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\(A= \dfrac{\text e^6}{\text e^6 + 1} + \dfrac{\text e^{-6}}{\text e^{-6}+1}\)

Sommaire

Calculs avec la fonction exponentielleUn entier déguiséSimplification d'une expression numérique (1)Simplification d'une expression numérique (2)Simplification d'une expression numérique (3)Une égalité (1)Une égalité (2)Une égalité (3)Une propriété algébrique fausse (1)Une propriété algébrique fausse (2)
Résolution d'équations et d'inéquationsRésolution d'équations (1)Résolution d'équations (2)
Résolution d'inéquations (1)
Résolution d'inéquations (2)
Suites géométriquesDes suites géométriques (1)Des suites géométriques (2)Des suites géométriques (3)

Calculs avec la fonction exponentielle

Un entier déguisé

Le réel
A=e6e6+1+e−6e−6+1A= \dfrac{\text e^6}{\text e^6 + 1} + \dfrac{\text e^{-6}}{\text e^{-6}+1}A=e6+1e6​+e−6+1e−6​
est un entier. Lequel ?

Simplification d'une expression numérique (1)

Écrire sous forme d'une seule puissance de
e\text ee
l'expression suivante :
B=e5×(e2)3×(1e4)5B=\text e^5 \times \left(\text e^2\right)^3 \times \left(\dfrac{1}{\text e^4}\right)^5B=e5×(e2)3×(e41​)5
.

Simplification d'une expression numérique (2)

Écrire sous forme d'une seule puissance de
e\text ee
 l'expression suivante : 
C=4e3×e−5(2e−2×e4)2C=\dfrac{4\text e^3 \times \text e^{-5}}{\left(2\text e^{-2} \times \text e^4\right)^2}C=(2e−2×e4)24e3×e−5​
.

Simplification d'une expression numérique (3)

Écrire sous forme d'une seule puissance de 
e\text ee
l'expression suivante :
D=e3e−3+1−1e3+1+1D=\dfrac{\text e^3}{\text e^{-3} + 1} - \dfrac{1}{\text e^3 + 1} + 1D=e−3+1e3​−e3+11​+1
.

Une égalité (1)

Montrer que, pour tout 
xxx
 de 
R\mathbb{R}R
, 
(e2x+e−x)2ex=e3x+2+e−3x\dfrac{(\text e^{2x} + \text e^{-x})^2}{\text e^x} = \text e^{3x} + 2 + \text e^{-3x}ex(e2x+e−x)2​=e3x+2+e−3x
.

Une égalité (2)

Montrer que, pour tout 
xxx
 de 
R\mathbb{R}R
, 
(ex+e−2x)2(e2x−e−x)2=e6x−2+e−6x(\text e^{x} + \text e^{-2x})^2(\text e^{2x} - \text e^{-x})^2=\text e^{6x}-2+\text e^{-6x}(ex+e−2x)2(e2x−e−x)2=e6x−2+e−6x
.

Une égalité (3)

Montrer que, pour tout 
xxx
 de 
R\mathbb{R}R
, 
(e3x−e−3x)(e2x−e−2x)(ex−e−x)e−6x=((e3x)2−1)((e2x)2−1)((ex)2−1)\dfrac{(\text e^{3x} -\text e^{-3x})(\text e^{2x} - \text e^{-2x}) (\text e^{x} - \text e^{-x})}{\text e^{-6x}} =((\text e^{3x})^2-1)((\text e^{2x})^2-1)((\text e^{x})^2-1)e−6x(e3x−e−3x)(e2x−e−2x)(ex−e−x)​=((e3x)2−1)((e2x)2−1)((ex)2−1)
.

Une propriété algébrique fausse (1)

Montrer que l'assertion : « Pour tous réels 
xxx
 et 
yyy
,
ex+y=ex+ey\text e^{x+y} = \text e^x + \text e^yex+y=ex+ey
 » est fausse.
Existent-ils des réels 
xxx
 et 
yyy
pour lesquels elle est vraie ?

Une propriété algébrique fausse (2)

Montrer que l'assertion : « Pour tous réels 
xxx
 et 
yyy
,
ex×y=ex×ey\text e^{x \times y} = \text e^x \times \text e^yex×y=ex×ey
 » est fausse.
Existent-ils des réels 
xxx
 et 
yyy
pour lesquels elle est vraie ?

Résolution d'équations et d'inéquations

Résolution d'équations (1)

Résoudre sur 
\mathbb{R}
 les équations suivantes.
1.
e2x−6=e7x−9\text e^{2x - 6} = \text e^{7x-9}e2x−6=e7x−9
2.
e2−7x=e3x+5\text e^{2 - 7x} = \text e^{3x + 5}e2−7x=e3x+5
3.
ex=e12x+5\text e^{x} = \text e^{12x+5}ex=e12x+5
4.
e7x+3=e\text e^{7x +3} = \text ee7x+3=e

Résolution d'équations (2)

Résoudre sur 
\mathbb{R}
 les équations suivantes.
1.
e2x2−5=e7x2+x−9\text e^{2x^2 - 5} = \text e^{7x^2 + x-9}e2x2−5=e7x2+x−9
2.
ex=e6x2+10\text e^{x} = \text e^{6x^2 + 10}ex=e6x2+10
3.
e12x2−2x+9=e3x2+10x+5\text e^{12x^2 - 2x + 9} = \text e^{3x^2+10 x +5}e12x2−2x+9=e3x2+10x+5
4.
e8x2−6=e−2x2+3x\text e^{8x^2 - 6} = \text e^{-2x^2 + 3x}e8x2−6=e−2x2+3x

Résolution d'inéquations (1)

Résoudre sur 
\mathbb{R}
 les inéquations suivantes.
1.
e2x−6⩾e7x−9\text e^{2x - 6} \geqslant \text e^{7x-9}e2x−6⩾e7x−9
2.
e2−7x−e3x+5<0\text e^{2 - 7x} - \text e^{3x + 5} < 0e2−7x−e3x+5<0
3.
ex>e12x+5\text e^{x} >\text e^{12x+5}ex>e12x+5
4.
e7x+3⩽e\text e^{7x +3}\leqslant \text ee7x+3⩽e

Résolution d'inéquations (2)

Résoudre sur 
\mathbb{R}
 les inéquations suivantes.
1.
e2x2−5⩾e7x2+x−9\text e^{2x^2 - 5} \geqslant \text e^{7x^2 + x-9}e2x2−5⩾e7x2+x−9
2.
ex⩾e6x2+10\text e^{x} \geqslant \text e^{6x^2 + 10}ex⩾e6x2+10
3.
e12x2−2x+9−e3x2+10x+5>0\text e^{12x^2 - 2x + 9} - \text e^{3x^2+10 x +5} > 0e12x2−2x+9−e3x2+10x+5>0
4.
e8x2−6<e−2x2+3x\text e^{8x^2 - 6} < \text e^{-2x^2 + 3x}e8x2−6<e−2x2+3x

Suites géométriques

Des suites géométriques (1)

Parmi les suites définies ici après, indiquer lesquelles sont géométriques et en déterminer leur premier terme et leur raison.
1.La suite 
(un)(u_n)(un​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par 
un=−2enu_n = -2\text e^{n}un​=−2en
.
2.La suite 
(vn)(v_n)(vn​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par
vn=e9ne3v_n = \dfrac{\text e^{9n} }{ \text e^3}vn​=e3e9n​
.
3.La suite 
(wn)(w_n)(wn​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par
wn=ne2nw_n = n\text e^{2n}wn​=ne2n
.
4.La suite 
(tn)(t_n)(tn​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par
tn=(e−3)nt_n = (\text e^{-3})^ntn​=(e−3)n
.

Des suites géométriques (2)

Parmi les suites définies ici après, indiquer lesquelles sont géométriques et en déterminer leur premier terme et leur raison.
1.La suite 
(un)(u_n)(un​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par 
un=6+e8nu_n = 6 + \text e^{8 n}un​=6+e8n
.
2.La suite 
(vn)(v_n)(vn​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par
vn=12env_n = \dfrac{1 }{ 2\text e^{n}}vn​=2en1​
.
3.La suite 
(wn)(w_n)(wn​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par
wn=8ne7+1,2nw_n = 8^n\text e^{7+1,2n}wn​=8ne7+1,2n
.
4.La suite 
(tn)(t_n)(tn​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par
tn=e5nt_n = \dfrac{\text e^{5}}{n}tn​=ne5​
.

Des suites géométriques (3)

Parmi les suites définies ici après, indiquer lesquelles sont géométriques et en déterminer leur premier terme et leur raison.
1.La suite 
(un)(u_n)(un​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par
un=e1nu_n = \text e^{\frac{1}{n}}un​=en1​
.
2.La suite 
(vn)(v_n)(vn​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par
vn=e3nenene−4n+2v_n = \dfrac{\text e^{3n} \text e^{n} }{ \text e^{n}\text e^{-4n + 2}}vn​=ene−4n+2e3nen​
.
3.La suite 
(wn)(w_n)(wn​)
définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par
wn=(en)nw_n = (\text e^{n})^nwn​=(en)n
.
4.La suite 
(tn)(t_n)(tn​)
 définie, pour tout 
nnn
 entier naturel, par
tn=e6n+3+3n+5t_n = {\text e^{6n+3}} + 3n + 5tn​=e6n+3+3n+5
.