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Fonction exponentielle et suites

un nombre réel non nul. La suite 

Sommaire

Fonction exponentielle et suitesFonction exponentielle et suites - Exemple 1Fonction exponentielle et suites - Exemple 2Fonction exponentielle et suites - Exemple 3

Fonction exponentielle et suites

Propriété
Soit
aaa
un nombre réel non nul. La suite 
(un)(u_n)(un​)
 définie pour tout 
nnn
naturel par 
un=enau_n = \text e^{na}un​=ena
est la suite géométrique de premier terme
u0=1u_0 = 1u0​=1
 et de raison 
q=eaq = \text e^aq=ea
.
Démonstration
Pour tout
nnn
naturel,
un+1un=e(n+1)aena=e(n+1)a−na=ea\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\text e^{(n+1)a}}{\text e^{na} }={\text e^{(n+1)a - na}} = \text e^aun​un+1​​=enae(n+1)a​=e(n+1)a−na=ea
. On en déduit que la suite 
(un)(u_n)(un​)
 est géométrique de raison
q=eaq = \text e^aq=ea
 et de premier terme 
u0=e0×a=e0=1u_0 = \text e^{0 \times a} = \text e^0 = 1u0​=e0×a=e0=1
. 
Propriété Variations de la suite \(\boldsymbol{(u_n)}\)
    • La suite 
(un)(u_n)(un​)
est strictement croissante lorsque
a>0a>0a>0
.
    • La suite 
(un)(u_n)(un​)
est strictement décroissante lorsque
a<0a<0a<0
.
Démonstration
(un)(u_n)(un​)
est strictement croissante lorsque sa raison est strictement supérieure à
111
.
Or,
ea>1\text e^a>1ea>1
lorsque
aaa
est strictement positif, d'où le résultat.
On procède de façon analogue pour traiter le cas
(un)(u_n)(un​)
strictement décroissante.
Exemples
1. La suite 
(un)(u_n)(un​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par 
un=e5nu_n = \text e^{5n}un​=e5n
est la suite géométrique de premier terme 
u0=1u_0 = 1u0​=1
 et de raison 
q=e5q = \text e^5q=e5
.
2. La suite 
(un)(u_n)(un​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par 
un=2e3nu_n = \dfrac{2}{\text e^{3n}}un​=e3n2​
est géométrique. En effet, 
un=2e3n=2e−3nu_n = \dfrac{2}{\text e^{3n}} = 2\text e^{-3n}un​=e3n2​=2e−3n
, son premier terme est
u0=2u_0 = 2u0​=2
 et sa raison est 
q=e−3q = \text e^{-3}q=e−3
.
3. La suite 
(un)(u_n)(un​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par 
un=e4−9nu_n = \text e^{4 - 9n}un​=e4−9n
est géométrique. En effet
un=e4−9n=e4e−9nu_n = \text e^{4 - 9n} = \text e^{4 } \text e^{- 9n}un​=e4−9n=e4e−9n
, son premier terme 
u0=e4u_0 = \text e^4u0​=e4
 et sa raison est 
q=e−9q = \text e^{-9}q=e−9
.

Fonction exponentielle et suites - Exemple 1

On veut vérifier si la suite 
(un)(u_n)(un​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par 
un=8e8n+2u_n = 8\text e^{8n + 2}un​=8e8n+2
 est une suite géométrique.
Pour tout 
nnn
naturel, on a
un+1un=8e8(n+1)+28e8n+2=e8n+8+2e8n+2=e8n+10e8n+2=e8n+10−8n−2=e8\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{8\text e^{8(n+1) + 2}}{8\text e^{8n + 2} }= \dfrac{\text e^{8n+8 + 2}}{\text e^{8n + 2} }= \dfrac{\text e^{8n+10}}{\text e^{8n + 2} }=\text e^{8n+10-8n - 2} =\text e^{8}un​un+1​​=8e8n+28e8(n+1)+2​=e8n+2e8n+8+2​=e8n+2e8n+10​=e8n+10−8n−2=e8
.
La suite 
(un)(u_n)(un​)
 est la suite géométrique de raison
q=e8q =\text e^8q=e8
 et de premier terme 
u0=8e8×0+2=8e2u_0 =8 \text e^{8 \times 0 +2} = 8\text e^2u0​=8e8×0+2=8e2
. 

Fonction exponentielle et suites - Exemple 2

On veut vérifier si la suite 
(un)(u_n)(un​)
 définie,pour tout 
nnn
 entier naturel, par 
un=−5e2n−3u_n = \dfrac{-5 }{\text e^{2n - 3}}un​=e2n−3−5​
est géométrique.
Pour tout 
nnn
naturel, on a 
un+1un=−5e2(n+1)−3−5e2n−3=−5e2n+2−3×e2n−3−5=e2n−3e2n−1=e2n−3−2n+1=e−2\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\dfrac{-5 }{\text e^{2(n+1) - 3}}}{ \dfrac{-5 }{\text e^{2n - 3}} }= {\dfrac{-5 }{\text e^{2n+2 - 3}}} \times { \dfrac{\text e^{2n - 3}}{-5} }= \dfrac{\text e^{2n - 3}}{\text e^{2n-1}} = \text e^{2n - 3-2n + 1}= \text e^{-2}un​un+1​​=e2n−3−5​e2(n+1)−3−5​​=e2n+2−3−5​×−5e2n−3​=e2n−1e2n−3​=e2n−3−2n+1=e−2
.
La suite 
(un)(u_n)(un​)
 est la suite géométrique de raison
q=e−2q = \text e^{-2}q=e−2
 et de premier terme
u0=−5e2×0−3=−5e−3=−5e3u_0 = \dfrac{-5 }{\text e^{2 \times 0 - 3}} = \dfrac{-5 }{\text e^{ - 3}} = -5 \text e^3u0​=e2×0−3−5​=e−3−5​=−5e3
. 

Fonction exponentielle et suites - Exemple 3

On veut vérifier si la suite 
(un)(u_n)(un​)
 définie,pour tout 
nnn
 entier naturel, par 
un=−2en2−2n+3u_n = -2\text e^{n^2-2n+3}un​=−2en2−2n+3
est géométrique.
Pour tout
nnn
naturel, on a
un+1un=−2e(n+1)2−2(n+1)+3−2en2−2n+3=en2+2n+1−2n−2+3en2−2n+3=en2+2−(n2−2n+3)un+1un=en2+2−n2+2n−3=e2n−1\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{-2\text e^{(n+1)^2-2(n+1)+3}}{-2 \text e^{n^2-2n+3} }= \dfrac{\text e^{n^2 + 2n + 1-2n-2+3}}{\text e^{n^2-2n+3} }= \text e^{n^2 + 2-(n^2-2n+3)} \\ \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \text e^{n^2 + 2-n^2+2n-3}= \text e^{ 2n-1}un​un+1​​=−2en2−2n+3−2e(n+1)2−2(n+1)+3​=en2−2n+3en2+2n+1−2n−2+3​=en2+2−(n2−2n+3)un​un+1​​=en2+2−n2+2n−3=e2n−1
dont la valeur dépend de
nnn
.
La suite 
(un)(u_n)(un​)
 n'est pas une suite géométrique.