Définition
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle
I
.
On dit que
f
estdérivable sur `I`lorsque
f
est dérivable en tout réel
x
de
I
.
On appellefonction dérivéede
f
sur
I
, notée
, la fonction définie sur
I
par :\(f':x\mapsto f'(x)\).
Exemple
Soit
f
la fonction carré définiepour tout
x
dans
\mathbbR
par
f(x)=x^2
et soit
a
un réel.
Pour tout réel
h
non nul, on a
\tau_a(h)=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}
c'est-à-dire
\tau_a(h)=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h
.
Ainsi
\lim_\limits{h\rightarrow0}\tau_a(h)=2a
La fonction carrée est donc dérivable sur
\mathbb(R)
et sa fonction dérivée est la fonction définie sur
\mathbb(R)
par
.
Tableau récapitulatif des dérivées de fonctions usuelles
Remarques
• La fonction inverse est dérivable sur chacun des intervalles
et
.
• On a démontré dans une autre perle que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en
0
.
Dérivée de la fonction carrée
Soit
f
la fonction carrée définie sur
\mathbb(R)
.
Soit
a
un réel.
Pour tout réel
h\ne0
tel que
a+h\in\mathbb(R)
, on a :
\tau_a(h)=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}
soit
\tau_a(h)=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h
Donc,
lim_(h->0)\tau_a(h)=2a
Alors, la fonction
f
est dérivable en tout réel
a
et a pour nombre dérivé
f'(a)=2a
. La fonction carrée est donc dérivable sur
\mathbb(R)
et sa fonction dérivée est la fonction, définie sur
\mathbb(R)
par :
.
Dérivée de la fonction inverse
Soit
f
la fonction définie sur
\mathbb(R)text{\}{0}
par
f(x)=1/x
.
Soit
a
un réel.
Pour tout réel
h\ne0
tel que
a+h\in ]0;+\infty[
si
a>0
et
a+h\in ]-\infty; 0[
si
a<0
, on a :
\tau_a(h)=(f(a+h)-f(a ))/h=(\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a})/h=\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}\times 1/h
\tau_a(h)=\frac{-h}{ha(a+h)}=\frac{-1}{a(a+h)}
Et donc,
\lim_\limits{h\rightarrow0}\tau_a(h)= \lim_\limits{h\rightarrow0}\dfrac{-1}{a(a+h)}=-\dfrac{1}{a^2}
car
\lim_\limits{h\rightarrow0}a(a+h)=a^2
.
On en déduit que
f
est dérivablesur chacun des intervalles
]-\infty; 0[
et
]0; +\infty[
et on a, pour tout
non nul,
.
Dérivée de la fonction racine carrée
Soit
f
la fonction définie sur
[0;+\infty[
par
f(x)=\sqrt(x)
et
a
un réel strictement positif.
Pour tout réel
h\ne0
tel que
a+h\in ]0;+\infty[
, on a :
\tau_a(h)=(\sqrt(a+h)-\sqrt(a ))/h=(\sqrt(a+h)-\sqrt(a ))/h×(\sqrt(a+h)+\sqrt(a ))/(\sqrt(a+h)+\sqrt(a))
\tau_a(h)=(a+h-a)/(h(\sqrt(a+h)+\sqrt(a)))=1/(\sqrt(a+h)+\sqrt(a ))
.
Et
\lim_\limits{h\rightarrow0}\tau_a(h)= \lim_\limits{h\rightarrow0}\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}
.
On en déduit que
f
est dérivable sur
]0;+\infty[
et pour tout
strictement positif
.