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Opérations et fonctions dérivées

 une fonction définie sur un intervalle 

Sommaire

Dérivée d'une sommeDérivée du produit par une constanteDérivée d'un produitCalcul de la dérivée d'une fonction polynôme - Exemple 1Calcul de la dérivée d'un produit - Exemple 2
Dérivée d'une inverseCalcul de dérivée avec la fonction inverse - Exemple 1Calcul de dérivée avec la fonction inverse - Exemple 2
Dérivée d'un quotientCalcul de la dérivée d'un quotient de polynômes - Exemple 1Calculs de la dérivée de quotients divers - Exemple 2
Dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine
Calcul de la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine - Exemple 1
Calcul de la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine - Exemple 2
Calcul de la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine - Exemple 3
Tableau récapitulatif des dérivées d'opérations

Dérivée d'une somme

Propriété
Soit 
f
 une fonction définie sur un intervalle 
I
de
\mathbb R
de la forme 
f=u+v
 où 
u
 et 
v
 sont deux fonctions dérivables sur 
I
.
Alors 
f
 est dérivable sur 
I
 et pour tout 
x\inI
, 
f′(x)=u′(x)+v′(x)f'(x)=u'(x)+v'(x)f′(x)=u′(x)+v′(x)
.
Démonstration
Soit 
f=u+v
  et 
a\inI
. 
Pour tout réel 
h\ne0
 tel que
(a+h)\inI
, on a : 
f(a+h)−f(a)h=(u+v)(a+h)−(u+v)(a)h=u(a+h)+v(a+h)−(u(a)+v(a))h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)+v(a+h)-(u(a)+v(a))}{h}hf(a+h)−f(a)​=h(u+v)(a+h)−(u+v)(a)​=hu(a+h)+v(a+h)−(u(a)+v(a))​
En réorganisant les termes, on obtient : 
f(a+h)−f(a)h=u(a+h)−u(a)+v(a+h)−v(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)-u(a)+v(a+h)-v(a)}{h}hf(a+h)−f(a)​=hu(a+h)−u(a)+v(a+h)−v(a)​
f(a+h)−f(a)h=u(a+h)−u(a)h+v(a+h)−v(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}+\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}hf(a+h)−f(a)​=hu(a+h)−u(a)​+hv(a+h)−v(a)​
Or, 
u
 et 
v
 étant dérivables en 
a
, on a : 
lim⁡h→0u(a+h)−u(a)h=u′(a)\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)h→0lim​hu(a+h)−u(a)​=u′(a)
 et 
lim⁡h→0v(a+h)−v(a)h=v′(a)\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)h→0lim​hv(a+h)−v(a)​=v′(a)
.
Ainsi,  
lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=u′(a)+v′(a)\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=u'(a)+v'(a)h→0lim​hf(a+h)−f(a)​=u′(a)+v′(a)
. 
La fonction 
f=u+v
 est donc dérivable pour tout 
a\in I
 et 
f′(a)=u′(a)+v′(a)f'(a)=u'(a)+v'(a)f′(a)=u′(a)+v′(a)
. 

Dérivée du produit par une constante

Propriété
Soit 
f
 une fonction définie sur un intervalle 
I
de
\mathbb R
de la forme 
f=ku
 où 
u
 est une fonction dérivable sur 
I
 et 
k
 un réel.
Alors 
f
 est dérivable sur 
I
 et pour tout 
x\inI
, 
f′(x)=ku′(x)f'(x)=ku'(x)f′(x)=ku′(x)
.
Démonstration
Soit 
f=ku
  et 
a\inI
. 
Pour tout réel 
h\ne0
 tel que
(a+h)\inI
, on a : 
f(a+h)−f(a)h=(ku)(a+h)−(ku)(a)h=ku(a+h)−ku(a)h=ku(a+h)−u(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(ku)(a+h)-(ku)(a)}{h}=\dfrac{ku(a+h)-ku(a)}{h}=k\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}hf(a+h)−f(a)​=h(ku)(a+h)−(ku)(a)​=hku(a+h)−ku(a)​=khu(a+h)−u(a)​
Or, 
u
étant dérivable en 
a
, on a : 
lim⁡h→0u(a+h)−u(a)h=u′(a)\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)h→0lim​hu(a+h)−u(a)​=u′(a)
.
Ainsi, 
lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=ku′(a)\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=ku'(a)h→0lim​hf(a+h)−f(a)​=ku′(a)
. 
La fonction 
f=ku
 est donc dérivable pour tout 
a\in I
 et 
f′(a)=ku′(a)f'(a)=ku'(a)f′(a)=ku′(a)
. 

Dérivée d'un produit

Propriété
Soit 
f
 une fonction définie sur un intervalle 
I
de
\mathbb R
de la forme 
f=uv
 où 
u
 et 
v
 sont deux fonctions dérivables sur 
I
. 
Alors 
f
 est dérivable sur 
I
 et pour tout
x\inI
, 
f'(x)=u'(x)\timesv(x)+u(x)\timesv'(x)
.
Démonstration
Soit 
f=uv
  et 
a\inI
.
Pour tout réel 
h\ne0
 tel que
(a+h)\inI
, on a : 
f(a+h)−f(a)h=(uv)(a+h)−(uv)(a)h=u(a+h)v(a+h)−u(a)v(a)h=u(a+h)v(a+h)h−u(a)v(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}=\dfrac{\color{blue}{u(a+h)v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{green}{u(a)v(a)}}{h}hf(a+h)−f(a)​=h(uv)(a+h)−(uv)(a)​=hu(a+h)v(a+h)−u(a)v(a)​=hu(a+h)v(a+h)​−hu(a)v(a)​
En insérant le terme
-\frac{\color{red}{u(a)v(a+h)}}{h}+\frac{\color{red}{u(a)v(a+h)}}{h}=0
, on obtient : 
f(a+h)−f(a)h=u(a+h)v(a+h)h−u(a)v(a+h)h+u(a)v(a+h)h−u(a)v(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\color{blue}{u(a+h)v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{red}{u(a)v(a+h)}}{h}+\dfrac{\color{red}{u(a)v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{green}{u(a)v(a)}}{h}hf(a+h)−f(a)​=hu(a+h)v(a+h)​−hu(a)v(a+h)​+hu(a)v(a+h)​−hu(a)v(a)​
Regroupons les termes différemment, c'est-à-dire factorisons les deux premiers termes par\(\color\purple{v(a+h)}\)et les deux autres par\(\color\purple{u(a)}\) :
f(a+h)−f(a)h=u(a+h)v(a+h)h−u(a)v(a+h)h+u(a)v(a+h)h−u(a)v(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\color{blue}{u(a+h)}\color{purple}{v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{red}{u(a)}\color{purple}{v(a+h)}}{h}+\dfrac{\color{purple}{u(a)}\color{red}{v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{purple}{u(a)}\color{red}{v(a)}}{h}hf(a+h)−f(a)​=hu(a+h)v(a+h)​−hu(a)v(a+h)​+hu(a)v(a+h)​−hu(a)v(a)​
f(a+h)−f(a)h=u(a+h)−u(a)h×v(a+h)+u(a)×v(a+h)−v(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\color{blue}{u(a+h)}-\color{red}{u(a)}}{h}\times \color{purple}{v(a+h)}{+ \color{purple}{u(a)} \times \dfrac{\color{red}{v(a+h)-v(a)}}{h}}hf(a+h)−f(a)​=hu(a+h)−u(a)​×v(a+h)+u(a)×hv(a+h)−v(a)​
Or, 
u
 et 
v
 étant dérivables en 
a
, on a : 
lim⁡h→0u(a+h)−u(a)h=u′(a)\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)h→0lim​hu(a+h)−u(a)​=u′(a)
 et 
lim⁡h→0v(a+h)−v(a)h=v′(a)\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)h→0lim​hv(a+h)−v(a)​=v′(a)
, de plus, 
lim⁡h→0v(a+h)=v(a)\lim\limits_{h \rightarrow 0} v(a+h)=v(a)h→0lim​v(a+h)=v(a)
.
Ainsi,  
lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=u′(a)×v(a)+u(a)×v′(a)\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=u'(a)\times v(a)+u(a)\times v'(a)h→0lim​hf(a+h)−f(a)​=u′(a)×v(a)+u(a)×v′(a)
. 
La fonction 
f=uv
 est donc dérivable pour tout 
a\in I
 et 
f′(a)=u′(a)×v(a)+u(a)×v′(a)f'(a)=u'(a)\times v(a)+u(a)\times v'(a)f′(a)=u′(a)×v(a)+u(a)×v′(a)
. 

Calcul de la dérivée d'une fonction polynôme - Exemple 1

Calculons les dérivées des fonctions définies sur 
\mathbb(R)
par :
f(x)=4x^3
g(x)=-x^5+x^2/2+4x-1
h(x)=\frac{-7x^3-x}{3}
Ces fonctions sont bien dérivables sur 
\mathbb(R)
 en tant que somme de fonctions dérivables du type 
kx^n
 avec 
k\in \mathbb(R)
 et 
n\in\mathbb(N)
.
fff
estde la forme \(ku\)avec 
k=4k=4k=4
et 
u(x)=x3u(x)=x^3u(x)=x3
. Sa dérivée est donnée, pour tout
x
 réel, par\(f'(x)=4\times3x^2=12x^2\). 
    • On dérive
ggg
en tant que somme de fonctions dérivables : pour tout 
x
 réel, 
g′(x)=−5x4+12×2x+4+0=−5x4+x+4g'(x)=-5x^4+\dfrac{1}{2}\times2x+4+0=-5x^4+x+4g′(x)=−5x4+21​×2x+4+0=−5x4+x+4
. 
h(x)
 peut se réécrire sous la forme 
h(x)=-7/3x^3-1/3x
.On a donc pour tout 
x
 réel, 
h′(x)=−73×3x2−13=−7x2−13h'(x)=-\dfrac{7}{3}\times 3x^2-\dfrac{1}{3}=-7x^2-\dfrac{1}{3}h′(x)=−37​×3x2−31​=−7x2−31​
.
Remarque
Les fonctions sommes de termes du type
kx^n
sont dérivables sur
R\mathbb RR
.

Calcul de la dérivée d'un produit - Exemple 2

Calculons les dérivées des fonctions suivantes : 
Soit 
f
 la fonction définie sur 
[0;+\infty[
par 
f(x)=x^4\sqrt(x)
.
    • Soit 
g
 la fonction définie sur 
]0;+\infty[
par 
g(x)=4/x\sqrt(x)
.
Ces fonctions sont dérivables sur
]0;+\infty[
 comme produit de fonctions dérivables (attention, 
x\mapsto\sqrt(x)
 n'est pas dérivable en 
0
). 
f(x)=\color{red}{x^4}\color{green}{\sqrt(x)}
 est le produit des fonctions définies et dérivables sur 
]0;+\infty[
par
u(x)=\color{red}{x^4}
 et 
v(x)=\color{green}{\sqrt(x)}
 dont les dérivées sont données par
u′(x)=4x3u'(x)=\color{red}{4x^3}u′(x)=4x3
 et 
v′(x)=12xv'(x)=\color{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}v′(x)=2x​1​
. 
En appliquant la propriété de la dérivée d'un produit on obtient :
Pour tout 
x\in]0;+\infty[
, 
f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)=4x3x+x4×12xf'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\color{red}{4x^3}\color{green}{\sqrt{x}}+\color{red}{x^4}\times\color{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)=4x3x​+x4×2x​1​
,
c'est-à-dire, 
f′(x)=4x3x+12x3xf'(x)=4x^3\sqrt x+\dfrac{1}{2}x^3\sqrt xf′(x)=4x3x​+21​x3x​
 (car 
x^4/(2\sqrt(x))=1/2\frac{x^3x}{\sqrt(x)}=1/2x^3x/\sqrt(x)=1/2x^3\sqrt(x)
).Enfin \(f'(x)=\dfrac 9 2 x^3\sqrt x\). 
g(x)=\color{red}{4/x}\color{green}{\sqrt(x))
 est le produit des fonctions définies et dérivables sur 
]0;+\infty[
par
u(x)=\color{red}{4/x}
 et 
v(x)=\color{green}{\sqrt(x)}
 dont les dérivées sont : 
u′(x)=−4x2u'(x)=\color{red}{-\dfrac{4}{x^2}}u′(x)=−x24​
 et 
v′(x)=12xv'(x)=\color{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}v′(x)=2x​1​
. Pour tout 
x\in]0;+\infty[
, 
g′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)=−4x2×x+4x×12xg'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\color{red}{-\dfrac4{x^2}}\times\color{green}{\sqrt x}+\color{red}{\dfrac{4}{x}}\times\color{green}{\dfrac{1}{2\sqrt x}}g′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)=−x24​×x​+x4​×2x​1​
, c'est-à-dire, 
g′(x)=−4xx2+42xx=−4xx+2xx=−2xxg'(x)=-\dfrac{4\sqrt x}{ x^2}+\dfrac{4}{2x\sqrt x }=\dfrac{-4}{x\sqrt x}+\dfrac{2}{x\sqrt x}=\dfrac{-2}{x\sqrt x}g′(x)=−x24x​​+2xx​4​=xx​−4​+xx​2​=xx​−2​
. 

Dérivée d'une inverse

Propriété
Soit 
u
 une fonction dérivable sur un intervalle 
I
de
\mathbb R
sur lequel elle ne s'annule pas. Alors la fonction
f=1uf=\dfrac 1 uf=u1​
 est dérivable sur 
I
 et sa dérivée est donnée, pour tout 
x
dans 
I
, par
f′(x)=−u′(x)(u(x))2f'(x)=-\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2}f′(x)=−(u(x))2u′(x)​
.
 Démonstration
Soit 
a\inI
. Pour tout réel 
h\ne0
 tel que
a+h\in I
, on a : 
f(a+h)−f(a)h=(1u)(a+h)−(1u)(a)h=1u(a+h)−1u(a)h=1h×u(a)−u(a+h)u(a+h)u(a)\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(\frac{1}{u})(a+h)-(\frac{1}{u})(a)}{h}=\frac{\frac{1}{u(a+h)}-\frac{1}{u(a)}}{h}=\dfrac{1}{\color{black}{h}}\times \dfrac{\color{red}{u(a)-u(a+h)}}{\color{blue}{u(a+h)u(a)}}hf(a+h)−f(a)​=h(u1​)(a+h)−(u1​)(a)​=hu(a+h)1​−u(a)1​​=h1​×u(a+h)u(a)u(a)−u(a+h)​
soit, en réorganisant les termes, 
f(a+h)−f(a)h=−1u(a+h)u(a)×u(a+h)−u(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\color{red}{-1}}{\color{blue}{u(a+h)u(a)}}\times \dfrac{\color{red}{u(a+h)-u(a)}}{\color{black}{h}}hf(a+h)−f(a)​=u(a+h)u(a)−1​×hu(a+h)−u(a)​
Or, 
u
 est dérivable en 
a
 donc on a : 
lim⁡h→0u(a+h)−u(a)h=u′(a)\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)h→0lim​hu(a+h)−u(a)​=u′(a)
 et 
lim⁡h→0u(a+h)u(a)=(u(a))2\lim\limits_{h \rightarrow 0} u(a+h)u(a)=(u(a))^2h→0lim​u(a+h)u(a)=(u(a))2
. 
Ainsi, 
lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=−1u2(a)×u′(a)\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{-1}{u^2(a)}\times u'(a)h→0lim​hf(a+h)−f(a)​=u2(a)−1​×u′(a)
. 
La fonction 
f=1/u
 est donc dérivable pour tout 
a\in I
 et 
f′(a)=−u′(a)(u(a))2f'(a)=-\dfrac{u'(a)}{(u(a))^2}f′(a)=−(u(a))2u′(a)​
. 

Calcul de dérivée avec la fonction inverse - Exemple 1

On souhaite déterminer la fonction dérivée de la fonctiondéfinie sur 
[0;+\infty[
par 
f(x)=\frac{1}{x^3+2x^2+1}
.
La fonction 
f
 est du type 
1/u
avec : 
u(x)=x^3+2x^2+1
. 
Or 
u
 est dérivable et non nulle sur 
[0;+\infty[
(
u
est une somme de fonctions dérivables et positives sur
[0;+\infty[
). Pour tout 
x
dans 
\mathbbR
, on a
u'(x)=3x^2+4x
. 
On conclut que 
f
 est dérivable sur 
[0;+\infty[
 et pour tout 
x\in ​[0;+\infty[ ​
, on a : 
f'(x)=\frac{-(3x^2+4x)}{(x^3+2x^2+1)^2}
.

Calcul de dérivée avec la fonction inverse - Exemple 2

On souhaite déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur 
[0;+\infty[
par
g(x)=\frac{4}{\sqrt(x)+5x+1}
.
La fonction 
g
 est du type 
1/u
avec : 
u(x)=\sqrt(x)+5x+1
. 
Or 
u
 est dérivable et non nulle sur 
]0;+\infty[
. En effet,
u
est une somme de fonctions dérivables et positives sur
]0;+\infty[
. Pour tout 
x
dans 
\mathbbR
, on a
u'(x)=1/(2\sqrt(x))+5
. 
On conclut que 
g
 est dérivable sur 
]0;+\infty[
 et, pour tout 
x\in ​]0;+\infty[ ​
, on a : 
g'(x)=\frac{-(1/(2\sqrt(x))+5)}{(\sqrt(x)+5x+1)^2}=\frac{-(1+10\sqrt(x))}{2\sqrt(x)(\sqrt(x)+5x+1)^2}
.

Dérivée d'un quotient

Propriété
Soit 
u
 et 
v
 deux fonctions dérivables sur un intervalle 
I
de
\mathbb R
sur lequel 
v
ne s'annule pas.
Alors la fonction
u/v
 est dérivable sur 
I
 et sa dérivée est donnée, pour tout 
x
dans 
I
, par
f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)(v(x))2f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}f′(x)=(v(x))2u′(x)v(x)−u(x)v′(x)​
. 
Démonstration
Soit 
f=u/v
 et 
v(x)\ne0
 pour tout 
x\inI
.
Il suffit de remarquer que : 
f=uv=u×1v.f=\frac{u}{v}=u\times\frac{1}{v}.f=vu​=u×v1​.
La fonction 
f
 est donc dérivable sur 
I
 comme produit de fonctions dérivables et : 
(u\times\frac{1}{v})^'=u'\times 1/v+u\times ((-v')/v^2)=u^'/v-(uv')/v^2=\frac{u'v-uv'}{v^2}
. 

Calcul de la dérivée d'un quotient de polynômes - Exemple 1

On souhaite déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies sur 
]2;+\infty[
par
1.
f(x)=\frac{x+3}{x-2}
2. 
g(x)=\frac{3x^3-5x+1}{x-2}
1.La fonction 
f
 est du type 
u/v
avec : 
\color{green}{u(x)=x+3}
 et
\color{red}{v(x)=x-2}
. 
Or 
u
 et
v
 sont des fonctions dérivables et
v
 est non nulle sur 
]2;+\infty[
. 
On a
\color{green}{u'(x)=1}
 et
\color{red}{v'(x)=1}
. Alors, pour tout 
x\in
]2;+\infty[
, 
f'(x)=\frac{\color{green}{1}\times\color{red}{(x-2)}-\color{green}{(x+3)}\times \color{red}{1}}{(\color{red}{x-2})^2}
.
C'est-à-dire, 
f'(x)=\frac{x-2-x-3}{(x-2)^2}=-\frac{5}{(x-2)^2}
. 
2.La fonction 
g
 est du type 
u/v
avec : 
\color{green}{u(x)=3x^3-5x+1}
 et
\color{red}{v(x)=x-2}
. 
Or 
u
 et
v
 sont des fonctions dérivables et
v
 est non nulle sur 
]2;+\infty[
. 
On a 
\color{green}{u'(x)=9x^2-5}
 et
\color{red}{v'(x)=1}
. Alors, pour tout 
x\in
]2;+\infty[
, 
g'(x)=\frac{\color{green}{(9x^2-5)}\times\color{red}{(x-2)}-\color{green}{(3x^3-5x+1)}\times \color{red}{1}}{(\color{red}{x-2})^2}
.
C'est-à-dire, 
g'(x)=\frac{9x^3-18x^2-5x+10-3x^3+5x-1}{(x-2)^2}=\frac{6x^3-18x^2+9}{(x-2)^2}
. 

Calculs de la dérivée de quotients divers - Exemple 2

On souhaite déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur 
]0;+\infty[
par
f(x)=\frac{3\sqrt(x)+2}{x}
.
La fonction 
f
 est sous la forme d'un quotient du type 
u/v
avec : 
\color{green}{u(x)=3\sqrt(x)+2} \ \text(et) \ \color{red}{v(x)=x}
. 
Sur 
]0;+\infty[
, les fonctions 
u
 et 
v
 sont dérivables et non nulles donc 
f
 est dérivable sur 
]0;+\infty[
 et du type 
f'=(u'v-uv')/v^2
. Comme : 
\color{green}{u'(x)=3/(2\sqrt(x))} \ \text(et )\color{red}{v'(x)=1}
, on a pour tout 
x\in]0;+\infty[
 : 
f'(x)=\frac{\color{green}{3/(2\sqrt(x)}}\color{red}{x}-\color{green}{(3\sqrt(x)+2)}\times\color{red}{1}}{\color{red}{x^2}}=\frac{3/2\sqrt(x)-3\sqrt(x)-2}{x^2}
on a donc : 
f'(x)=\frac{-3/2\sqrt(x)-2}{x^2}=\frac{-3\sqrt(x)-4}{2x^2}
. 

Dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine

 Propriété (admise)
Soit 
a
 et 
b
 deux réels et 
g
 une fonction dérivable sur un intervalle 
I
de
\mathbb R
.
Pour tout réel 
x
 tel que 
ax+b\inI
, la fonction 
f
 définie par 
f(x)=g(ax+b)
 est dérivable sur 
I
et sa dérivée est donnée, pour tout 
xxx
dans 
III
, par\(\boxed{f'(x)=a\times g'(ax+b)}\).
Exemples
Prenons pour
g
 la fonction définie sur 
\mathbb(R)
par 
g(x)=x^3
,
\color{green}{a=2}
 et 
\color{red}{b=-1}
. Alors la fonction 
f
 est la fonction définie sur 
\mathbb(R)
par 
f(x)=g(\color{green}{2}x\color{red}{-1})=(2x-1)^3
. 
fff
est dérivable sur
R\mathbb RR
et, pour tout
xxx
dans
R\mathbb RR
,
f′(x)=2×3×(2x−1)2=6(2x−1)2f'(x)=2\times 3 \times (2x-1)^2 = 6(2x-1)^2f′(x)=2×3×(2x−1)2=6(2x−1)2
.
    • Prenons pour 
g
 la fonction définie sur 
[0;+\infty[
 par  
g:\sqrt(x)
 et 
\color{green}{a=5}
 et 
\color{red}{b=2}
. Or,   
\color{green}{a}x+\color{red}{b}=\color{green}{5}x+\color{red}{2}
 est positif si et seulement si  
5x+2\geq0\Leftrightarrow5x \geq -2\Leftrightarrow x\geq -2/5
.  Alors la fonction 
f
 est la fonction définie sur 
[−25;+∞[\left[ \dfrac{-2}{5};+\infty \right[[5−2​;+∞[
par
f(x)=g(5x+2)=\sqrt(5x+2)
 . 
fff
est dérivable sur
]−25;+∞[\left] \dfrac{-2}{5};+\infty \right[]5−2​;+∞[
et, pour tout
xxx
dans
]−25;+∞[\left] \dfrac{-2}{5};+\infty \right[]5−2​;+∞[
,
f′(x)=5×125x+2=525x+2f'(x)=5\times \dfrac{1}{2\sqrt{5x+2}}= \dfrac{5}{2\sqrt{5x+2}}f′(x)=5×25x+2​1​=25x+2​5​
.

Calcul de la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine - Exemple 1

On considère la fonction 
f
 définie sur 
\mathbb(R)
 par 
f(x)=(2x-1)^5
.
La fonction 
f
 est bien de la forme 
g(ax+b)
 avec 
g:x\mapstox^5
, 
a=2
 et 
b=-1
.
Comme la fonction 
g
 est dérivable sur 
\mathbb(R)
 et que, pour tout réel 
x
, 
g'(x)=\color{red}{5x^4}
, la fonction 
f
 est donc dérivable sur 
\mathbb(R)
 et :
pour tout réel 
x
, 
f′(x)=a×g′(ax+b)=2×5×(2x−1)4=10(2x−1)4f'(x)=\color{green}{a}\times g'(\color{blue}{ax+b})=\color{green}{2}\times {5}\times(\color{blue}{2x-1})^4=10(2x-1)^4f′(x)=a×g′(ax+b)=2×5×(2x−1)4=10(2x−1)4
.

Calcul de la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine - Exemple 2

On considère la fonction 
f
 définie sur
]-\infty;2/3]
par 
f(x)=\sqrt(2-3x)
.
La fonction 
f
 est bien de la forme 
g(ax+b)
 avec 
g:x\mapsto\sqrt(x)
, 
a=-3
 et 
b=2
.
Comme la fonction 
g
 est dérivable sur 
]0;+\infty[
 et que, pour tout réel 
x
, 
g'(x)=\color{red}{\frac{1}{2\sqrt(x)}
, la fonction 
f
 est donc dérivable sur
]−∞;23[\left]-\infty;\dfrac23\right[]−∞;32​[
(en effet, sur cet intervalle,
2−3x2-3x2−3x
est strictement positif) et pour tout réel 
x
, 
f'(x)=\color{green}{a}\times \color{red}{g'}(\color{blue}{ax+b})=\color{green}{-3}\times \color{red}{\frac{1}{2\sqrt(\color{blue}{2-3x})}}=\frac{-3}{2\sqrt(3-2x)}
.
En effet, ici, la fonction 
f
 n'est pas dérivable en 
2/3
 car 
2-3\times2/3=0
 et la fonction 
g
 n'est pas dérivable en 
0
. 

Calcul de la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine - Exemple 3

On considère la fonction 
f
 définie sur
]−∞;23[∪]23;+∞[\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right[\cup \left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[]−∞;32​[∪]32​;+∞[
par 
f(x)=\frac{5}{3x-2}
. 
La fonction 
f
 est le produit de
5
 par une fonction du type
g(ax+b)
 avec 
g:x\mapsto1/x
, 
a=3
 et 
b=-2
. 
Comme la fonction 
g
 est dérivable sur chaque intervalle
]-\infty;0[
et
]0;+\infty[
et que, pour tout réel 
x
, 
g'(x)=\color{red}{\frac{-1}{x^2}
, la fonction 
f
 est donc dérivable sur chaque intervalle
]−∞;23[\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right[]−∞;32​[
et 
]23;+∞[\left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[]32​;+∞[
et pour tout réel 
x
, 
f'(x)=5\times\color{green}{a}\times \color{red}{g'}(\color{blue}{ax+b})=5\times\color{green}{3}\times \color{red}{\frac{-1}{(\color{blue}{3x-2})^2}}=\frac{-15}{(3x-2)^2}
.

Tableau récapitulatif des dérivées d'opérations

Soit
u
 et 
v
 deux fonctions dérivables sur un intervalle 
I
de
R\mathbb RR
et 
k
 un réel.
Pour l'inverse :
u
 ne doit pas s'annuler sur
I
.
Pour le quotient :
v
 ne doit pas s'annuler sur
I
.
Le tableau suivant résume les propriétés pour le calcul de dérivées d'opérations.