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Applications directes

Le plan est muni d'un repère orthonormé

Sommaire

Images de réels sur le cercle trigonométriqueMême point image d'un réelImage de plusieurs réelsValeurs de sinus et cosinus (1)Valeurs de sinus et cosinus (2)Valeurs exactes de sinus et cosinus d'un réelDe sinus à cosinus et inversement

Images de réels sur le cercle trigonométrique

Le plan est muni d'un repère orthonormé
(O;I;J)(\text{O;I;J})(O;I;J)
.Dans cet exercice, la notation \(\text A(x)\)indique que le point
A\text AA
est l'image du réel
xxx
par l'enroulement de la tangente au cercle trigonométrique au point
I\text II
.
Placer les points suivants sur le cercle trigonométrique.
A(π)\text A(\pi)A(π)
B(π12)\text B \left(\dfrac{\pi}{12}\right)B(12π​)
C(π3)\text C \left(\dfrac{\pi}{3}\right)C(3π​)
D(3π4)\text D \left(\dfrac{3\pi}{4}\right)D(43π​)
E(−π6)\text E \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)E(−6π​)
F(2π3)\text F \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)F(32π​)
G(−3π2)\text G \left(\dfrac{-3\pi}{2}\right)G(2−3π​)

Même point image d'un réel

Associer entre eux les nombres réels dont l'image par enroulement correspond au même point sur le cercle trigonométrique.

Image de plusieurs réels

Le plan est muni d'un repère orthonormé
(O;I;J)(\text{O;I;J})(O;I;J)
.
Donner, pour chaque réel
xxx
, un autre réel
x′x'x′
qui a la même image par l'enroulement de la tangente en
I\text II
au cercle trigonométrique.
x=3π2x=\dfrac{3π}{2}x=23π​
x=56πx=56πx=56π
x=−πx=-πx=−π
x=5π3x=\dfrac{5π}{3}x=35π​
x=13π6x=\dfrac{13π}{6}x=613π​
x=32π15x=\dfrac{32\pi}{15}x=1532π​

Valeurs de sinus et cosinus (1)

1. Donner les valeurs des cosinus et sinus des réels suivants.
    a. 
17π4\dfrac{17π}{4}417π​
    b.
−5π6-\dfrac{5π}{6}−65π​
    c.
17π2\dfrac{17π}{2}217π​
2. Calculer les expressions suivantes en indiquant les étapes intermédiaires. 
A=cos⁡⁡(5π3)−sin⁡⁡(2π)+cos⁡⁡(−π6)A=\cos⁡(\dfrac{5π}{3})-\sin⁡(2π)+\cos⁡(-\dfrac{π}{6})A=cos⁡(35π​)−sin⁡(2π)+cos⁡(−6π​)
B=cos⁡(π6)+sin⁡⁡(π3)−sin⁡⁡(π2)B=\cos\left( \dfrac{\pi}{6}\right)+\sin⁡\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-\sin⁡\left(\dfrac{\pi}{2}\right)B=cos(6π​)+sin⁡(3π​)−sin⁡(2π​)

Valeurs de sinus et cosinus (2)

Déterminer les valeurs des cosinus et sinus suivants.
1.
cos⁡(−π6)\cos\left(-\dfrac{π}{6}\right)cos(−6π​)
2.
sin⁡(−π3)\sin\left(-\dfrac{π}{3}\right)sin(−3π​)
3. 
cos⁡(3π4)\cos\left(\dfrac{3π}{4}\right)cos(43π​)
4.
sin⁡(5π3)\sin\left(\dfrac{5π}{3}\right)sin(35π​)
5.
cos⁡(7π3)\cos\left(\dfrac{7π}{3}\right)cos(37π​)
6.
sin⁡(37π4)\sin\left(\dfrac{37π}{4}\right)sin(437π​)
7.Calculer l'expression 
A(x)=sin⁡x+cos⁡xA(x)= \sin x + \cos xA(x)=sinx+cosx
 pour 
x=605π6x=\dfrac{605\pi}{6}x=6605π​
puis pour
x=−757π4x=\dfrac{-757\pi}{4}x=4−757π​
.

Valeurs exactes de sinus et cosinus d'un réel

1.Déterminer les valeurs exactes des expressions suivantes.
A=sin⁡(π4)+sin⁡(3π4)+sin⁡(5π4)+sin⁡(7π4)A=\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}+\sin{\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)}+\sin{\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)}+\sin{\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)}A=sin(4π​)+sin(43π​)+sin(45π​)+sin(47π​)
B=cos⁡(π3)−cos⁡(2π3)+cos⁡(4π3)−cos⁡(5π3)B=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)-\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)B=cos(3π​)−cos(32π​)+cos(34π​)−cos(35π​)
2. Sachant que
cos⁡⁡(π5)=5+12\cos⁡\left(\dfrac{π}{5}\right)=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}cos⁡(5π​)=25​+1​
, déduire la valeur exacte de 
sin(π5)\text{sin}(\dfrac \pi 5 )sin(5π​)
.
3.Donner la valeur exacte des cosinus et sinus des nombres réels suivants.
    a.
4π5\dfrac{4π}{5}54π​
    b. 
−π5-\dfrac{π}{5}−5π​
    c.
7π5\dfrac{7π}{5}57π​

De sinus à cosinus et inversement

1.Soit
x∈[π2;π[x\in [\dfrac{π}{2};π[x∈[2π​;π[
tel que
sin⁡⁡(x)=0,3\sin⁡(x)=0,3sin⁡(x)=0,3
.
Déterminer la valeur de
cos⁡⁡(x)\cos⁡(x)cos⁡(x)
arrondie au centième près. 
2. Sachant que
x∈[π;2π[x\in [π;2π[x∈[π;2π[
tel que
cos⁡⁡(x)=0,45\cos⁡(x)=0,45cos⁡(x)=0,45
.
Déterminer la valeur de
sin⁡⁡(x)\sin⁡(x)sin⁡(x)
arrondie au centième près.