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Méthode d'Euler

L'objectif de cette activité est de construire, de façon approchée, la courbe représentative de la fonction...

Sommaire

Activité complèteMéthode d'Euler
Étape par étapeObjectifLa méthode d'EulerCalcul des coordonnées des points par la méthode d'Euler

Activité complète

Méthode d'Euler

L'objectif de cette activité est de construire, de façon approchée, la courbe représentative de la fonction exponentielle
fff
, définie et dérivable sur 
R\mathbb{R}R
, telle que 
{f′(x)=f(x) pour tout x∈Rf(0)=1\begin{cases}f'(x)=f(x) \ \text{pour tout}\ x \in \mathbb{R} \\ f(0)=1 \end{cases}{f′(x)=f(x) pour tout x∈Rf(0)=1​
. 
La méthode mise au point par Leonhard Euler (1707-1783) que nous allons utiliser permet de déterminer une suite de points proches de ceux appartenant à la courbe. Nous allons ainsi obtenir une approximation de l'allure de la courbe cherchée.
Méthode
1.On se place dans un repère et on considère le point 
M\text{M}M
de coordonnées 
(0;1)(0;1)(0;1)
. Il appartient, par définition, à la courbe représentative de la fonction 
fff
.
2.On détermine une équation de la tangente à lacourbe représentative de 
fff
au point 
M\text{M}M
.
3.On considère le point
N\text{N}N
, appartenant à la tangente, et dont l'abscisse est 
xM+hx_M+hxM​+h
, 
hhh
étant un réel non nul choisi arbitrairement. On calcule l'ordonnée de 
N\text{N}N
.
4.On réitère l'algorithme de construction à partir du point 
N\text{N}N
et on construit d'autres points.
Ce fichier de géométrie dynamique permet de visualiser les différentes étapes de construction en déplaçant le curseur « étape ». Vous pouvez choisir différentes valeurs de
hhh
aussi bien positives que négatives et observer l'effet sur l'approximation des points appartenant à la courbe de la fonction exponentielle. Vous pouvez à tout moment la visualiser en cochant la case « Visualiser la courbe de la fonction exponentielle ».
Calcul des coordonnées des points par la méthode d'Euler
1. Coordonnées du point \(\boldsymbol {\text{N}}\)
    a.Rappeler l'abscisse du point
N\text{N}N
 en fonction de
hhh
. 
    b.Montrer que l'équation de la tangente 
TM{T}_\text{M}TM​
 à lacourbe représentative de 
fff
 au point 
M\text{M}M
 est : 
y=x+1y=x+1y=x+1
. 
    c.En déduire l'ordonnée de
N\text{N}N
.
2. Coordonnées des points approchant la courbe représentative de la fonction exponentielle
Soit
(xn)(x_n)(xn​)
la suite des abscisses des points que l'on cherche définie par
{x0=0Pour tout n∈N,xn+1=xn+h\begin{cases} x_0 =0\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, x_{n+1} = x_n+h \end{cases}{x0​=0Pour tout n∈N,xn+1​=xn​+h​
Soit
(yn)(y_n)(yn​)
 la suite des ordonnées des points que l'on cherche définie par  
{y0=1Pour tout n∈N,yn+1=(1+h)yn\begin{cases} y_0 =1\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, y_{n+1} = (1+h)y_n \end{cases}{y0​=1Pour tout n∈N,yn+1​=(1+h)yn​​
. 
Soit
h=0,1h=0,1h=0,1
. a.Élaborer une feuille de calcul pour calculer les coordonnées des points à construire comme montré dans la figure suivante.
b.Quelle formule entrer dans la cellule C3 puis recopier vers la droite pour obtenir la ligne 3 ?c.Afficher le nuage des points de coordonnées
(xn;yn)(x_n;y_n)(xn​;yn​)
.d.Modifier la valeur de
hhh
et observer le nuage de points correspondant. Expliquer ce qui se passe lorsque
hhh
est négatif.

Étape par étape

Objectif

L'objectif de cette activité est de construire, de façon approchée, la courbe représentative de la fonction exponentielle
fff
, définie et dérivable sur 
R\mathbb{R}R
, telle que 
{f′(x)=f(x) pour tout x∈Rf(0)=1\begin{cases}f'(x)=f(x) \ \text{pour tout}\ x \in \mathbb{R} \\ f(0)=1 \end{cases}{f′(x)=f(x) pour tout x∈Rf(0)=1​
. 
La méthode mise au point par Leonhard Euler (1707-1783) que nous allons utiliser permet de déterminer une suite de points proches de ceux appartenant à la courbe. Nous allons ainsi obtenir une approximation de l'allure de la courbe cherchée.

La méthode d'Euler

Méthode
1.On se place dans un repère et on considère le point 
M\text{M}M
de coordonnées 
(0;1)(0;1)(0;1)
. Il appartient, par définition, à la courbe représentative de la fonction 
fff
.
2.On détermine une équation de la tangente à lacourbe représentative de 
fff
au point 
M\text{M}M
.
3.On considère le point
N\text{N}N
, appartenant à la tangente, et dont l'abscisse est 
xM+hx_M+hxM​+h
, 
hhh
étant un réel non nul choisi arbitrairement. On calcule l'ordonnée de 
N\text{N}N
.
4.On réitère l'algorithme de construction à partir du point 
N\text{N}N
et on construit d'autres points.
Ce fichier de géométrie dynamique permet de visualiser les différentes étapes de construction en déplaçant le curseur « étape ». Vous pouvez choisir différentes valeurs de
hhh
aussi bien positives que négatives et observer l'effet sur l'approximation des points appartenant à la courbe de la fonction exponentielle. Vous pouvez à tout moment la visualiser en cochant la case « Visualiser la courbe de la fonction exponentielle ».

Calcul des coordonnées des points par la méthode d'Euler

Énoncé
Ce fichier de géométrie dynamique permet de visualiser les différentes étapes de construction en déplaçant le curseur « étape ». Vous pouvez choisir différentes valeurs de
hhh
aussi bien positives que négatives et observer l'effet sur l'approximation des points appartenant à la courbe de la fonction exponentielle. Vous pouvez à tout moment la visualiser en cochant la case « Visualiser la courbe de la fonction exponentielle ».
Question 1. Coordonnées du point \(\boldsymbol {\text{N}}\)
    a.Rappeler l'abscisse du point
N\text{N}N
 en fonction de
hhh
. 
    b.Montrer que l'équation de la tangente 
TM{T}_\text{M}TM​
 à lacourbe représentative de 
fff
 au point 
M\text{M}M
 est : 
y=x+1y=x+1y=x+1
. 
    c.En déduire l'ordonnée de
N\text{N}N
.
Question 2. Coordonnées des points approchant la courbe représentative de la fonction exponentielle
Soit
(xn)(x_n)(xn​)
la suite des abscisses des points que l'on cherche définie par
{x0=0Pour tout n∈N,xn+1=xn+h\begin{cases} x_0 =0\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, x_{n+1} = x_n+h \end{cases}{x0​=0Pour tout n∈N,xn+1​=xn​+h​
Soit
(yn)(y_n)(yn​)
 la suite des ordonnées des points que l'on cherche définie par  
{y0=1Pour tout n∈N,yn+1=(1+h)yn\begin{cases} y_0 =1\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, y_{n+1} = (1+h)y_n \end{cases}{y0​=1Pour tout n∈N,yn+1​=(1+h)yn​​
. 
Soit
h=0,1h=0,1h=0,1
. a.Élaborer une feuille de calcul pour calculer les coordonnées des points à construire comme montré dans la figure suivante.
b.Quelle formule entrer dans la cellule C3 puis recopier vers la droite pour obtenir la ligne 3 ?c.Afficher le nuage des points de coordonnées
(xn;yn)(x_n;y_n)(xn​;yn​)
.d.Modifier la valeur de
hhh
et observer le nuage de points correspondant. Expliquer ce qui se passe lorsque
hhh
est négatif.