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Méthode d'Archimède

Dans ses travaux, Archimède de Syracuse propose une méthode d'approximation du nombre

Sommaire

Activité complèteMéthode d'Archimède
Étape par étapeÉnoncéPartie A - Observation de la méthodePartie B - Le cas des hexagonesPartie C - Cas général

Activité complète

Méthode d'Archimède

Énoncé
Dans ses travaux, Archimède de Syracuse propose une méthode d'approximation du nombre
π\piπ
. Il considère les suites de polygones réguliers inscrits et circonscrits dans un cercle de rayon 
111
et il en calcule les demi-périmètres. Pour un nombre de côtés fixés
nnn
, il encadre ainsi le nombre 
π\piπ
: 
demi-périmètre du polygone inscrit
<π<<\pi<<π<
demi-périmètre du polygone circonscrit.
 Archimède traite exclusivement les cas des polygones réguliers à 
n=3×2mn=3 \times 2^mn=3×2m
côtés, 
mmm
étant un entier naturel. Pour 
m=5m=5m=5
(c'est-à-dire en considérant les polygones réguliers à 96 côtés), on obtient le célèbre encadrement 
22371<π<227\dfrac{223}{71}<\pi<\dfrac{22}{7 }71223​<π<722​
. 
Dans cette activité, nous allons tenter de retrouver cet encadrement à l'aide de la trigonométrie (qu'Archimède ne connaissait pas !).
Questions
Partie A - Observation de la méthode
Ce fichier de géométrie dynamique montre la suite des polygones réguliers inscrits dans un cercle de rayon
111
et affiche le demi-périmètre pour chaque polygone. En faisant bouger le curseur
nnn
correspondant au nombre de côtés du polygone régulier inscrit, observer la suite des demi-périmètre.
Expliquer pourquoi les demi-périmètres s'approchent de plus en plus du nombre
π\piπ
. Qu'en serait-il si le rayon était égal à
222
? Et pour un rayon
rrr
?
Partie B - Le cas des hexagones
Soit
ABCDEF\text{ABCDEF}ABCDEF
et
A’B’C’D’E’F’\text{A'B'C'D'E'F'}A’B’C’D’E’F’
les hexagones respectivement inscrit et circonscrit à un cercle de centre 
O\text OO
et de rayon
111
de sorte que les points
O, A, A’\text{O, A, A'}O, A, A’
sont alignés (et par conséquent tous les autres triplets correspondants aussi) comme illustré dans la figure suivante. La perpendiculaire à
(AB)(\text{AB})(AB)
passant par
O\text OO
coupe
[AB]\text {[AB]}[AB]
en
I\text II
et
[A’B’]\text {[A'B']}[A’B’]
en
I′\text I'I′
.
Partie C - Cas général
Soit 
nnn
, avec
n⩾3n\geqslant 3n⩾3
, le nombre de côtés des polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle de centre
O\text OO
et rayon
1.1.1.
De manière analogue au cas des hexagones, on considère les triangles isocèles
AOB\text{AOB}AOB
et
A’OB’\text{A'OB'}A’OB’
.
1.Expliquer pourquoi la mesure en degrés de l'angle
IOA^\widehat{\text{IOA}}IOA
s'exprime, en fonction de 
nnn
, par
α(n)=180∘n\alpha(n)=\dfrac{180^\circ}{n}α(n)=n180∘​
.
2.En déduire
AB=2sin(α(n))\text{AB}=2 \text{sin} (\alpha(n))AB=2sin(α(n))
puis
A’B’=2sin(α(n))cos(α(n))\text{A'B'}=2 \dfrac{\text{sin}(\alpha(n))}{{\text{cos}(\alpha(n))}}A’B’=2cos(α(n))sin(α(n))​
.
3.À l'aide d'un tableur, retrouver l'encadrement d'Archimède du nombre 
π\piπ
. Les fractions pourront être approchées par des nombres décimaux. 

Étape par étape

Énoncé

Dans ses travaux, Archimède de Syracuse propose une méthode d'approximation du nombre
π\piπ
. Il considère les suites de polygones réguliers inscrits et circonscrits dans un cercle de rayon 
111
et il en calcule les demi-périmètres. Pour un nombre de côtés fixés
nnn
, il encadre ainsi le nombre 
π\piπ
: 
demi-périmètre du polygone inscrit
<π<<\pi<<π<
demi-périmètre du polygone circonscrit.
 Archimède traite exclusivement les cas des polygones réguliers à 
n=3×2mn=3 \times 2^mn=3×2m
côtés, 
mmm
étant un entier naturel. Pour 
m=5m=5m=5
(c'est-à-dire en considérant les polygones réguliers à 96 côtés), on obtient le célèbre encadrement 
22371<π<227\dfrac{223}{71}<\pi<\dfrac{22}{7 }71223​<π<722​
. 
Dans cette activité, nous allons tenter de retrouver cet encadrement à l'aide de la trigonométrie (qu'Archimède ne connaissait pas !).

Partie A - Observation de la méthode

Ce fichier de géométrie dynamique montre la suite des polygones réguliers inscrits dans un cercle de rayon
111
et affiche le demi-périmètre pour chaque polygone. En faisant bouger le curseur
nnn
correspondant au nombre de côtés du polygone régulier inscrit, observer la suite des demi-périmètre.
Expliquer pourquoi les demi-périmètres s'approchent de plus en plus du nombre
π\piπ
. Qu'en serait-il si le rayon était égal à
222
? Et pour un rayon
rrr
?

Partie B - Le cas des hexagones

Soit
ABCDEF\text{ABCDEF}ABCDEF
et
A’B’C’D’E’F’\text{A'B'C'D'E'F'}A’B’C’D’E’F’
les hexagones respectivement inscrit et circonscrit à un cercle de centre 
O\text OO
et de rayon
111
de sorte que les points
O, A, A’\text{O, A, A'}O, A, A’
sont alignés (et par conséquent tous les autres triplets correspondants aussi) comme illustré dans la figure suivante. La perpendiculaire à
(AB)(\text{AB})(AB)
passant par
O\text OO
coupe
[AB]\text {[AB]}[AB]
en
I\text II
et
[A’B’]\text {[A'B']}[A’B’]
en
I′\text I'I′
.1.Démontrer que les triangles
AOB\text{AOB}AOB
et
A’OB’\text{A'OB'}A’OB’
sont équilatéraux.
2.Donner les longueurs
AB\text{AB}AB
et
A’B’\text{A'B'}A’B’
. 
3.Déduire les demi-périmètres de
ABCDEF\text{ABCDEF}ABCDEF
et
A’B’C’D’E’F’\text{A'B'C'D'E'F'}A’B’C’D’E’F’
 et donner un encadrement de
π\piπ
.

Partie C - Cas général

Soit 
nnn
, avec
n⩾3n\geqslant 3n⩾3
, le nombre de côtés des polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle de centre
O\text OO
et rayon
1.1.1.
De manière analogue au cas des hexagones, on considère les triangles isocèles
AOB\text{AOB}AOB
et
A’OB’\text{A'OB'}A’OB’
.
1.Expliquer pourquoi la mesure en degrés de l'angle
IOA^\widehat{\text{IOA}}IOA
s'exprime, en fonction de 
nnn
, par
α(n)=180∘n\alpha(n)=\dfrac{180^\circ}{n}α(n)=n180∘​
.
2.En déduire
AB=2sin(α(n))\text{AB}=2 \text{sin} (\alpha(n))AB=2sin(α(n))
puis
A’B’=2sin(α(n))cos(α(n))\text{A'B'}=2 \dfrac{\text{sin}(\alpha(n))}{{\text{cos}(\alpha(n))}}A’B’=2cos(α(n))sin(α(n))​
.
3.À l'aide d'un tableur, retrouver l'encadrement d'Archimède du nombre 
π\piπ
. Les fractions pourront être approchées par des nombres décimaux.