Revenir
Revenir

Recherche d'un minimum en économie

Dans cet exercice, nous allons établir une méthode de détermination graphique du minimum du coût moyen...

Sommaire

Activité complèteRecherche d'un minimum en économie
Étape par étapeÉnoncéPartie A - ConjecturesPartie B - Démonstration

Activité complète

Recherche d'un minimum en économie

Dans cet exercice, nous allons établir une méthode de détermination graphique du minimum du coût moyen de production.
Considérons une entreprise de tissu. Pour une production de
xxx
kilos de tissu, on a modélisé les coûts de production par les fonctions définies par : 
CT(x)=x3−12x2+48xC_T\left(x\right) = x^3 - 12x^2 + 48xCT​(x)=x3−12x2+48x
coût total de production pour
xxx
dans
[0;8][0;8][0;8]
.
Cm(x)=3x2−24x+48C_m(x)=3x^2-24x+48Cm​(x)=3x2−24x+48
coût marginalpour
xxx
dans
[0;8][0;8][0;8]
.
CM(x)=x2−12x+48C_M(x)=x^2-12x+48CM​(x)=x2−12x+48
coût moyenpour
xxx
dans
]0;8]]0;8]]0;8]
.
Dans tout ce qui suit,
M\text MM
est un point de la courbe représentative de la fonction 
CTC_TCT​
d'abscisse le réel
aaa
appartenant à 
[0;8][0;8][0;8]
, on appelle
O\text OO
le point de coordonnées
(0;0)(0;0)(0;0)
.
Partie A - Conjectures
Dans ce fichier de géométrie dynamique sont affichées :
    • le courbe représentative de la fonction
CTC_TCT​
,
    • la sécante
(OM)(\text O\text M)(OM)
,
    • la tangente à la courbe représentative dela fonction
CTC_TCT​
au point
M\text MM
.
1.En cliquant sur les cases correspondantes, afficher le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe représentative de la fonction coût total. Déplacer le point
M\text MM
. Quelle relation semble-t-il y avoir entre ce coefficient directeur et la valeur du coût marginal en
x=ax=ax=a
?
2. En cliquant sur les cases correspondantes, afficher le coefficient directeur de la sécante
(OM)(\text O\text M)(OM)
. Déplacer le point
M\text MM
. Quelle relation semble y avoir entre ce coefficient directeur et la valeur du coût moyen en
x=ax=ax=a
 ?
3.Afficher le point correspondant au minimum de la fonction coût moyen ; appelons
x0x_0x0​
son abscisse. Déplacer le point
M\text MM
pour que son abscisse soit égale à 
x0x_0x0​
. Que peut-on remarquer concernant les positions de la droite tangente en 
M\text MM
et la sécante 
(OM)(\text O\text M)(OM)
?
4.Exprimer par une phrase une méthode qui permette de déterminer la valeur minimale du coût moyen de production à partir de la courbe représentative de la fonction coût total de production.
Partie B - Démonstration
1.Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction 
CTC_TCT​
en
aaa
. Justifier que ce coefficient directeur correspond au coût marginal de production de
aaa
objets.
2. Déterminer le coefficient directeur de la droite
(OM)\left(\text O\text M\right)(OM)
en fonction de
aaa
. Justifier que ce coefficient directeur correspond au coût moyen de production de
aaa
objets.
3.Justifier que la fonction coût moyen admet un minimum en
a=6a=6a=6
et démontrer que la droite tangente à la courbe représentative de la fonction coût total et la sécante
(OM)(\text O\text M)(OM)
sont confondues pour
a=6.a=6.a=6.
Conclusion : l' abscisse du minimum de la fonction coût moyen correspond à l'abscisse  du point de tangence de
(OM)\left(\text O\text M\right)(OM)
à la courbe représentative de la fonction
CTC_TCT​
.

Étape par étape

Énoncé

Dans cet exercice, nous allons établir une méthode de détermination graphique du minimum du coût moyen de production.
Considérons une entreprise de tissu. Pour une production de
xxx
kilos de tissu, on a modélisé les coûts de production par les fonctions définies par : 
CT(x)=x3−12x2+48xC_T\left(x\right) = x^3 - 12x^2 + 48xCT​(x)=x3−12x2+48x
  coût total de production pour
xxx
dans
[0;8][0;8][0;8]
.
Cm(x)=3x2−24x+48C_m(x)=3x^2-24x+48Cm​(x)=3x2−24x+48
  coût marginalpour
xxx
dans
[0;8][0;8][0;8]
.
CM(x)=x2−12x+48C_M(x)=x^2-12x+48CM​(x)=x2−12x+48
coût moyenpour
xxx
dans
]0;8]]0;8]]0;8]
.
Dans tout ce qui suit,
M\text MM
est un point de la courbe représentative de la fonction 
CTC_TCT​
d'abscisse le réel
aaa
appartenant à 
[0;8][0;8][0;8]
, on appelle
O\text OO
le point de coordonnées
(0;0)(0;0)(0;0)
.

Partie A - Conjectures

Dans ce fichier de géométrie dynamique sont affichées :
    • le courbe représentative de la fonction
CTC_TCT​
,
    • la sécante
(OM)(\text O\text M)(OM)
,
    • la tangente à la courbe représentative dela fonction
CTC_TCT​
au point
M\text MM
.
1.En cliquant sur les cases correspondantes, afficher le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe représentative de la fonction coût marginal. Déplacer le point
M\text MM
. Quelle relation semble y avoir entre ce coefficient directeur et le coût marginal en
x=ax=ax=a
 ?
2. En cliquant sur les cases correspondantes, afficher le coefficient directeur de la sécante
(OM)(\text O\text M)(OM)
. Déplacer le point
M\text MM
. Quelle relation semble y avoir entre ce coefficient directeur et le coût moyen en
x=ax=ax=a
 ?
3.Afficher le point correspondant au minimum de la fonction coût moyen ; appelons
x0x_0x0​
son abscisse. Déplacer le point
M\text MM
pour que son abscisse soit égale à 
x0x_0x0​
. Que peut-on remarquer concernant les positions de la droite tangente en 
M\text MM
et la sécante 
(OM)(\text O\text M)(OM)
?
4.Exprimer par une phrase une méthode qui permette de déterminer la valeur minimale du coût moyen de production à partir de la courbe représentative de la fonction coût total de production.

Partie B - Démonstration

Dans ce fichier de géométrie dynamique sont affichées :
  • le courbe représentative de la fonction ,
  • la sécante ,
  • la tangente à la courbe représentative de la fonction  au point .
1.Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction 
CTC_TCT​
en
aaa
. Justifier que ce coefficient directeur correspond au coût marginal de production de
aaa
objets.
2. Déterminer le coefficient directeur de la droite
(OM)\left(\text O\text M\right)(OM)
en fonction de
aaa
. Justifier que ce coefficient directeur correspond au coût moyen de production de
aaa
objets.
3.Justifier que la fonction coût moyen admet un minimum en
a=6a=6a=6
et démontrer que la droite tangente à la courbe représentative de la fonction coût total et la sécante
(OM)(\text O\text M)(OM)
sont confondues pour
a=6.a=6.a=6.
Conclusion : l' abscisse du minimum de la fonction coût moyen correspond à l'abscisse  du point de tangence de
(OM)\left(\text O\text M\right)(OM)
à la courbe représentative de la fonction
CTC_TCT​
.