite est appelénombre dérivé de`f` en `a`et se note 
f′(a)f'(a)f′(a)
. 
On écrit alors : 
f′(a)=lim⁡h→0τa(h)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\boxed{f'(a)=\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \tau_a(h)=\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{f\left(a+h\right)-f(a)}{h}}f′(a)=h→0​lim​τa​(h)=h→0​lim​hf(a+h)−f(a)​​

Étude de la dérivabilité d'une fonction affine - Exemple 1

Soit
f
 la fonction définie sur 
\mathbb(R)
 par 
f(x)=2x+5f(x)=2x+5f(x)=2x+5
.
Étudions la dérivabilité de 
f
 en 
a=1
.
Soit 
h
 un réel non nul. On a :
\tau_1(h)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(2(1+h)+5)-(2\times1+5)}{h}
\tau_1(h)=\frac{2+2h+5-2-5}{h}=\frac{2h}{h}=2
On a donc 
lim⁡h→0τ1(h)=2\lim\limits_{h\rightarrow0}\tau_1(h)=2h→0lim​τ1​(h)=2
.
Ainsi, la fonction 
f
 est dérivable en 
1
 et 
f′(1)=2f'(1)=2f′(1)=2
. 

Étude de la dérivabilité d'une fonction inverse - Exemple 2

Soit 
f
 la fonction définie sur 
]−∞;0[∪]0;+∞[]-\infty;0[\cup]0;+\infty[]−∞;0[∪]0;+∞[
 par 
f(x)=3xf(x)=\dfrac{3}{x}f(x)=x3​
.
Étudions la dérivabilité de 
f
 en 
a=4
 .
Soit 
h
 un réel non nultel que \(4+h \in \mathbb ]0;+\infty[\).
On a : 
\tau_4(h)=\frac{f(4+h)-f(4)}{h}=\frac{3/(4+h)-3/4}{h}
\tau_4(h)=\frac{(-3h)/(4(4+h))}{h}=\frac{-3}{4(4+h)}
donc 
lim⁡h→0τ4(h)=−342=−316\lim\limits_{h\rightarrow0}\tau_4(h)=\dfrac{-3}{4^2}=-\dfrac3 {16}h→0lim​τ4​(h)=42−3​=−163​
.
Ainsi, la fonction 
f
 est dérivable en 
4
 et 
f′(4)=−316f'(4)=-\frac{3}{16}f′(4)=−163​
.
Remarque
Dans cet exemple, nous étudions la dérivabilité, en un réel, d'une fonction définie sur deux intervalles disjoints. Pour ce faire, on se place dans l'intervalle contenant le réel considéré afin de calculer le taux de variation et, s'il existe, le nombre dérivé.

Calcul d'une vitesse instantanée - Exemple 3

Soit
f
 la fonction représentant la distance, en mètres, parcourue par un corps en chute libre en fonction du temps exprimé en secondes. 
Considérons un corps au repos à une hauteur \(\text{H}\)par rapport à la surface de la Terre. On laisse tomber ce corps en chute libre et on modélise la distance, en mètres, qu'il parcourt en fonction du temps, exprimé en secondes, par la fonction
f
définie sur
[0;\text{H}]
par : 
f(t)=4,9t2f(t)=4,9t^2f(t)=4,9t2
. 
L'objectif de cet exemple est de calculer le nombre dérivé de la fonction `f`en
a=1
puis d'interpréter ce résultat dans le contexte physique modélisé.
Étudions la dérivabilité de 
f
 en 
a=1
. Soit 
h
 un réel non nultel que`1+h` appartient à
]0;\text{H}]
.
On a : 
\tau_1(h)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{4,9(1+h)^2-4,9}{h}
\tau_1(h)=\frac{9,8h+4,9h^2}{h}=9,8+4,9h
donc 
\lim_\limits{h\rightarrow0}\tau_1(h)=9,8
. 
Ainsi, la fonction 
f
 est dérivable en 
1
 et 
f′(1)=9,8f'(1)=9,8f′(1)=9,8
.  
Dans le contexte de l'exemple, `\tau_1(h)`est un rapport entre une distance et un temps, c'est-à-dire une vitesse. On l'appelle vitesse moyenne entre
111
et
1+h1+h1+h
.
Le nombre dérivé correspond à la valeur limite de la vitesse moyenne lorsque 
hhh
tend vers 
000
, c'est-à-dire quand on considère un intervalle de temps de plus en plus petit. Ce nombre est  aussi une vitesse, appelée vitesse instantanée du corps à l'instant
t=1t=1t=1
s.

Non-dérivabilité en un réel - Exemple

La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
Démonstration
Soit
f
 la fonction définie sur 
[0;+\infty[
 par 
f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​
.
Étudions la dérivabilité de 
f
 en 
a=0
.
Soit 
h
 un réel positif non nul. On a : 
\tau_0(h)=\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt(0+h)-\sqrt(0)}{h}=\sqrt(h)/h=1/\sqrt(h)
.
Les tableaux ci-dessous donnent les valeurs de 
1/\sqrt(h)
pour des valeurs de
h
de plus en plus proches de
0
.
On constate que les valeurs de 
1/\sqrt(h)
 deviennent de plus en plus grandes lorsque 
h
 prend des valeurs de plus en plus petites. En effet, la limite 
\lim_\limits{h\rightarrow0}\tau_0(h)
 n'est pas finie, donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 
0
.
Ce résultat s'interprète graphiquement.
On a représenté la fonction racine carrée dans un repère et on s'intéresse à la position limite de la tangente à la courbe de la fonction racine carrée au point d'abscisse
000
. Soit
M\text{M}M
un point de la courbe représentative de la fonction racine carrée.
On déplace le point 
M\text MM
 vers le point
A(0;0)\text A(0;0)A(0;0)
. Les coefficients directeurs des droites
(AM)\text{(AM)}(AM)
 sont de plus en plus grands comme le montre la représentation ci-dessous.

Non-dérivabilité en un réel - Remarque

Bien que la fonction ne soit pas dérivable en 0, il existe bien une tangente en 0. Il s'agit de l'axe des ordonnées.