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Propriétés algébriques

la fonction définie et dérivable sur 

Sommaire

Activité complètePropriétés algébriques de la fonction exponentielle
Étape par étapeQuestion 1Question 2Question 3

Activité complète

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Soit 
exp\text{exp}exp
la fonction définie et dérivable sur 
R\mathbb{R}R
telle que : 
{ pour tout x∈R exp’(x)=exp(x)exp(0)=1\begin{cases}\ \text{pour tout}\ x \in \mathbb{R}\ \text{exp'}(x)=\text{exp}(x) \\ \text{exp}(0)=1 \end{cases}{ pour tout x∈R exp’(x)=exp(x)exp(0)=1​
Dans cette activité, on admet que cette fonction existe et qu'elle est unique et on s'intéresse à ses propriétés algébriques.
1.La fonction\(\boldsymbol{\text{exp}}\)ne s'annule pas sur\(\mathbb{R}\)
On considère la fonction
\phi
, définie sur 
R\mathbb{R}R
 par : 
ϕ(x)=exp(x)exp(−x)\phi(x)=\text{exp}(x)\text{exp}(-x)ϕ(x)=exp(x)exp(−x)
. 
    a.Calculer 
\phi^{\prime}(x)
. 
    b.Calculer 
\phi(0)
 et en déduire que, pour tout 
x
 réel, 
exp(x)exp(−x)=1\text{exp}(x)\text{exp}(-x)=1exp(x)exp(−x)=1
.
    c.Conclure quant au fait que
exp⁡\expexp
ne s'annule pas sur
R\mathbb RR
.
2.Une relation fonctionnelle
Soit 
yyy
 un réel. Soit 
hhh
 la fonction définie sur 
R\mathbb{R}R
 par : 
h(x)=exp(x+y)exp(y)h(x)=\dfrac{\text{exp}(x+y)}{\text{exp}(y)}h(x)=exp(y)exp(x+y)​
.    a.Justifier que la fonction 
hhh
 est dérivable sur 
R\mathbb{R}R
et calculer sa dérivée. b.Calculer 
h(0)h(0)h(0)
.   c.En déduire que 
h(x)=exp⁡(x)h(x)=\exp(x)h(x)=exp(x)
. d.Conclure que, pour tous réels 
xxx
 et 
yyy
, 
exp⁡(x+y)=exp⁡(x)exp⁡(y)\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)exp(x+y)=exp(x)exp(y)
.
Cette relation, appelée relation fonctionnelle, peut se verbaliser ainsi :
"La fonction exponentielle transforme une somme en un produit".
3.Exponentielle de l'opposé et d'une différence
    a.Soit 
xxx
 réel. Rappeler la valeur de 
exp⁡(0)\exp(0)exp(0)
 et en déduire la valeur de 
exp⁡(−x)\exp(-x)exp(−x)
 en fonction de 
exp⁡(x)\exp(x)exp(x)
. b.Soit
xxx
 et 
yyy
 deux réels. Que vaut 
exp⁡(x)exp⁡(y)\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}exp(y)exp(x)​
? c. Soit 
xxx
 réel. Exprimer 
exp⁡(2x)\exp(2x)exp(2x)
en fonction de 
exp(x)\text{exp}(x)exp(x)
, puis 
exp(3x)\text{exp}(3x)exp(3x)
en fonction de 
exp(x)\text{exp}(x)exp(x)
puis 
exp(4x)\text{exp}(4x)exp(4x)
en fonction de 
exp(x)\text{exp}(x)exp(x)
. Conjecturer une propriété permettant de calculer
exp⁡(nx)\exp(nx)exp(nx)
 pour tout
nnn
 entier naturel. 

Étape par étape

Question 1

Énoncé
Soit 
exp\text{exp}exp
la fonction définie et dérivable sur 
R\mathbb{R}R
telle que : 
{ pour tout x∈R exp’(x)=exp(x)exp(0)=1\begin{cases}\ \text{pour tout}\ x \in \mathbb{R}\ \text{exp'}(x)=\text{exp}(x) \\ \text{exp}(0)=1 \end{cases}{ pour tout x∈R exp’(x)=exp(x)exp(0)=1​
Dans cette activité, on admet que cette fonction existe et qu'elle est unique et on s'intéresse à ses propriétés algébriques. 
Question 1.La fonction\(\boldsymbol{\text{exp}}\)ne s'annule pas sur\(\mathbb{R}\)
On considère la fonction
\phi
, définie sur 
R\mathbb{R}R
 par : 
ϕ(x)=exp(x)exp(−x)\phi(x)=\text{exp}(x)\text{exp}(-x)ϕ(x)=exp(x)exp(−x)
. 
    a.Calculer 
\phi^{\prime}(x)
. 
    b.Calculer 
\phi(0)
 et en déduire que, pour tout 
x
 réel, 
exp(x)exp(−x)=1\text{exp}(x)\text{exp}(-x)=1exp(x)exp(−x)=1
.
    c.Conclure quant au fait que
exp⁡\expexp
ne s'annule pas sur
R\mathbb RR
.

Question 2

Énoncé
Soit 
exp\text{exp}exp
la fonction définie et dérivable sur 
R\mathbb{R}R
telle que : 
{ pour tout x∈R exp’(x)=exp(x)exp(0)=1\begin{cases}\ \text{pour tout}\ x \in \mathbb{R}\ \text{exp'}(x)=\text{exp}(x) \\ \text{exp}(0)=1 \end{cases}{ pour tout x∈R exp’(x)=exp(x)exp(0)=1​
Dans cette activité, on admet que cette fonction existe et qu'elle est unique et on s'intéresse à ses propriétés algébriques.
Question 2.Une relation fonctionnelle
Soit 
yyy
 un réel. Soit 
hhh
 la fonction définie sur 
R\mathbb{R}R
 par : 
h(x)=exp(x+y)exp(y)h(x)=\dfrac{\text{exp}(x+y)}{\text{exp}(y)}h(x)=exp(y)exp(x+y)​
.    a.Justifier que la fonction 
hhh
 est dérivable sur 
R\mathbb{R}R
et calculer sa dérivée. b.Calculer 
h(0)h(0)h(0)
.   c.En déduire que 
h(x)=exp⁡(x)h(x)=\exp(x)h(x)=exp(x)
. d.Conclure que, pour tous réels 
xxx
 et 
yyy
, 
exp⁡(x+y)=exp⁡(x)exp⁡(y)\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)exp(x+y)=exp(x)exp(y)
.
Cette relation, appelée relation fonctionnelle, peut se verbaliser ainsi :
"La fonction exponentielle transforme une somme en un produit"

Question 3

Énoncé
Soit 
exp\text{exp}exp
la fonction définie et dérivable sur 
R\mathbb{R}R
telle que : 
{ pour tout x∈R exp’(x)=exp(x)exp(0)=1\begin{cases}\ \text{pour tout}\ x \in \mathbb{R}\ \text{exp'}(x)=\text{exp}(x) \\ \text{exp}(0)=1 \end{cases}{ pour tout x∈R exp’(x)=exp(x)exp(0)=1​
Dans cette activité, on admet que cette fonction existe et qu'elle est unique et on s'intéresse à ses propriétés algébriques.
Question 3.Exponentielle de l'opposé et d'une différence
    a.Soit 
xxx
 réel. Rappeler la valeur de 
exp⁡(0)\exp(0)exp(0)
 et en déduire la valeur de 
exp⁡(−x)\exp(-x)exp(−x)
 en fonction de 
exp⁡(x)\exp(x)exp(x)
. b.Soit
xxx
 et 
yyy
 deux réels. Que vaut 
exp⁡(x)exp⁡(y)\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}exp(y)exp(x)​
? c. Soit 
xxx
 réel. Exprimer 
exp⁡(2x)\exp(2x)exp(2x)
en fonction de 
exp(x)\text{exp}(x)exp(x)
, puis 
exp(3x)\text{exp}(3x)exp(3x)
en fonction de 
exp(x)\text{exp}(x)exp(x)
puis 
exp(4x)\text{exp}(4x)exp(4x)
en fonction de 
exp(x)\text{exp}(x)exp(x)
. Conjecturer une propriété permettant de calculer
exp⁡(nx)\exp(nx)exp(nx)
 pour tout
nnn
 entier naturel.