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Exercices d'entraînement

L'objectif de cet exercice est de démontrer l'inégalité suivante. Pour tout

Sommaire

* Une inégalité classique* Résolution d'équations (1)** Résolution d'équations (2)** Résolution d'inéquations (1)* Tableau de variations (1)* Associer une fonction à sa courbe représentative (1)* Associer une fonction à sa courbe représentative (2)
** Résolution d'équations avec changement de variable** Tableau de variations (2)** Tableau de variations (3)** Associer une fonction à sa courbe représentative (3)** Calcul de dérivée
*** Résolution d'inéquations (2)

* Une inégalité classique

L'objectif de cet exercice est de démontrer l'inégalité suivante. Pour tout
xxx
appartenant à
R\mathbb RR
,
ex⩾x+1\text e^x\geqslant x+1ex⩾x+1
.
1.Expliquer pourquoi la démonstration demandée est équivalente à démontrer que la fonction 
ggg
définie sur 
R\mathbb RR
par 
g(x)=ex−x−1g(x)=\text e^x-x-1g(x)=ex−x−1
est positive sur
R\mathbb RR
.
2.Après avoir justifié que
ggg
est dérivable sur 
R\mathbb RR
, dresser son tableau de variations.
3.En s'appuyant sur le tableau de variations de
ggg
, démontrer l'inégalité objet de l'exercice. Pour quelle valeur de
xxx
a-t-on l'égalité ?

* Résolution d'équations (1)

Résoudre sur 
R\mathbb{R}R
 les équations suivantes.
1.
exe3x=e−3e8x\text e^x \text e^{3x} = \text e^{-3}\text e^{8x}exe3x=e−3e8x
2.
ee5−2x=e4x+3e1−x\text e \text e^{5 - 2x} = \text e^{4x + 3}\text e^{1 - x}ee5−2x=e4x+3e1−x
3.
e2x+3e−3=1e4x\dfrac{\text e^{2x + 3 }}{\text e^{-3}} = \dfrac{1}{\text e^{4x}}e−3e2x+3​=e4x1​
4.
e5x−2e7x+3=(e5x)3\dfrac{\text e^{5x - 2 }}{\text e^{7x + 3}} = (\text e^{5x})^3e7x+3e5x−2​=(e5x)3

** Résolution d'équations (2)

Résoudre sur 
R\mathbb{R}R
 les équations suivantes.
1.
e3x2e3x=e3e8x+2\text e^{3x^2} \text e^{3x} = \text e^{3}\text e^{8x+2}e3x2e3x=e3e8x+2
2.
e5,5e5x2−2x=e4x+3e1−x2\text e^{5,5} \text e^{5x^2 - 2x} = \text e^{4x + 3}\text e^{1 - x^2}e5,5e5x2−2x=e4x+3e1−x2
3.
e2x−4e−3x2e6x=e−xe4x\dfrac{\text e^{2x -4 }}{\text e^{-3x^2}\text e^{6x}} = \dfrac{\text e^{-x}}{\text e^{4x}}e−3x2e6xe2x−4​=e4xe−x​
4.
e5x2+6x−2ex2+7x=(e−2x)4\dfrac{\text e^{5x^2 + 6x - 2 }}{\text e^{x^2 + 7x}} = (\text e^{-2x})^4ex2+7xe5x2+6x−2​=(e−2x)4

** Résolution d'inéquations (1)

Résoudre sur 
R\mathbb{R}R
 les inéquations suivantes.
1.
exe3x⩾e−3e8x\text e^x \text e^{3x} \geqslant \text e^{-3}\text e^{8x}exe3x⩾e−3e8x
2.
ee5−2x<e4x+3e1−x\text e \text e^{5 - 2x} < \text e^{4x + 3}\text e^{1 - x}ee5−2x<e4x+3e1−x
3.
e2x+3e−3>1e4x\dfrac{\text e^{2x + 3 }}{\text e^{-3}} > \dfrac{1}{\text e^{4x}}e−3e2x+3​>e4x1​
4.
e5x−2e7x+3⩽(e5x)3\dfrac{\text e^{5x - 2 }}{\text e^{7x + 3}} \leqslant (\text e^{5x})^3e7x+3e5x−2​⩽(e5x)3

* Tableau de variations (1)

Déterminer le tableau de variations de la fonction 
fff
 définie sur 
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=xexf(x) = x\text e^xf(x)=xex
.

* Associer une fonction à sa courbe représentative (1)

On considère les fonctions
f1f_1f1​
,
f2f_2f2​
,
f3f_3f3​
,
f4f_4f4​
 et
f5f_5f5​
 définies sur 
R\mathbb{R}R
 par
f1(x)=e0,6xf_1(x) = \text e^{0,6x}f1​(x)=e0,6x
f2(x)=e−xf_2(x) = \text e^{-x}f2​(x)=e−x
f3(x)=e−3xf_3(x) = \text e^{-3x}f3​(x)=e−3x
f4(x)=e3xf_4(x) = \text e^{3x}f4​(x)=e3x
f5(x)=e−0,2xf_5(x) = \text e^{-0,2x}f5​(x)=e−0,2x
La figure suivante montre les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthonormé. 
Associer chaque fonction à sa courbe représentative en justifiant le choix.
Conseil
Commencer par distinguer les fonctions croissantes de celles décroissantes sur 
R\mathbb RR
. Puis, pour deux fonctions données, de mêmes variations,
fif_ifi​
et
fjf_jfj​
, déterminer les positions relatives de leurs courbes représentatives en étudiant le signe de la différence
d(x)=fi(x)−fj(x)d(x)=f_i(x)-f_j(x)d(x)=fi​(x)−fj​(x)
.

* Associer une fonction à sa courbe représentative (2)

On considère les fonctions
f1f_1f1​
,
f2f_2f2​
,
f3f_3f3​
 et 
f4f_4f4​
 définies sur 
R\mathbb{R}R
 par
f1(x)=−2exf_1(x) = -2 \text e^{x}f1​(x)=−2ex
f2(x)=−exf_2(x) = -\text e^{x}f2​(x)=−ex
f3(x)=0,5exf_3(x) =0,5 \text e^{x}f3​(x)=0,5ex
f4(x)=5exf_4(x) = 5\text e^{x}f4​(x)=5ex
La figure suivante montre les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthonormé. 
Associer chaque fonction à sa courbe représentative en justifiant le choix.

** Résolution d'équations avec changement de variable

1. En procédant au changement de variable
X=exX = \text e^xX=ex
, résoudre sur 
R\mathbb{R}R
 l'équation
e2x−2ex+1=0\text e^{2x} -2\text e^x + 1 = 0e2x−2ex+1=0
.
2.a.En utilisant une identité remarquable, factoriser
A=e14−2e8+e2A=\text e^{14} - 2\text e^8 + \text e^2A=e14−2e8+e2
.b.Utiliser cette information pour résoudre l'équation 
e2x−ex(e7+e)+e8=0\text e^{2x} -\text e^x(\text e^7 + \text e) + \text e^8 = 0e2x−ex(e7+e)+e8=0
. On pourra utiliser le changement de variable :
X=exX = \text e^xX=ex
.

** Tableau de variations (2)

On considère la fonction 
fff
 définie sur 
R∗\mathbb{R}^*R∗
 par
f(x)=exxf(x) = \dfrac{\text e^x}{x}f(x)=xex​
et dérivable sur chacun des intervalles
]−∞;0[∪]0;+∞[]-\infty; 0[\cup]0;+\infty[]−∞;0[∪]0;+∞[
.
Construire le tableau de variations de la fonction 
fff
 sur 
R∗\mathbb{R}^*R∗
.

** Tableau de variations (3)

On considère la fonction 
fff
 définie sur 
R∗\mathbb{R}^*R∗
 par
f(x)=−2xexf(x) = \dfrac{-2}{x\text e^x}f(x)=xex−2​
et dérivable sur chacun des intervalles
]−∞;0[∪]0;+∞[]-\infty; 0[\cup]0;+\infty[]−∞;0[∪]0;+∞[
.
Construire le tableau de variations de la fonction 
fff
 sur 
R∗\mathbb{R}^*R∗
.

** Associer une fonction à sa courbe représentative (3)

On considère les fonctions
f1f_1f1​
,
f2f_2f2​
,
f3f_3f3​
 et 
f4f_4f4​
 définies sur 
R\mathbb{R}R
 par
f1(x)=0,1e5xf_1(x) = 0,1 \text e^{5x}f1​(x)=0,1e5x
f2(x)=10exf_2(x) = 10 \text e^{x}f2​(x)=10ex
f3(x)=e2xf_3(x) = \text e^{2x}f3​(x)=e2x
f4(x)=e0,2xf_4(x) = \text e^{0,2x}f4​(x)=e0,2x
La figure suivante montre les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthonormé. 
Associer chaque fonction à sa courbe représentative en justifiant le choix.

** Calcul de dérivée

Soit
a∈Ra \in \mathbb{R}a∈R
.
Soit
fff
 la fonction définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=(ax−14)e2xf(x) = \left(ax - \dfrac{1}{4}\right) \text e^{2x}f(x)=(ax−41​)e2x
.
1.Justifier que
fff
est dérivable sur 
R\mathbb{R}R
.
2.Pour quelle valeur de
aaa
la dérivée de 
fff
 s'écrit-elle, pour tout
x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R
, 
f′(x)=xe2xf'(x) = x\text e^{2x}f′(x)=xe2x
?

*** Résolution d'inéquations (2)

Résoudre sur 
R\mathbb{R}R
 les inéquations suivantes.
1.
e3x2e3x>e3e8x+2\text e^{3x^2} \text e^{3x} >\text e^{3}\text e^{8x+2}e3x2e3x>e3e8x+2
2.
e5,5e5x2−2x⩾e4x+3e1−x2\text e^{5,5} \text e^{5x^2 - 2x} \geqslant \text e^{4x + 3}\text e^{1 - x^2}e5,5e5x2−2x⩾e4x+3e1−x2
3.
e2x−4e−3x2e6x⩽e−xe4x\dfrac{\text e^{2x -4 }}{\text e^{-3x^2}\text e^{6x}} \leqslant \dfrac{\text e^{-x}}{e^{4x}}e−3x2e6xe2x−4​⩽e4xe−x​
4.
e5x2+6x−2ex2+7x<(e−2x)4\dfrac{\text e^{5x^2 + 6x - 2 }}{\text e^{x^2 + 7x}} < (\text e^{-2x})^4ex2+7xe5x2+6x−2​<(e−2x)4