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Exercices bilan et problèmes

On dispose d'un carré en carton de 1 m de côté. Au niveau de chaque sommet, on découpe un carré de

Sommaire

Boîte de volume maximalLiens utilesLogo d'aire maximalePropriétés géométriques d'une courbe représentativeTriangle isocèle d'aire maximaleJardinière optimiséeThéorème des accroissements finisFonction statistique

Boîte de volume maximal

On dispose d'un carré en carton de 1 m de côté. Au niveau de chaque sommet, on découpe un carré de
xxx
m de côté,
xxx
étant un réel de l'intervalle
[0;0,5][0;0,5][0;0,5]
. On plie le carton suivant les pointillés comme montré dans la figure ci-dessous. On forme ainsi une boîte ouverte.
1.À l'aide du fichier de géométrie dynamique, conjecturer la valeur de 
xxx
qui maximise le volume de la boîte. 
2.Calculer le volume
V(x)\mathcal{V}\left(x\right)V(x)
 de la boîte en fonction de
xxx
.
3.Déterminer la valeur de
xxx
qui permet d'obtenir le plus grand volume. Comparer ce résultat à conjecture émise à la question 1.
*remerciements à Vincent Pantaloni,https://www.geogebra.org/u/pantaloni

Liens utiles

https://www.geogebra.org/u/pantaloni

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Logo d'aire maximale

Un logo doit être constitué d'un carré et d'un rectangle tels que la largeur du rectangle soit égale à la longueur du côté du carré. Pour le réaliser, on délimite ces deux surfaces avec une ficelle de 
101010
 mètres de long. La figure suivante montre un exemple de configuration envisagée.
Soit
xxx
la longueur, en mètres, du côté du carré. Le but de l'exercice est de déterminer pour quelle valeur de
xxx
l'aire du logo est maximale.
1.a.Calculer l'aire du logo pour
x=0,1 mx=0,1 \ \text mx=0,1 m
.b.Expliquer pourquoi
xxx
appartient à l'intervalle
I=[0;53]I=\left[0;\dfrac 5 3 \right]I=[0;35​]
.   c.Donner l'expression de l'aire du logo
A(x)A(x)A(x)
 en fonction de
xxx
.
2.  a.Déterminer les variations de la fonction
AAA
 sur l'intervalle
III
.b. Répondre au problème posé.  c.Avec
1 L1 \ \text L1 L
de peinture, on peint
10 m210 \ \text m^210 m2
. Combien de litres de peinture seront nécessaires pour peindre la surface maximale du logo ? 

Propriétés géométriques d'une courbe représentative

Partie A
Soit 
aaa
 et 
bbb
deux réels et
ggg
 la fonction définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
g(x)=3x2+ax+bx2+1g(x) = \dfrac{3x^2 + ax + b}{x^2 + 1}g(x)=x2+13x2+ax+b​
. 
Déterminer les valeurs de
aaa
 et 
bbb
 pour que la tangente à la courbe représentative de 
ggg
 au point 
I
 de coordonnées 
\left(0 \ ; 3\right)
 soit parallèle à la droite d'équation 
y=4x−3y = 4x - 3y=4x−3
.
Partie B
Soit 
fff
 la fonction définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=3x2+4x+3x2+1f(x) = \dfrac{3x^2 + 4x + 3}{x^2 + 1}f(x)=x2+13x2+4x+3​
 et 
Cf\mathcal{C}_fCf​
 sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
1.Étudier les variations de 
fff
. Dresser le tableau de variations de 
fff
.
2.Déterminer l'équation de la droite 
T\mathcal{T}T
 tangente à la courbe 
Cf\mathcal{C}_fCf​
 au point 
III
 d'abscisse
000
. Étudier la position relative de 
Cf\mathcal{C}_fCf​
 par rapport à 
T\mathcal{T}T
.
3. a.Démontrer que, pour tout 
xxx
 réel, 
f(x)+f(−x)=6f(x) + f(-x) = 6f(x)+f(−x)=6
.b.Pour tout 
ccc
 réel, on note 
M\text MM
 le point de 
Cf\mathcal{C}_fCf​
 d'abscisse 
ccc
 et 
M′\text M'M′
 le pointde 
Cf\mathcal{C}_fCf​
 d'abscisse 
−c-c−c
. Démontrer que 
III
 est le milieu du segment 
[MM′]\left[\text M\text M'\right][MM′]
.c.Quelle propriété géométrique de 
Cf\mathcal{C}_fCf​
peut-on en déduire ?

Triangle isocèle d'aire maximale

ABC\text A\text B\text CABC
 est un triangle isocèle tel que
AB=AC=10\text A\text B = \text A\text C = 10AB=AC=10
 cm.
On veut déterminer la longueur de
BC\text B\text CBC
 afin que l'aire de ce triangle soit maximale.
Partie 1 -  Conjectures
Dans ce fichier de géométrie dynamique a été représenté le triangle isocèle
ABC\text A\text B\text CABC
.
1.En déplaçant le point
B\text BB
ou le point
C\text CC
, conjecturer la valeur de
BC\text B\text CBC
qui maximise l'aire du triangle.
2.Quelle semble être la mesure en degrés de l'angle
CAB^\widehat{\text{CAB}}CAB
?
Partie 2 - Démonstration
On pose
xxx
la longueur de
BC\text B\text CBC
. On note
H\text HH
 le pied de la hauteur issue de
A\text AA
.
a.Justifier que
xxx
 appartient à
[0 ; 20]\left[0 \ ; \ 20\right][0 ; 20]
.  b.Exprimer
BH\text B\text HBH
, puis
AH\text A\text HAH
, puis l'aire du triangle
ABC\text{ABC}ABC
 (notée
SSS
) en fonction de
xxx
.c.Vérifier que
S(x)=14x400−x2S(x) = \dfrac{1}{4} x\sqrt{400-x^2}S(x)=41​x400−x2​
pour
xxx
 appartenant à
[0  ;  20]\left[0 \; ; \; 20\right][0;20]
.d.Établir le tableau de variations de
SSS
 sur
[0  ;  20]\left[0 \; ; \; 20\right][0;20]
. En déduire la valeur exacte de
xxx
 pour laquelle l'aire du triangle
ABC\text{ABC}ABC
 est maximale.e.En déduire la mesure en degrés de l'angle
CAB^\widehat {\text{CAB}}CAB
.

Jardinière optimisée

Pour aménager un jardin, on souhaite installer des jardinières sphériques.
Un bac cylindrique est installé à l'intérieur d'un pot sphérique. Le constructeur souhaite déterminer les dimensions du bac à installer à l'intérieur qui maximisent la quantité de terreau que l'on peut y déposer.
On modélise la jardinière comme une sphère de rayon
R=9 dmR=9 \ \text d\text mR=9 dm
dans laquelle on inscrit un cylindre. Cela signifie que les deux bases circulaires du cylindre sont des sections de la sphère.
Appelons
rrr
le rayon en décimètres de chacune des deux bases du cylindre et
2h2h2h
sa hauteur en décimètres.
Pour simplifier le modèle, on considère la sphère entière (sans l'ouverture pour les fleurs) et le bac cylindrique à son intérieur comme schématisé dans la figure suivante.
1.Expliquer pourquoi on a la relation
R2=r2+h2R^2=r^2+h^2R2=r2+h2
. En déduire l'expression de 
hhh
 en fonction de 
rrr
.
2.Justifier que
rrr
appartient à l'intervalle
[0;9][0; 9][0;9]
.
3.Démontrer que le volume
VVV
du cylindre en fonction de
rrr
s'écrit
V(r)=2πr281−r2V(r)=2\pi r^2\sqrt{81-r^2}V(r)=2πr281−r2​
.
4.Étudier les variations de la fonction 
VVV
sur
[0 ;9][0 \ ; 9][0 ;9]
.
5.En déduire les dimensions du cylindre qui maximisent la quantité de terreau dans le bac. Donner alors une valeur approchée au dm près du volume de terreaux nécessaire.

Théorème des accroissements finis

Partie 1 - Étude des tangentes à la représentation graphique de la fonction carrée
Soit 
fff
la fonction définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2
. Soit
A\text AA
et
B\text BB
les points de la courbe représentative de la fonction
f
d'abscisses respectives
0
et
2
.
1.Déterminer un réel
ccc
dans l'intervalle
]0;2[]0;2[]0;2[
tel que
f′(c)f'(c)f′(c)
= 
f(2)−f(0)2−0\dfrac{f\left(2\right) - f\left(0\right)}{2 - 0}2−0f(2)−f(0)​
.
2.Donner une interprétation géométrique du nombre 
f(2)−f(0)2−0\dfrac{f\left(2\right) - f\left(0\right)}{2 - 0}2−0f(2)−f(0)​
 puis du nombre 
f′(c)f'(c)f′(c)
.
3.Proposer un protocole de construction de la tangente à la courbe représentative de la fonction carrée au point d'abscisse
Partie 2 - Généralisation
Soit
a
et
b
deux réels.
Le théorème des accroissements finis affirme que, si
fff
 est une fonction dérivable sur un intervalle
]a ; b[\left]a \ ; \ b\right[]a ; b[
, alors il existe au moins un réel
ccc
 de
]a ; b[\left]a \ ; \ b\right[]a ; b[
 tel que 
f(b)−f(a)b−a=f′(c)\dfrac{f\left(b\right) - f\left(a\right)}{b - a} = f'(c)b−af(b)−f(a)​=f′(c)
.
1.Donner une interprétation géométrique de ce théorème.
2.Déterminer l'ensemble des valeurs de
ccc
 pour la fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2
.
3.En déduire une construction des tangentes à la parabole.

Fonction statistique

Le but de cet exercice est de démontrer une propriété reliant les fonctions et les statistiques.
Partie 1 - Conjecture
On considère l'enquête statistique suivante.
« Nous aimerions recueillir vos impressions concernant nos services. Veuillez indiquer votre note du niveau de satisfaction en utilisant l'échelle suivante :
1 - Pas du tout satisfait
2 - Moyennement satisfait3- Satisfait4- Très satisfait5- Extrêmement satisfait. »
Les résultats de l'enquête sont les suivants : 2personnes sont satisfaites,1personne est très satisfaite et2personnes sont extrêmement satisfaites. 
1.Déterminer la moyenne des notes attribuées à l'entreprise. 
2.On considère la fonction 
fff
 définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=15(2(x−3)2+1(x−4)2+2(x−5)2)f(x) = \dfrac{1}{5}\left(\color{red}2 \left(x - \color{red}3 \right)^2 + \color{green}1\left(x-\color{green}4\right)^2 + \color{blue}2\left(x-\color{blue}5\right)^2\right)f(x)=51​(2(x−3)2+1(x−4)2+2(x−5)2)
. Déterminer pour quelle valeur de
xxx
 la fonction
fff
 admet un minimum sur
R\mathbb{R}R
. Que vaut alors ce minimum ?
3.Quelle conjecture peut-on émettre ?
Partie 2 - Démonstration
On considère la série statistique suivante.
    • Les réponses données par les personnes interrogées (les valeurs du caractère) sont les réels
x1x_1x1​
,
x2x_2x2​
, ...,
xkx_kxk​
, avec
kkk
 un entier supérieur à
111
.
    • Les effectifs correspondants sont notés
n1n_1n1​
,
n2n_2n2​
, ...,
nkn_knk​
. Ainsi, avec ces notations, la réponse
x1x_1x1​
 est donnée
n1n_1n1​
 fois, etc...
On note
N=n1+n2+…+nkN = n_1 + n_2 + \ldots + n_kN=n1​+n2​+…+nk​
. Soit
fff
 la fonction définie par 
f(x)=1N(n1(x−x1)2+…+nk(x−xk)2)f(x) = \dfrac{1}{N}\left(n_1 \left(x - x_1\right)^2 + \ldots + n_k \left(x - x_k\right)^2\right)f(x)=N1​(n1​(x−x1​)2+…+nk​(x−xk​)2)
.
Montrer que
fff
 admet un minimum sur
R\mathbb{R}R
, que ce minimum est atteint en la moyenne pondérée des valeurs du caractère et qu'il est égal à la variance de la série statistique.