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Exercices type BAC

Une entreprise vend des smartphones d'un seul modèle « haut de gamme ».

Sommaire

Smartphones « haut de gamme »Une entreprise d'aéronautiqueTangente à une courbeÉtude de fonctionConcentration d'un médicamentUne étude de fonctionAvec une fonction auxiliaireLecture graphiqueCalcul de dérivée et équation d'une tangenteTangente à une courbePuissance d'une note musicaleUn coût totalUne étude de fonction

Smartphones « haut de gamme »

Une entreprise vend des smartphones d'un seul modèle « haut de gamme ».
Le service marketing modélise le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus par trimestre en fonction du prix de vente
x
 par la fonction
N
 définie par 
N(x)=100e−2xN(x) = 100\text e^{-2x}N(x)=100e−2x
 où :
xxx
 est le prix de vente en milliers d'euros d'un smartphone modèle « haut de gamme ».Le prix du smartphone modèle « haut de gamme » est compris entre 400 € et 2 000 €. On a donc
x∈[0,4 ; 2]x \in [0,4~;~2]x∈[0,4 ; 2]
.
N(x)N(x)N(x)
 est le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus trimestriellement en millions d'unités.
1.Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone modèle « haut de gamme » à 1 000 €, quel sera le nombre de smartphones vendus trimestriellement ? On arrondira le résultat à mille unités.
La recette trimestrielle
R(x)R(x)R(x)
 est obtenue en multipliant le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus par le prix de vente.
On obtient
R(x)=x×N(x)R(x) = x \times N(x)R(x)=x×N(x)
 en milliards d'euros.
Le coût de production en milliards d'euros en fonction du nombre de smartphones modèle « haut de gamme » fabriqués est modélisé par la fonction
CCC
 définie par
C(x)=0,4×N(x)C(x) = 0,4 \times N(x)C(x)=0,4×N(x)
 où
xxx
 est le prix de vente en milliers d'euros.
Le bénéfice est obtenu en calculant la différence entre la recette et le coût de production.
2.Vérifier que le bénéfice trimestriel peut être estimé à
8,1208,1208,120
 milliards d'euros pour un prix de vente à 1 000 €.
3.Montrer que le bénéfice trimestriel s'exprime en milliards d'euros en fonction du prix de vente
xxx
 en milliers d'euros par : 
B(x)=(100x−40)e−2xB(x) = (100x - 40) \text e^{-2x}B(x)=(100x−40)e−2x
.
4.On admet que, pour tout réel
x∈[0,4 ; 2], B′(x)=(180−200x)e−2xx \in [0,4~;~2],\: B'(x) = (180 - 200x )\text e^{-2x}x∈[0,4 ; 2],B′(x)=(180−200x)e−2x
.
Étudier les variations de la fonction
BBB
 sur l'intervalle
[0,4 ; 2][0,4~;~2][0,4 ; 2]
.
5.À quel prix faut-il vendre ces smartphones pour assurer un bénéfice maximal ?

Une entreprise d'aéronautique

Une entreprise fabrique des pièces en acier, toutes identiques, pour l’industrie aéronautique. Ces pièces sont coulées dans des moules à la sortie du four. Elles sont stockées dans un entrepôt dont la température ambiante est maintenue à 25 °C.
Ces pièces peuvent être modelées dès que leur température devient inférieure ou égale à 600 °C et on peut les travailler tant que leur température reste supérieure ou égale à 500 °C.
La température de ces pièces varie en fonction du temps.
On admet que la température en degré Celsius de ces pièces peut être modélisée par la fonction
fff
 définie sur l’intervalle
[0;+∞[[0 ; +\infty[[0;+∞[
 par : 
f(t)=1 375e−0,075t+25f(t) = 1\,375 \text e^{-0,075t} + 25f(t)=1375e−0,075t+25
 où
ttt
 correspond au temps, exprimé en heures, mesuré après la sortie du four.
1.Calculer la température des pièces à la sortie du four.
2.Étudier le sens de variation de la fonction
fff
 sur l’intervalle
[0;+∞[[0 ; +\infty[[0;+∞[
.
Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice ?
3.Les pièces peuvent-elles être modelées 10 heures après la sortie du four ? Après 14 heures ?
4.On souhaite déterminer le temps minimum d’attente en heures après la sortie du four avant de pouvoir modeler les pièces.a.Compléter l’algorithme donné ci-dessous pour qu’il renvoie ce temps minimum d’attente en heure (arrondi par excès à 0,1 près).
from math import expdef f(t):return 1375*exp (-0.075 t)+25def seuil():t=…………temperature=…………while temperature >=…t=t+0.1temperature=…return t\begin{array}{}\texttt{from math import exp} \\\texttt{def}\, \texttt{f(t):} \\\qquad\texttt{return 1375*exp (-0.075 t)+25}\\\texttt{def}\, \texttt{seuil():}\\\qquad\texttt{t=}\dots\ldots\ldots\ldots\\\qquad\texttt{temperature=}\dots\ldots\ldots\ldots\\\qquad\texttt{while temperature >=}\ldots\\\qquad\quad\texttt{t=t+0.1}\\\qquad\quad\texttt{temperature=}\dots\\\qquad\texttt{return t}\end{array}from math import expdeff(t):return 1375*exp (-0.075 t)+25defseuil():t=…………temperature=…………while temperature >=…t=t+0.1temperature=…return t​
b.Déterminer ce temps minimum d’attente. On arrondira au dixième.

Tangente à une courbe

On considère la fonction
fff
 définie sur 
[0  ;  +∞[\left[0 \; ; \; +\infty\right[[0;+∞[
 par
f(x)=ex1+xf(x) = \dfrac{\text e^x}{1 + x}f(x)=1+xex​
.
On note 
Cf\mathcal{C}_fCf​
 la représentation graphique de 
fff
 dans un repère du plan.
1.Déterminer les coordonnées du point
A\text AA
, point d’intersection de la courbe 
Cf\mathcal{C}_fCf​
 avec l’axe des ordonnées.
2.La courbe 
Cf\mathcal{C}_fCf​
 coupe-t-elle l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.
3.On note 
f′f'f′
 la dérivée de la fonction 
fff
 sur 
[0  ;  +∞[\left[0 \; ; \; +\infty\right[[0;+∞[
. Montrer que, pour tout réel 
xxx
 de l’intervalle 
[0  ;  +∞[\left[0 \; ; \; +\infty\right[[0;+∞[
, 
f′(x)=xex(1+x)2f'(x) = \dfrac{x\text e^x}{\left(1 + x\right)^2}f′(x)=(1+x)2xex​
.
4.Étudier le signe de 
fff
 sur 
[0  ;  +∞[\left[0 \; ; \; +\infty\right[[0;+∞[
. En déduire le sens de variation de 
fff
 sur 
[0  ;  +∞[\left[0 \; ; \; +\infty\right[[0;+∞[
.
5.On note 
T\mathcal{T}T
 la tangente à 
Cf\mathcal{C}_fCf​
 au point 
B\text BB
 d’abscisse
1,61,61,6
. La tangente 
T\mathcal{T}T
 passe-telle par l’origine du repère ? Justifier la réponse.

Étude de fonction

On considère une fonction
fff
 définie et dérivable sur l’intervalle
[−4 ; 2][-4~;~2][−4 ; 2]
.
La fonction dérivée de
fff
 est notée
f′f'f′
.
Dans le repère orthonormé ci-dessous, la courbe
C\mathcal{C}C
 est la courbe représentative de
fff
 sur l’intervalle
[−4 ; 2][-4~;~2][−4 ; 2]
.
Le point
A\text AA
 est le point de la courbe
C\mathcal{C}C
 d’abscisse
−1- 1−1
.
La droite
T\mathcal{T}T
 est la tangente à la courbe
C\mathcal{C}C
 en
A\text AA
.
1.Par lecture graphique, donner la valeur de
f′(−1)f'(-1)f′(−1)
.
2.Résoudre, graphiquement, l’inéquation
f′(x)⩽0f'(x)\leqslant 0f′(x)⩽0
.
On admet que la fonction 
fff
 est définie sur
[−4 ; 2][-4~;~2][−4 ; 2]
 par
f(x)=(−x2+2,5x−1)exf(x)=(-x^2 + 2,5x-1)\text e^xf(x)=(−x2+2,5x−1)ex
.
3.Vérifier que, pour tout réel 
xxx
de l’intervalle 
[−4 ; 2][-4~;~2][−4 ; 2]
, 
f′(x)=(−x2+0,5x+1,5)exf'(x)= (- x^2 + 0,5x + 1,5)\text e^xf′(x)=(−x2+0,5x+1,5)ex
.
4.Étudier le signe de la fonction 
f′f'f′
sur l’intervalle 
[−4 ; 2][-4~;~2][−4 ; 2]
.
5.En déduire les variations de
fff
sur l’intervalle
[−4 ; 2][-4~;~2][−4 ; 2]
.

Concentration d'un médicament

La concentration d’un médicament dans le sang en mg.L
−1^{-1}−1
 au cours du temps
ttt
, exprimé en heure, est modélisée par la fonction
fff
 définie sur
[0 ; +∞[[0~;~+ \infty[[0 ; +∞[
 par 
f(t)=te−0,5tf(t) = t\text e^{-0,5t}f(t)=te−0,5t
 dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
1.Calculer la valeur exacte de
f(4)f(4)f(4)
 et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
2.On note
f′f'f′
 la fonction dérivée de
fff
. Montrer que, pour tout
t∈[0 ; +∞[t\in [0~;~+\infty[t∈[0 ; +∞[
,
f′(t)=(1−0,5t)e−0,5tf'(t) = (1 - 0,5t)\text e^{-0,5t}f′(t)=(1−0,5t)e−0,5t
.
3.Étudier le signe de
f′(t)f'(t)f′(t)
 sur
[0 ; +∞[[0~;~+ \infty[[0 ; +∞[
.
4.Déduire de la question précédente le tableau de variations de la fonction 
fff
 sur
[0 ; +∞[[0~;~+ \infty[[0 ; +∞[
.
5.Quelle est la concentration maximale du médicament dans le sang ? On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à
10−210^{-2}10−2
 près.

Une étude de fonction

Soit
fff
 la fonction définie sur
R\mathbb{R}R
 par : 
f(x)=(5−2x)exf(x) = (5 - 2x)\text e^xf(x)=(5−2x)ex
.
On note
C\mathcal{C}C
 la courbe représentative de
fff
. Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe
C\mathcal{C}C
 dans un repère orthogonal où les unités ont été effacées.
A\text AA
 est le point d’intersection de
C\mathcal{C}C
 avec l’axe des ordonnées et
B\text BB
 le point d’intersection de
C\mathcal{C}C
 avec l’axe des abscisses. 
D\text DD
 est le point de
C\mathcal{C}C
 dont l’ordonnée est le maximum de la fonction
fff
 sur 
R\mathbb{R}R
.
1.Calculer les coordonnées des points
A\text AA
 et
B\text BB
.
2.Soit
f′f'f′
 la fonction dérivée de
fff
 sur
R\mathbb{R}R
. Montrer que, pour tout réel
xxx
, 
f′(x)=(3−2x)exf'(x) = (3 - 2x)\text e^xf′(x)=(3−2x)ex
.
3.Étudier le sens de variation de la fonction
fff
.
4.En déduire que le point
D\text DD
 admet comme coordonnées
(1,5 ; 2e1,5)\left(1,5~;~2\text e^{1,5}\right)(1,5 ; 2e1,5)
.
5.Déterminer une équation de la tangente à la courbe
C\mathcal{C}C
 au point
A\text AA
, puis vérifier, à l’aide de l’équation obtenue, que le point
D\text DD
 n’appartient pas à cette tangente.

Avec une fonction auxiliaire

Soit
g
 la fonction définie sur l'intervalle
[−5  ;  5]\left[-5 \; ; \; 5\right][−5;5]
 par
g(x)=ex−x+1g(x)=\text e^x-x+1g(x)=ex−x+1
.
1.On admet que
ggg
 est dérivable sur l'intervalle
[−5  ;  5]\left[-5 \; ; \; 5\right][−5;5]
 et on note
g′g'g′
 sa fonction dérivée. Calculer
g′(x)g'(x)g′(x)
.
2.Étudier les variations de la fonction
ggg
 sur l'intervalle
[−5  ;  5]\left[-5 \; ; \; 5\right][−5;5]
.
3.Démontrer que
ggg
 est strictement positive sur
[−5  ;  5]\left[-5 \; ; \; 5\right][−5;5]
, c'est-à-dire que, pour tout 
x∈[−5  ;  5],g(x)>0.x\in\left[-5 \; ; \; 5\right], g(x)>0.x∈[−5;5],g(x)>0.
Soit
fff
 la fonction définie sur
[−5  ;  5]\left[-5 \; ; \; 5\right][−5;5]
 par 
f(x)=x+1+xexf(x)=x +1+\dfrac{x}{\text e^x}f(x)=x+1+exx​
.
On appelle
Cf\mathcal{C}_fCf​
 sa courbe représentative dans un repère du plan. On admet que
fff
 est dérivable sur l'intervalle
[−5  ;  5]\left[-5 \; ; \; 5\right][−5;5]
 et on note
f′f'f′
 sa fonction dérivée.
4.Démontrer que, pour tout réel
xxx
 de 
[−5  ;  5]\left[-5 \; ; \; 5\right][−5;5]
, 
f′(x)=1ex×g(x).f'(x)=\dfrac{1}{\text e^x}\times g(x).f′(x)=ex1​×g(x).
 En déduire les variations de
fff
 sur l'intervalle
[−5  ;  5]\left[-5 \; ; \; 5\right][−5;5]
.
5.Déterminer une équation de la tangente à
Cf\mathcal{C}_fCf​
 au point d'abscisse 
000
.

Lecture graphique

Dans le repère orthogonal suivant on a tracé quatre courbes, chacune associée à une fonction de variable réelle
xxx
 et d'expression
eλx\text e^{\lambda x}eλx
 où
λ\lambdaλ
 est un paramètre réel. Quelle courbe possède le plus petit paramètre
λ\lambdaλ
 ?

Calcul de dérivée et équation d'une tangente

Soit
fff
 la fonction définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=(x2−2,5x+1)exf(x)=(x^2-2,5x+1) \text e^xf(x)=(x2−2,5x+1)ex
.
1.On note
f′f'f′
 la fonction dérivée de
fff
.a.Montrer que, pour tout réel
xxx
,
f′(x)=(x2−0,5x−1,5)exf'(x)=(x^2-0,5x-1,5)\text e^xf′(x)=(x2−0,5x−1,5)ex
.b.Étudier les variations de
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.
2.On note
Cf\mathcal{C}_fCf​
 la courbe représentative dans un repère et
T\mathcal{T}T
 la tangente à
Cf\mathcal{C}_fCf​
 de la fonction
fff
 au point A d’abscisse
000
.a.Déterminer une équation de la tangente
T\mathcal{T}T
.b.On admet que la tangente
T\mathcal{T}T
 recoupe la courbe
Cf\mathcal{C}_fCf​
 au point P d’abscisse
aaa
 strictement positive. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de
aaa
 au dixième près.

Tangente à une courbe

Soit
fff
 la fonction définie sur l’intervalle
[0 ; 10][0~;~10][0 ; 10]
par : 
f(x)=60xe−0,5xf(x)= 60x \text e^{- 0,5x}f(x)=60xe−0,5x
. La fonction dérivée de la fonction
fff
 est notée
f′f'f′
.
1.Démontrer que, pour tout réel
xxx
,
f′(x)=−30(x−2)e−0,5xf'(x) = - 30(x - 2)\text e^{-0,5x}f′(x)=−30(x−2)e−0,5x
.
2.Déterminer le signe de
f′(x)f'(x)f′(x)
 sur l’intervalle
[0 ; 10][0~;~10][0 ; 10]
.
3.Établir le tableau de variations de la fonction
fff
 sur l’intervalle
[0 ; 10][0~;~10][0 ; 10]
. Indiquer dans ce tableau les valeurs exactes des extremums.
4.Quelles sont les coordonnées du point en lequel la tangente à la courbe représentative de la fonction
fff
 est parallèle à l’axe des abscisses ?
5.Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction
fff
 au point d’abscisse
000
.

Puissance d'une note musicale

Une note de musique est émise en pinçant la corde d’une guitare électrique. La puissance du son émis, initialement de
120120120
 watts, diminue en fonction du temps écoulé après pincement de la corde.
Soit
fff
 la fonction définie pour tout réel
t⩾0t\geqslant 0t⩾0
 par : 
f(t)=120e−0,14tf(t)= 120\text e^{-0,14t}f(t)=120e−0,14t
.
On admet que
f(t)f(t)f(t)
 modélise la puissance du son, exprimée en watts, à l’instant
ttt
 où
ttt
 est le temps écoulé, exprimé en secondes, après pincement de la corde.
On désigne par
f′f'f′
 la fonction dérivée de 
fff
.
1.Calculer
f′(t)f'(t)f′(t)
.
2.Dresser le tableau de variations de la fonction
fff
 sur
[0;+∞[[0 ; +\infty[[0;+∞[
 et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
3.Quelle sera la puissance du son, trois secondes après avoir pincé la corde ? Arrondir au dixième.
4.On considère la fonction seuil ci-dessous :
def seuil () :t=0puissance=120while puissance >= 60:t=t+0.1puisance=120*exp(-0,14*t) return t\begin{array}{}\texttt{def seuil () :} \\\quad\texttt{t=0}\\\quad\texttt{puissance=120}\\\quad\texttt{while puissance}\,\texttt{>=}\,\texttt{60}\texttt{:}\\\qquad\texttt{t=t+0.1}\\\qquad\texttt{puisance=120*exp(-0,14*t) }\\\quad\texttt{return t}\end{array}def seuil () :t=0puissance=120while puissance>=60:t=t+0.1puisance=120*exp(-0,14*t) return t​
Que renvoie cette fonction seuil ?

Un coût total

Une entreprise fabrique chaque jour
x
 tonnes d'un produit. Le coût total mensuel, en milliers d'euros, pour produire chaque jour
x
 tonnes de ce produit est modélisé par la fonction
C
 définie sur l'intervalle [0 ; 10] par : 
C(x)=(5x−2)e−0,2x+2C(x) = (5x - 2)\text e^{-0,2x} + 2C(x)=(5x−2)e−0,2x+2
.
On a représenté ci-dessous la courbe
CC\mathcal{C}_CCC​
 de la fonction
C
 dans un repère.
1.Par lecture graphique, donner une estimation de la quantité journalière de produit pour laquelle le coût total mensuel est maximal.
2.Le coût marginal
CmC_mCm​
, qui correspond au supplément de coût total pour la production d'une unité de valeur supplémentaire, est assimilé à la dérivée de la fonction coût total.a.Démontrer que le coût marginal
CmC_mCm​
 est défini sur l'intervalle
[0 ; 10][0~;~10][0 ; 10]
par 
Cm(x)=(−x+5,4)e−0,2xC_m(x) = (-x + 5,4)\text e^{-0,2x}Cm​(x)=(−x+5,4)e−0,2x
.b.Pour quelle quantité de produit fabriqué par jour le coût marginal est-il négatif ?c.Donner le tableau de variations de la fonction
CCC
 sur l'intervalle
[0 ; 10][0~;~10][0 ; 10]
.d.Déterminer le coût total mensuel maximal sur l'intervalle considéré. On donnera la valeur arrondie à l'euro près.

Une étude de fonction

On considère la fonction
f
 définie et dérivable sur
\mathbb{R}
 par 
f(x)=(ax+b)e−0,1xf(x) = (ax + b)\text e^{-0,1x}f(x)=(ax+b)e−0,1x
 où
a
 et
b
 sont des réels fixés.
La courbe représentative
Cf\mathcal{C}_fCf​
 de la fonction
f
 est donnée ci-dessous, dans un repère orthogonal.
On a également représenté la tangente
T\mathcal{T}T
 à
Cf\mathcal{C}_fCf​
 au point
A(0 ; 5)\text A(0~;~5)A(0 ; 5)
.
On admet que cette tangente
T\mathcal{T}T
 passe par le point
B(4 ; 19)\text B(4~;~19)B(4 ; 19)
.
1.En exprimant
f(0)f(0)f(0)
, déterminer la valeur de
bbb
.
2. a.À l’aide des coordonnées des points
A\text AA
 et
B\text BB
, déterminer une équation de la droite 
T\mathcal{T}T
.b. Exprimer, pour tout réel
xxx
,
f′(x)f'(x)f′(x)
 en fonction de
xxx
 et de
aaa
 et en déduire que, pour tout réel
xxx
,
f(x)=(4x+5)e−0,1xf(x)=(4x+5)\text e^{-0,1x}f(x)=(4x+5)e−0,1x
.
3.On souhaite déterminer le maximum de la fonction
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.a.Montrer que, pour tout
x∈Rx\in \mathbb{R}x∈R
,
f′(x)=(−0,4x+3,5)e−0,1xf'(x)=(- 0,4x + 3,5)\text e^{-0,1x}f′(x)=(−0,4x+3,5)e−0,1x
.b.Déterminer les variations de
fff
 sur
R\mathbb{R}R
 et en déduire le maximum de
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.