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Composée de l'exponentielle et d'une fonction affine

Cette propriété est une conséquence directe du théorème de dérivation des fonctions dérivables composées...

Sommaire

Dérivée de la composée de l'exponentielle et d'une fonction affineVariations de la composée de l'exponentielle et d'une fonction affine

Dérivée de la composée de l'exponentielle et d'une fonction affine

Propriété
Soit
a,ba,ba,b
deux réels.
La fonction
fff
définie sur
R\mathbb RR
par
f(x)=eax+bf(x)=\text e^{ax+b}f(x)=eax+b
est dérivable sur
R\mathbb RR
et, pour tout
xxx
appartenant à 
R\mathbb RR
,
f′(x)=aeax+bf'(x)=a\text e^{ax+b}f′(x)=aeax+b
.
Idée de la démonstration
Cette propriété est une conséquence directe du théorème de dérivation des fonctions dérivables composées avec une fonction affine vu dans le chapitre « Nombre dérivé ».

Variations de la composée de l'exponentielle et d'une fonction affine

Courbe représentative
Dans un repère orthogonal, on s'intéresse à la fonction 
fff
définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=eax+bf(x) = \text e^{ax+b}f(x)=eax+b
.
Avec le fichier de géométrie dynamique suivant, on peut étudier l'influence des paramètres 
aaa
 et 
bbb
 sur la courbe représentative de 
fff
en faisant varier leurs valeurs à l'aide des curseurs.
Propriétés
    • La fonction
fff
est strictement croissante sur
R\mathbb RR
lorsque
a>0a>0a>0
.
    • La fonction
fff
est strictement décroissante sur
R\mathbb RR
lorsque
a<0a<0a<0
.
Démonstration
La fonction
fff
est dérivable sur 
R\mathbb RR
et, pour tout
xxx
réel,
f′(x)=aeax+bf'(x)=a \text e^{ax+b}f′(x)=aeax+b
.
Soit
y=ax+by=ax+by=ax+b
, on a
ey>0\text e^y>0ey>0
, d'après les propriétés de la fonction exponentielle. Ainsi, le signe de
f′(x)f'(x)f′(x)
est le signe de
aaa
. Le théorème donnant le lien entre le signe de la dérivée sur un intervalle et les variations de la fonction permet de conclure.
Remarque
Lorsque
a=0a=0a=0
,pour tout 
xxx
dans 
R\mathbb RR
, 
f(x)=ebf(x)= \text e^bf(x)=eb
. La fonction
fff
est constante et sa dérivée est nulle.
Exemples
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On étudie les variations de la fonction
ggg
définie sur
R\mathbb RR
par
g(x)=e2x−3g(x)= \text e^{2x-3}g(x)=e2x−3
.
ggg
est dérivable sur
R\mathbb RR
et, pour tout réel
xxx
,
g′(x)=2e2x−3>0g'(x)=2 \text e^{2x-3}>0g′(x)=2e2x−3>0
. La fonction
ggg
est strictement croissante sur\(\mathbb R\).
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On étudie les variations de la fonction
hhh
définie sur
R\mathbb RR
par
h(x)=e−x+4h(x)= \text e^{-x+4}h(x)=e−x+4
.
hhh
est dérivable sur
R\mathbb RR
et, pour tout réel
xxx
,
h′(x)=−e−x+4<0h'(x)=- \text e^{-x+4}<0h′(x)=−e−x+4<0
. La fonction
hhh
est strictement décroissantesur\(\mathbb R\).