Objectif de l'épreuve
L'épreuve dite du Grand Oral est l'une des épreuves du baccalauréat général et technologique.
Elle se déroule uniquement à l'oral devant un jury composé de deux professeurs et porte sur les deux enseignements de spécialité suivis en terminale.
En amont de l'épreuve, le candidat présente deux questions sur des thématiques de son choix ayant un lien avec les programmes du cycle terminal des deux spécialités. Ainsi, chaque question peut porter sur l'une des deux spécialités ou se situer à leur croisement. Dans l'ensemble, les deux questions doivent toucher un ou plusieurs points des deux programmes de spécialité.
En début d'épreuve, le jury en choisit une, puis le candidat dispose de 20 minutes de préparation avant de soutenir son Grand Oral. Pendant la préparation, le candidat peut préparer un support consistant en une ou plusieurs feuilles A4 sur lesquelles il peut poser des traces écrites qui lui seront utiles pendant l'exposé.
Déroulé de l'épreuve
- Pendant 10 minutes, le candidat présente la question choisie et y répond. Le jury évalue son argumentation et ses qualités de présentation. Pendant son exposé, sauf aménagements pour les candidats à besoins spécifiques, le candidat est debout. Pour son exposé, il peut s’appuyer sur son support. Il peut le montrer au jury mais pas le lui remettre.
- Ensuite, pendant 10 minutes, le jury échange avec le candidat et évalue la solidité de ses connaissances et ses compétences argumentatives.Durant l’échange, le candidat peut s’appuyer sur son support. Il peut le montrer au jury, à son initiative ou en réponse à une question du jury. Pour autant, le jury ne peut pas le conserver à l’issue de l’épreuve ni l’évaluer. Le candidat dispose d’un tableau dans la salle d'examen, qu'il peut utiliser, s'il le souhaite, durant ce deuxième temps. En revanche, le jury ne peut pas demander au candidat d’écrire (ni sur une feuille, ni au tableau) pour répondre à des questions qu’il lui soumettrait ou faire des exercices.
Coût total et coût marginal
Cet exercice se propose d'introduire et d'étudier la notion de coût marginal de production.
Dans une entreprise qui produit des parfums, on a modélisé le coût total de fabrication de
litres de parfum, exprimé en euros, par la fonction polynôme du second degré définie sur
par :
.
1. Déterminer le coût total de fabrication de
litres puis de
litres de ce parfum.
2.En déduire le coût de production d'un litre de parfum supplémentaire si on en a déjà produit
.
3. Exprimer en fonction de
la différence
.
Ce nombre, noté
, représente l'augmentation du coût total entraînée par la fabrication d'un objet supplémentaire lorsqu'on en a fabriqué
. Il s'appelle coût marginal de
.
4.Justifier que, pour la production du parfum de l'entreprise que nous avons considérée, le coût marginal décroît suivant le nombre de litres produits. Proposer une interprétation de ce phénomène.
5.Expliquer pourquoi ce modèle n'est pas adapté à décrire une production supérieure à
litres de parfum.
6.Déterminer la fonction dérivée de la fonction
puis expliquer pourquoi, dans la pratique, on assimile le coût marginal à la dérivée du coût total.
7.Pour la fonction coût total considérée, l'erreur commise en assimilant le coût marginal à la dérivée du coût total est de
\text{1}
centime d'euros. Retrouver ce résultat puis l'utiliser pour exprimer l'erreur commise en pourcentage relatif au coût marginal de production de
litres de parfum.
Coût moyen
Dans cet exercice on introduit la notion de coût moyen de production à partir d'une modélisation du coût total par une fonction polynôme de degré 3 puis on en étudie des propriétés.
Dans une entreprise de tissu, le coût total de fabrication de
kilos de tissu est donné par
, avec
exprimé en euros.
Partie 1 - Observation de représentations graphiques et conjectures.
Ce fichier de géométrie dynamique montre la représentation graphique de la fonction
, coût total de production.
1.Par lecture graphique, donner les variations de la fonction coût total sur
.
2.En cliquant sur la case correspondante, afficher la courbe représentative de la fonction
, coût marginal. Lire graphiquement l'image de 4 par la fonction
. Interpréter ce résultat.
On définit ensuite la fonction coût moyen de production, notée
, par
pour tout
.
3.Pour
kilos de tissu produits, donner une interprétation de
.
4.En cliquant sur la case correspondante, faire afficher la courbe représentative de la fonction
et en décrire les variations. Combien de kilos faut-il produire pour avoir un coût moyen de production minimal ?
5.En cliquant sur la case correspondante, afficher le point de la courbe représentative de
correspondant au minimum de la fonction. Quel relation entre coût moyen minimum et coût marginal peut-on conjecturer ?
Partie 2 - Étude des fonctions coût total, coût marginal, coût moyen
1.Étudier les variations de la fonction
sur l'intervalle
.
On assimile le coût marginal à la dérivée du coût total.
2.Déterminer
pour
appartenant à
.
3.Étudier les variations de la fonction
sur l'intervalle
.
4.Déterminer
pour
appartenant à
.
5.Étudier les variations de la fonction
sur l'intervalle
.
6.Pour quelle valeur
le coût moyen est-il minimal ?
7.Comparer alors
et
. Que remarque-t-on ?
Ce résultat est général : le coût moyen de production est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.
Préparation du grand oral : les 10 premières minutes
Questions possibles
- Comment les mathématiques permettent-elles d'optimiser la production d'une entreprise ?
- Quelle stratégie peut mettre en place une entreprise pour minimiser ses coûts de production ?
- De quelle façon peut-on se servir des dérivées pour optimiser les coûts d'une entreprise ?
Trame de l'exposé
1.Accroche : dire pourquoi la question est intéressante et importante (1 min).
2.Présenter une modélisation mathématique par une fonction représentant le coût total de production de
produits. Puis expliquer comment sont déduites les fonctions coût moyen et coût marginal. Justifier pourquoi le coût marginal peut être approximé par la dérivée du coût total. Les interpréter dans le contexte choisi (4 min).
3.Présenter les éléments du support qui permettent d'illustrer la recherche du minimum de la fonction coût moyen (2 min).
4.Interpréter l'intersection des courbes représentatives des fonctions coût marginal et coût moyen dans le contexte choisi (2 min).
5.Conclure sur comment, concrètement, une cheffe d'entreprise peut organiser la production pour qu'elle soit en accord avec la condition énoncée au point 4 (1 min).
Exemple d'un support d'un élève
Préparation du grand oral : les questions du jury
Voici une liste de questions possibles de la part du jury, organisées par thématiques.
Par rapport aux mathématiques évoquées
• Comment avez-vous déterminé la dérivée de la fonction
?
• Avec quel outil mathématique peut-on déterminer les points d'intersection de deux courbes ?
• Quelle est l'allure de la tangente à la courbe représentative de la fonction
au point correspondant à son minimum ? Pourquoi ?
• Y a-t-il d'autres moyens que la dérivation pour déterminer le minimum de
?
Par rapport à la modélisation
- À votre avis, pourquoi des fonctions polynômes sont-elles utilisées pour modéliser la fonction coût total ?
- Connaissez-vous d'autres fonctions qui sont souvent utilisées pour modéliser des phénomènes (notamment des évolutions) ? Si oui, proposez des exemples.
- Vous avez dit que l'on peut assimiler le coût marginal à la dérivée du coût total. Peuvent-ils être égaux ?
Par rapport à l'économie
- Dans une entreprise, quels éléments influent sur les coûts de production ?
- Quels liens peut-on établir entre le coût de production et le prix d'un produit ?
- Vous n'avez pas parlé de recette et bénéfice. Pouvez-vous nous en parler ?