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Lien entre fonction dérivée et variations d'une fonction

 une fonction dérivable sur un intervalle 

Sommaire

Lien entre sens de variations et signe de la dérivéeDu sens de variation au signe de la dérivée - Exemple✎ Du signe de la dérivée au sens de variations

Lien entre sens de variations et signe de la dérivée

Théorème
Soit 
f
 une fonction dérivable sur un intervalle 
I
 de 
\mathbb(R)
.
f
 est croissante sur 
I
, si et seulement si, pour tout 
x\in\I
, 
f′(x)⩾0f^{\prime}(x)\geqslant0f′(x)⩾0
. 
f
 est décroissante sur 
I
, si et seulement si, pour tout 
x\in\I
, 
f′(x)⩽0f'(x)\leqslant0f′(x)⩽0
.
f
 est constante sur 
I
, si et seulement si, pour tout 
x\in\I
, 
f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0
.
Idée de la démonstration
On va donner une idée de la démonstration du sens direct dans le cas d'une fonction
fff
croissante sur
III
, à savoir de l'implication : « Si
f
 est croissante sur 
I
 alors, pour tout 
x\in\I
, 
f′(x)⩾0f'(x)\geqslant0f′(x)⩾0
. »
Pour cela, on considère une fonction 
f
 dérivable sur un intervalle 
I
 de 
\mathbb(R)
. Pour tout réel 
a∈Ia\in Ia∈I
 et tout réel 
h≠0h\ne0h=0
 tel que 
a+h∈Ia+h\in Ia+h∈I
, on a 
f^{\prime}(a)=\lim_\limits{h \rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
. 
Étudions le signe de 
f′(a)f'(a)f′(a)
sur
III
.
    • Si 
h>0,h>0,h>0,
alors 
a+h>aa+h>aa+h>a
et, comme
fff
est croissante,
f(a+h)>f(a)f(a+h)>f(a)f(a+h)>f(a)
soit
f(a+h)−f(a)h>0\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}>0hf(a+h)−f(a)​>0
.
    • Si 
h<0,h<0,h<0,
alors 
a+h<aa+h<aa+h<a
On admet qu'en « passant à la limite » ce quotient strictement positif reste positif. On a alors, pour tout réel 
a∈Ia\in Ia∈I
 et tout réel 
h≠0h\ne0h=0
 tel que 
a+h∈Ia+h\in Ia+h∈I
, 
f′(a)⩾0f'(a)\geqslant0f′(a)⩾0
.
Remarque 1
Le sens direct peut être raffiné.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si, pour pour tout 
x\in\I
, 
f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0
, alors
fff
 est strictement croissante sur 
I
. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si, pour pour tout 
x\in\I
, 
f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0
, alors
fff
 est strictement décroissante sur 
I
. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si, pour pour tout 
x\in\I
, 
f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0
, alors
fff
 est constante sur 
I
. 
Remarque 2
Il existe des fonctions strictement croissantes sur 
III
 telles que la dérivée s'annule sur 
III
. C'est le cas, par exemple, de la fonction cube, définie sur 
R\mathbb{R}R
. On a : 
f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3
 et 
f′(x)=3x2f'(x)=3x^2f′(x)=3x2
. La fonction 
fff
 est strictement croissante sur 
R\mathbb{R}R
 et pourtant 
f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0
.
Remarque 3
Le théorème ne s'applique que sur un intervalle 
III
.
Par exemple, la fonction inverse 
f(x)=1/xf(x)=1/xf(x)=1/x
 est définie et dérivable sur chacun des intervalles
]−∞;0[∪]0;+∞[]-\infty;0[\cup]0;+\infty[]−∞;0[∪]0;+∞[
. On a, pour tout 
x≠0x\ne0x=0
, 
f′(x)=−1x2<0f'(x)=-\dfrac{1}{x^2 }<0f′(x)=−x21​<0
, mais 
fff
 n'est pas décroissante sur 
R∗\mathbb{R^*}R∗
. Elle l'est sur 
]−∞;0[]-\infty;0[]−∞;0[
 et  sur 
]0;+∞[]0;+\infty[]0;+∞[
indépendamment. 

Du sens de variation au signe de la dérivée - Exemple

Soit 
\mathcal{C}_f
la courbe représentative d'une fonction 
f
 définie et dérivable sur l'intervalle 
[-4;7]
. La figure suivante montre sa représentation graphique.
\mathcal{C}_f
possède deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses en 
x=-1
et 
x=4
. Par lecture graphique, on observe que la fonction 
f
 est croissante sur l'intervalle 
[-4;-1]
 et sur l'intervalle 
[4;7]
; elle est décroissante sur 
[-1;4]
. 
On en déduit le signe de sa dérivée 
f′f'f′
que l'on peut résumer dans un tableau : 

✎ Du signe de la dérivée au sens de variations

Méthode
Pour étudier les variations d'une fonction dérivable, on étudie le signe de sa fonction dérivée puis on applique le théorème qui met en relation le signe de la dérivée et les variations de la fonction sur un intervalle donné.
Exemple 1
Soit 
fff
 la fonction définie sur 
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=x3−2x2+5x+1f(x)=x^3-2x^2+5x+1f(x)=x3−2x2+5x+1
. 
La fonction 
fff
 est dérivable sur 
R\mathbb{R}R
et, pour tout 
x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R
, 
f′(x)=3x2−4x+5f'(x)=3x^2-4x+5f′(x)=3x2−4x+5
. 
f′f'f′
est une fonction polynôme de degré 
222
 et son discriminant est
Δ=(−4)2−4×3×5=−44<0\Delta=(-4)^2-4\times3\times5=-44<0Δ=(−4)2−4×3×5=−44<0
. Le coefficient du terme de degré
2\text 22
est
3\text 33
, qui est positif, ainsi,pour tout 
x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R
, 
f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0
. 
On en déduit que la fonction 
fff
 est strictement croissante sur
R\mathbb{R}R
.
Exemple 2
Soit 
ggg
 la fonction définie sur 
]−∞;1[∪]1;+∞[\left]-\infty;1\right[\cup\left]1;+\infty \right[]−∞;1[∪]1;+∞[
 par  
g(x)=x2−4x+7x−1g(x)=\dfrac{x^2-4x+7}{x-1}g(x)=x−1x2−4x+7​
.
La fonction 
ggg
 est dérivable surchacun des intervalles 
]−∞;1[\left]-\infty;1\right[]−∞;1[
et 
]1;+∞[\left]1;+\infty \right[]1;+∞[
et, pour tout 
x∈]−∞;1[∪]1;+∞[x\in\left]-\infty;1\right[\cup\left]1;+\infty \right[x∈]−∞;1[∪]1;+∞[
, on a 
g′(x)=(2x−4)(x−1)−(x2−4x+7)×1(x−1)2=2x2−6x+4−x2+4x−7(x−1)2g^{\prime}(x)=\dfrac{(2x-4)(x-1)-(x^2-4x+7)\times1}{(x-1)^2}=\dfrac{2x^2-6x+4-x^2+4x-7}{(x-1)^2}g′(x)=(x−1)2(2x−4)(x−1)−(x2−4x+7)×1​=(x−1)22x2−6x+4−x2+4x−7​
soit
g′(x)=x2−2x−3(x−1)2g'(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}g′(x)=(x−1)2x2−2x−3​
. 
Comme
(x−1)2>0(x-1)^2>0(x−1)2>0
  sur 
]−∞;1[∪]1;+∞[\left]-\infty;1\right[\cup\left]1;+\infty \right[]−∞;1[∪]1;+∞[
,
g′(x)g'(x)g′(x)
 est du signe de son numérateur :
x2−2x−3x^2-2x-3x2−2x−3
  qui s'annule en 
−1-1−1
 et 
333
.
On dresse le tableau de signes de 
g′(x)g'(x)g′(x)
 puis de variations de 
ggg
.