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Exercices d'entraînement

On considère la fonction définie sur 

Sommaire

* QCM* Tableau de variations et résolution d'équation
** Recherche d'extrema** Du tableau de variations à la fonction** Courbes représentatives d'une fonction et de sa dérivée** Détermination de l'expression d'une fonction** Courbes représentatives de fonctions et de leurs dérivées** Un tableau de variations et une application** Tableau de variations et résolution d'équation** Points d'intersection** Allures de courbes représentatives*** Produit maximal

* QCM

On considère la fonction définie sur 
[−3 ; 5][-3 \ ;\ 5][−3 ; 5]
 et dont les variations sont représentées dans le tableau ci-dessous.
Indiquer, pour chaque question numérotée de
111
 à
101010
, la lettre
A,B\text A, \text BA,B
 ou
C\text CC
de la seule réponse qui est correcte.
EˊnonceˊReˊponse AReˊponse BReˊponse C1On peut affirmer quef(0)=−5f(−3)=3f(3)=5f  estf  estf  est2On peut affirmer quedeˊcroissante surcroissante surdeˊcroissante sur[3 ;−4][0 ;4][−3 ;5]3On peut affirmer quef(2)<f(4)f(−3)=f(0)f(−2)>3f  admet unf  admet un4On peut affirmer queminimum globalf′(−1)=−4maximum globalen  −1en  55On peut affirmer quef′(−3)=3f′(3)=−2f′(0)>0L’eˊquation de la tangente6aˋ la courbe au pointy=3x+1y=x−2y=3x−14d’abscisse 5 estLe nombre de7solutions de l’eˊquation012f(x)=1  estLe nombre de8solutions de l’eˊquation012f(x)=2  estLe nombre de9solutions de l’eˊquation012f(x)=−4  est10f′(x)  a meˆme signe que :x+1x2+1(x+3)(x−5)(x+1)2(x−5)\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & \textbf{Énoncé} &\textbf{Réponse A} &\textbf{Réponse B} &\textbf{Réponse C}\\\hline 1&\textrm{On peut affirmer que}& f(0)=-5 &f(-3)=3 & f(3) =5\\ \hline & & f\;\textrm{est}&f\;\textrm{est} &f\;\textrm{est}\\2&\textrm{On peut affirmer que}&\textrm{décroissante sur} &\textrm{croissante sur} &\textrm{décroissante sur}\\& &[3\ ;-4]&[0\ ;4] &[-3\ ;5] \\\hline 3&\textrm{On peut affirmer que} & f(2) < f(4) & f(-3) = f(0) & f(-2) > 3\\\hline & & f\;\textrm{admet un}& &f\;\textrm{admet un}\\4&\textrm{On peut affirmer que}&\textrm{minimum global} &f^\prime(-1)=-4 &\textrm{maximum global}\\& &\textrm{en}\;-1& &\textrm{en}\;5 \\\hline 5&\textrm{On peut affirmer que} &f^\prime(-3)=3 & f^\prime(3)=-2 &f^\prime(0)>0\\\hline &\textrm{L'équation de la tangente} & &\\ 6&\textrm{à la courbe au point} &y=3x+1 &y=x-2 & y=3x-14\\&\textrm{d'abscisse 5 est} & & \\\hline &\textrm{Le nombre de} & &\\7&\textrm{solutions de l'équation}&0&1&2\\&f(x) = 1\;\textrm{est}&&&\\\hline&\textrm{Le nombre de} & &\\8&\textrm{solutions de l'équation}&0&1&2\\&f(x) = 2\;\textrm{est}&&&\\\hline&\textrm{Le nombre de} & &\\9&\textrm{solutions de l'équation}&0&1&2\\&f(x) = -4\;\textrm{est}&&&\\\hline10&f^\prime (x)\;\textrm{a même signe que :} &\dfrac{x+1}{x^2+1} & (x+3)(x-5)&(x+1)^2(x-5)\\\hline\end{array}12345678910​EˊnonceˊOn peut affirmer queOn peut affirmer queOn peut affirmer queOn peut affirmer queOn peut affirmer queL’eˊquation de la tangenteaˋ la courbe au pointd’abscisse 5 estLe nombre desolutions de l’eˊquationf(x)=1estLe nombre desolutions de l’eˊquationf(x)=2estLe nombre desolutions de l’eˊquationf(x)=−4estf′(x)a meˆme signe que :​Reˊponse Af(0)=−5festdeˊcroissante sur[3 ;−4]f(2)<f(4)fadmet unminimum globalen−1f′(−3)=3y=3x+1000x2+1x+1​​Reˊponse Bf(−3)=3festcroissante sur[0 ;4]f(−3)=f(0)f′(−1)=−4f′(3)=−2y=x−2111(x+3)(x−5)​Reˊponse Cf(3)=5festdeˊcroissante sur[−3 ;5]f(−2)>3fadmet unmaximum globalen5f′(0)>0y=3x−14222(x+1)2(x−5)​​

* Tableau de variations et résolution d'équation

Soit
ggg
 la fonction définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
g(x)=x3−6x2+9x+1g\left(x\right) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1g(x)=x3−6x2+9x+1
.
1.Dresser le tableau de variations de la fonction
ggg
.
2.Conjecturer le nombre de solutions de l'équation
g(x)=0g(x) = 0g(x)=0
.

** Recherche d'extrema

On considère la fonction
fff
 définie sur l'intervalle
[−4 ; 10]\left[-4 \ ; \ 10\right][−4 ; 10]
 par 
f(x)=(x−7)2(x2−4)f(x) = \left(x-7\right)^2 \left(x^2 - 4\right)f(x)=(x−7)2(x2−4)
.
Déterminer les extrema de cette fonction.

** Du tableau de variations à la fonction

Soit
a
,
b
,
c
 et
d
 quatre réels et
a≠0a \neq 0a=0
. On considère la fonction
fff
 définie sur
\mathbb R
par 
f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + df(x)=ax3+bx2+cx+d
.
Le tableau de variations de la fonction
f
est montré sur la figure suivante.
Déterminer les réels
aaa
,
bbb
,
ccc
 et
ddd
.

** Courbes représentatives d'une fonction et de sa dérivée

Les courbes
(C1)\left(\mathcal{C}_1\right)(C1​)
,
(C2)\left(\mathcal{C}_2\right)(C2​)
,
(C3)\left(\mathcal{C}_3\right)(C3​)
 et 
(C4)\left(\mathcal{C}_4\right)(C4​)
sont les représentations graphiques respectives de quatre fonctions
f_1
,
f_2
,
f_3
 et
f_4
.
Les courbes
(C5)\left(\mathcal{C}_5\right)(C5​)
,
(C6)\left(\mathcal{C}_6\right)(C6​)
,
(C7)\left(\mathcal{C}_7\right)(C7​)
 et
(C8)\left(\mathcal{C}_8\right)(C8​)
 ci-dessous sont les représentations graphiques des fonctions dérivées de ces quatre fonctions, dans un ordre à préciser.
Indiquer dans le tableau ci-dessous les numéros des courbes représentatives des quatre fonctions dérivées.

** Détermination de l'expression d'une fonction

Soit
aaa
,
bbb
 et
ccc
 des réels. On considère la fonction
fff
 définie sur
]1;+\infty[
par 
f(x)=a+bx+cx−1f(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x-1}f(x)=a+xb​+x−1c​
.
On sait que :
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la fonction admet un extremum en
x=2
et sa valeur est
0
 ;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;l'image de
4
par la fonction
f
est 
2
.
Déterminer l'expression de la fonction
fff
.

** Courbes représentatives de fonctions et de leurs dérivées

Les trois courbes de la première ligne sont les représentations graphiques des trois fonctions
fff
,
ggg
 et
hhh
.
Les trois courbes de la deuxième ligne (nommées
C1\mathcal{C}_1C1​
,
C2\mathcal{C}_2C2​
 et
C3\mathcal{C}_3C3​
) sont les représentations graphiques des fonctions dérivées 
f′f'f′
,
g′g'g′
 et
h′h'h′
.
Associer les courbes des fonctions et de leurs dérivées.

** Un tableau de variations et une application

Soit
fff
 la fonction définie par 
f(x)=2x2+x−13x2−x−2f(x) = \dfrac{2x^2 + x - 13}{x^2 - x - 2}f(x)=x2−x−22x2+x−13​
.
1.Vérifier que l'ensemble de définition de
fff
est
I=]−∞;−1[∪]−1;2[∪]2;+∞[I=]-\infty;-1[\cup]-1;2[\cup]2;+\infty[I=]−∞;−1[∪]−1;2[∪]2;+∞[
.
2.Dresser le tableau de variations de la fonction
fff
 sur son ensemble de définition.
3.Déterminer l'équation de la tangente au point de la courbe représentative de
fff
 d'abscisse 
333
.
4.Soit
m∈Rm \in \mathbb{R}m∈R
. En s'appuyant sur le tableau de variations établi à la question 2, discuter le nombre et le signe des solutions de l'équation 
f(x)=mf(x) = mf(x)=m
.

** Tableau de variations et résolution d'équation

Soit
hhh
 la fonction définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
h(x)=14x4−2x3+4x2+1h\left(x\right) = \dfrac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 4x^2 + 1h(x)=41​x4−2x3+4x2+1
.
1.Dresser le tableau de variations de la fonction
hhh
.
2.Soit
mmm
 un nombre réel. Discuter le nombre et le signe des solutions de l'équation
h(x)=mh(x) = mh(x)=m
 selon les valeurs de
mmm
.

** Points d'intersection

On considère les fonctions 
fff
 et 
ggg
 définies sur
[−4;6][-4;6][−4;6]
 par
f(x)=12x2(x−3)f(x)=\dfrac{1}{2}x^2(x-3)f(x)=21​x2(x−3)
 et 
g(x)=3(3x−5)g(x)=3(3x-5)g(x)=3(3x−5)
.
On note
CfC_fCf​
 et
CgC_gCg​
 leurs courbes représentatives dans un repère.
Le but de l'exercice est la recherche du nombre de points d'intersection des courbes
CfC_fCf​
 et
CgC_gCg​
.
1.Conjecture graphique
Sur la calculatrice, choisir une fenêtre d'affichage que l'on précisera pour afficher les deux courbes simultanément, puis formuler une conjecture sur le nombre de points d'intersection entre 
CfC_fCf​
 et
CgC_gCg​
.
2.Avec un tableau de variations
    a.On pose 
h(x)=x3−3x2−18x+30h(x)=x^3-3x^2-18x+30h(x)=x3−3x2−18x+30
. 
Démontrer que déterminer les abscisses des points d'intersection des deux courbes
CfC_fCf​
 et
CgC_gCg​
, revient à résoudre l'équation
h(x)=0h(x)=0h(x)=0
. 
    b.Étudier les variations de
hhh
 sur
[−4;6][-4;6][−4;6]
 et dresser son tableau de variations. Donner des valeurs approchées des images au dixième près.
    c.Par lecture du tableau de variations de 
hhh
, conjecturer le nombre de points d’intersection entre
CfC_fCf​
 et
CgC_gCg​
. On ne demande pas de déterminer leurs coordonnées. Vérifier la cohérence de votre réponse avec celle obtenue graphiquement.

** Allures de courbes représentatives

Soit 
a,ba,ba,b
deux réels, 
aaa
non nul. Soit
f
la fonction définie sur 
\mathbbR
 par 
f(x)=ax^3+bx
. 
1.En utilisant un outil de géométrie dynamique ou une calculatrice, observer l'allure de la courbe représentative de la fonction
fff
pour différentes valeurs de
aaa
et
bbb
. Les quatre figures suivantes montrent quatre représentations possibles. Associer à chaque courbe la condition sur les signes de
aaa
et
bbb
qui lui correspond :
a>0a>0a>0
et
b≥0b\geq0b≥0
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;
a<0a<0a<0
et
b≥0b\geq0b≥0
a>0a>0a>0
et
b≤0b\leq0b≤0
a<0a<0a<0
et
b≤0b\leq0b≤0
2.En étudiant les variations de la fonction
f
, démontrer ces conjectures.

*** Produit maximal

Soit 
aaa
 et 
bbb
 deux nombres réels positifs tels que 
a+b=1a+b=1a+b=1
.
Quelle est la valeur maximale du produit 
ababab
 ?