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Exercices d'entraînement

Une entreprise vend une bouilloire entre

Sommaire

* L'offre et la demande* Une intersection étonnante* Déterminer l'expression d'une fonction (1)* Tangente commune à deux courbes (1)** Déterminer l'expression d'une fonction (2)** Tangente à deux points d'une courbe** Tangente commune à deux courbes (2)** Tangentes parallèles*** Positions relatives d'une courbe et des tangentes

* L'offre et la demande

Une entreprise vend une bouilloire entre
202020
 € et
404040
 €.
Pour un prix de
xxx
 euros, une étude de marché montre que :
    • la demande (c'est-à-dire le nombre de bouilloires achetées par les consommateurs) peut être modélisée par la fonction 
ddd
définie sur 
[20;40][20;40][20;40]
par
d(x)=−30x+1 800d(x) = -30x + 1\,800d(x)=−30x+1800
 ;
    • l’offre (c'est-à-dire le nombre de bouilloires mises en vente par l’entreprise) peut être modélisée par la fonction 
fff
définie sur 
[20;40][20;40][20;40]
par 
f(x)=−20 000x+1 400f(x) = -\dfrac{20 \ 000}{x} + 1\,400f(x)=−x20 000​+1400
.
Afin de maximiser la rentabilité de la vente, le producteur cherche le prix pour lequel l'offre égale la demande.
1.Après avoir représenté graphiquement les fonctions 
ddd
et 
fff
, conjecturer quel pourrait être ce prix. 
2.  Montrer que le prix d'équilibre est solution de l'équation 
−30x2+400x+20 000=0-30x^2 + 400x + 20\ 000=0−30x2+400x+20 000=0
.
3.Déterminer le prix cherché.

* Une intersection étonnante

On considère la fonction 
fff
 définie, pour tout 
xxx
 réel, par 
f(x)=−x2+4x+3.f(x) = -x^2 + 4x + 3.f(x)=−x2+4x+3.
1.Calculer 
f′(x)f'(x)f′(x)
.
2.Soit
A\text AA
 et
B\text BB
 les points de la courbe représentative de
fff
 d’abscisses 
000
 et
333
.a.Déterminer
f′(0)f'(0)f′(0)
 et
f′(3)f'(3)f′(3)
.b.Donner l'équation réduite de chacune des tangentes à la courbe représentative de la fonction
f
aux points
A\text AA
 et 
B\text BB
.c.Déterminer le point d’intersection
D\text DD
 de ces deux tangentes.d.Vérifier que
D\text DD
 a la même abscisse que le milieu
I\text II
 du segment
[AB]\left[\text A\text B\right][AB]
.

* Déterminer l'expression d'une fonction (1)

Déterminer la fonction polynôme du troisième degré 
fff
 dont la représentation graphique est tangente à l'axe des abscisses en 
333
, passe par l'origine et par 
I(2 ;3)\text I\left(2 \ ; 3\right)I(2 ;3)
.

* Tangente commune à deux courbes (1)

Soit
f
et
g
les fonctions polynômes du second degré définies par 
f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2
 et 
g(x)=(x−1)2+1g(x) = \left(x-1\right)^2 + 1g(x)=(x−1)2+1
.
Leurs courbes représentatives admettent-elles une tangente commune ? Si oui, en donner une équation.
Coup de pouce : un fichier de géométrie dynamique pour conjecturer : geogebra.org/classic/zp9kzvck.

** Déterminer l'expression d'une fonction (2)

Soit 
fff
 une fonction définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c
 où 
aaa
, 
bbb
 et 
c
 sont des réels à déterminer. 
On sait que 
f(0)=4f(0) = 4f(0)=4
, que 
f′(0)=−5f'(0) = -5f′(0)=−5
 et que 
f(3)=2f(3) = 2f(3)=2
.
Déterminer l'expression de 
f(x)f(x)f(x)
 pour tout 
x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R
.

** Tangente à deux points d'une courbe

Soit
fff
 la fonction définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=−x4+2x2+xf(x) = -x^4 + 2x^2 + xf(x)=−x4+2x2+x
 .
On note
Cf\mathcal{C}_fCf​
 la représentation graphique de la fonction
fff
.
Montrer que la tangente à la courbe
Cf\mathcal{C}_fCf​
 au point
A(−1  ;  0)\text A\left(-1 \; ; \; 0\right)A(−1;0)
 est également tangente à la courbe
Cf\mathcal{C}_fCf​
 en un autre point que l'on précisera.

** Tangente commune à deux courbes (2)

On considère les fonctions 
fff
 et 
ggg
 définies sur 
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2
 et
g(x)=x2−2x+3g(x) = x^2 - 2x + 3g(x)=x2−2x+3
.
On note 
Cf\mathcal{C}_fCf​
 et 
Cg\mathcal{C}_gCg​
 les représentations graphiques respectives de 
fff
 et 
ggg
.
Trouver l'équation de la droite tangente à la fois à la parabole 
Cf\mathcal{C}_fCf​
 et à la parabole 
Cg\mathcal{C}_gCg​
.

** Tangentes parallèles

On considère deux fonctions
f
 et 
g
  dérivables sur 
\mathbb(R)
.
Leurs courbes représentatives, notées respectivement
\C_f
 et
C_g
, sont données dans le repère ci-dessous.
On considère le point
\text A
A\text AA
 de la courbe
C_f
 d’abscisse 
0
. La droite
\Delta
 est la tangente à
C_f
 au point
A\text AA
.
1.Lectures graphiques et conjecture
a.Par lecture graphique, déterminer 
f(0)
 et 
f'(0)
.
b.Déterminer l’équation réduite de la droite 
\Delta
.
c.Conjecturer l'abscisse d'un point de
C_g
en lequel la tangente à 
C_g
est parallèle à 
\Delta
­.
2.Démonstration.
On admet que les fonctions 
f
 et 
g
 sont définies sur 
\mathbb(R)
 par: 
f(x)=x^3-4x+2 \text( et ) g(x)=2x^2
.
a. Calculer 
f'(x)
 et
g'(x)
 pour tout réel 
x
.
b.Retrouver par un calcul l’équation de la droite
\Delta
, tangente à la courbe
C_f
 au point d’abscisse 
0
.
c.Déterminer les coordonnées du point de 
C_g
en lequel la tangente à 
C_g
est parallèle à 
\Delta
­.
3.Tangentes parallèles en deux points de même abscisse.
Existe-t-il des points de 
C_f
 et ​​​​​​de ​
C_g
, de même abscisse
a
, pour lesquelles les tangentes aux courbes
C_f
 et ​​​​​​​​​​​​​​
C_g
sont parallèles ?

*** Positions relatives d'une courbe et des tangentes

Soit
fff
 la fonction polynôme du troisième degré définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3xf(x)=x3−3x
.
Le but de cet exercice est d'étudier la position relative de la courbe représentative de 
fff
 par rapport à ses tangentes. On pourra conjecturer les résultats qui seront démontrés dans les questions suivantes grâce à ce fichier de géométrie dynamique :
1.Montrer que, quel que soit
x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R
, 
f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3f′(x)=3x2−3
.
2.En déduire les coordonnées des points de la courbe représentative de 
fff
en lesquels la tangente à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses.
3.Dans cette question, on suppose que
aaa
est un réel non nul.a.Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de
fff
 au point d'abscisse 
aaa
.
Pour tout
xxx
dans
R\mathbb RR
, on pose
d(x)=f(x)−((3a2−3)x−2a3)d(x) = f(x) - \left(\left(3a^2 - 3\right)x - 2a^3\right)d(x)=f(x)−((3a2−3)x−2a3)
.    b.Que représente
d(x)
dans le cadre de l'exercice ?c.Démontrer que 
d(x)=(x−a)2(x+2a)d(x) = \left(x-a\right)^2 \left(x + 2a\right)d(x)=(x−a)2(x+2a)
.  d.En déduire que la tangente au point d'abscisse
aaa
 recoupe la courbe en un point dont on donnera l'abscisse (en fonction de
aaa
).
3.On suppose maintenant que
a=0a = 0a=0
.a.Déterminer l'équation de la tangente en
a=0
.b.Justifier la phrase suivante : 
La tangente à la courbe représentative de la fonction 
fff
à l'origine traversela courbe représentative de la fonction 
fff
.