Luca a préparé des lasagnes et les a fait cuire dans un four chauffé à
°C.
Il les sort du four et les pose sur le comptoir de sa cuisine pour les faire refroidir avant de les servir à ses invités une demie heure plus tard.
On modélise la température du plat en fonction du temps par la fonction
définie sur l'intervalle
par
. Ainsi,
représente la température du plat, en degrés Celsius, au bout de\(t\)heures après la sortie du four.
1. Conjecturer le sens de variation de la fonction
.
2.Quelle est l'image de 0 par
? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
3.Déterminer les variations de la fonction
sur l'intervalle
. Est-ce en accord avec la conjecture de la question 1 ?
4. Au-delà de 30 °C, le plat est trop chaud pour Marianne. Pourra-t-elle manger les lasagnes de Luca, une demie heure après leur sortie du four ?
Loi de refroidissement de Newton
La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d’évolution de la température d’un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant.
Une tasse de café est servie à une température initiale de
°C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée
T
.
Le but de cet exercice est d’étudier un cas particulier du refroidissement du café en appliquant la loi de Newton.
Pour tout réel
positif ou nul, on note
la température du café à l’instant
, avec
exprimé en degré Celsius et
en minute.
Dans ce modèle, on suppose que
est une fonction dérivable sur l’intervalle
et que, pour tout réel
de cet intervalle, la loi de Newton se modélise par :
.
Remarque
On note également
notamment en sciences expérimentales.
Dans cet exercice, on se restreint au cas particulier où
.
1.D'après l'énoncé, que vaut
?
On cherche une fonction
dérivable sur l’intervalle
vérifiant la condition initiale trouvée dans la question1.et, pour tout réel
de cet intervalle :
.
2. Soit
une telle fonction. On définit, pour tout
de l’intervalle
, la fonction
par
. Montrer que la fonction
est dérivable sur
et que, pour tout réel
de cet intervalle,
.
3.En conservant l’hypothèse de la question précédente, calculer
. En déduire, pour tout
de l’intervalle
, une expression de
, puis de
.
4.Vérifier que la fonction
trouvée à la question3.est solution du problème.
Sujet adapté du baccalauréat Asie juin 2019
Taux d'alcool
On appelle « alcoolémie » le taux d’alcool pur dans le sang mesuré en grammes par litre (g/L).
On considère un individu dont le taux d'alcool en fonction du temps
écoulé depuis l’absorption d’alcool est modélisé par la fonction
, définie sur
, par
;
est exprimé en heures.
1.Déterminer l'alcoolémie de l’individu au bout de 2 h 30, puis au bout de 4 h 45.
2.Déterminer au bout de combien de temps l’individu aura atteint son pic d’alcoolémie. Quel sera alors son taux d’alcool dans le sang ?
3.Le code de la route en vigueur tolère la conduite automobile avec une alcoolémie d’au maximum
g/L. À l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien de temps, depuis l'absorption, l’individu pourra prendre sa voiture sans être en infraction.
Fonctions hyperboliques
On appelle respectivement sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique les fonctions sinh et cosh définies sur
par :
et
.
1.Établir, pour tout
réel,
et
.
2.Montrer que, pour tout
réel,
.
3.Montrer que, pour tout
réel,
.
4.Sachant que la fonction tangente hyperbolique définie sur
est\(\tanh(x) = \dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\), déterminer son expression en fonction de
.
Sous-tangente à la courbe de la fonction exponentielle
Soit
une fonction définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle
. Dans cet exercice nous ajoutons l'hypothèse que
est strictement croissante sur
.
Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit
la tangente au point
à la courbe représentative de
. Soit
le point d'intersection entre la tangente
et l'axe des abscisses. Enfin, soit
le projeté orthogonal de
sur l'axe des abscisses.
On appelle sous-tangente à la courbe représentative de la fonction
le segment
.
L'objectif de cet exercice est d'étudier la sous-tangente de la fonction exponentielle.
Partie A - Conjecture
Dans le fichier de géométrie dynamique, on a représenté, en vert, la courbe représentative de la fonction exponentielle et, en bleu, la tangente
à la courbe au point
. La sous-tangente est le segment coloré en rouge.
1.En déplaçant le point
sur la courbe de la fonction exponentielle, conjecturer une propriété de la sous-tangente à cette courbe.
2.Quelle semble être la longueur
?
Partie B - Un cas particulier
1.Soit
. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point
.
2.Donner les coordonnées de
puis calculer les coordonnées de
.
3.Calculer la longueur du segment
.
Partie C - cas général
Soit
l'abscisse de
. En suivant le déroulé proposé dans la partie B, démontrer que, quel que soit le réel
,
.
Histoire des mathématiques
En 1638, le mathématicien amateur Florimond de Beaune pose le problème suivant à Descartes : « Trouver une courbe dont la sous-tangente est constante en tout point. » Le problème que nous venons de traiter montre une solution particulière à ce problème.