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Approfondissements : formules trigonométriques

\(\text{cos}(\alpha+\beta)= \text{cos}(\alpha) \text{cos}(\beta)-\text{sin}(\alpha) \text{sin}(\beta...

Sommaire

Formules d'addition et soustractionFormules de duplication et bissectionUne application : irrationalité d'un cosinus

Formules d'addition et soustraction

Propriétés
Pour tout
α,β\alpha, \betaα,β
réels 
cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)\text{cos}(\alpha+\beta)= \text{cos}(\alpha) \text{cos}(\beta)-\text{sin}(\alpha) \text{sin}(\beta)cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)
cos(α−β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)\text{cos}(\alpha-\beta)= \text{cos}(\alpha) \text{cos}(\beta)+\text{sin}(\alpha) \text{sin}(\beta)cos(α−β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)
sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)\text{sin}(\alpha+\beta)= \text{sin}(\alpha) \text{cos}(\beta)+\text{cos}(\alpha) \text{sin}(\beta)sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)
sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)\text{sin}(\alpha-\beta)= \text{sin}(\alpha) \text{cos}(\beta)-\text{cos}(\alpha) \text{sin}(\beta)sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)
Exemples
Les formules d'addition et de soustraction permettent de calculer les valeurs exactes de sinus et cosinus comme :
cos(7π12)=cos(π3+π4)=cos(π3)×cos(π4)−sin(π3)×sin(π4)=12×22−32×22\text{cos}\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\times\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\times\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac 1 2 \times \dfrac{\sqrt 2}{2}- \dfrac{\sqrt 3}{2}\times \dfrac{\sqrt 2}{2}cos(127π​)=cos(3π​+4π​)=cos(3π​)×cos(4π​)−sin(3π​)×sin(4π​)=21​×22​​−23​​×22​​
cos(7π12)=2−64\text{cos}\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}cos(127π​)=42​−6​​
sin(π12)=sin(π3−π4)=sin(π3)×cos(π4)−cos(π3)×sin(π4)=32 ×22−12×22\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\times\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\times\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt 3}{2}\ \times \dfrac{\sqrt 2}{2}-\dfrac 1 2\times \dfrac{\sqrt 2}{2}sin(12π​)=sin(3π​−4π​)=sin(3π​)×cos(4π​)−cos(3π​)×sin(4π​)=23​​ ×22​​−21​×22​​
sin(π12)=6−24\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}sin(12π​)=46​−2​​
On retrouve ainsi la relation
cos(7π12)=cos(π2+π12)=−sin(π12)\text{cos}\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{12}\right)=-\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{12}\right)cos(127π​)=cos(2π​+12π​)=−sin(12π​)
. Les formules d'addition et de soustraction permettent de démontrer les relations des angles associés. 
Démonstration
On propose ici une preuve visuelle des formules d'addition.
Sur le dessin suivant, 
α\alphaα
est la mesure de l'angle
BAC^\widehat{\text{BAC}}BAC
,
β\betaβ
est la mesure de l'angle
CAD^\widehat{\text{CAD}}CAD
et
AD=1\text{AD}=1AD=1
.
1.Rédiger un protocole de construction de la figure. Justifier que la mesure de l'angle
ECD^\widehat{\text{ECD}}ECD
est
α\alphaα
.
2.Identifier les segments de longueurs respectives
cos(α+β)\text{cos}(\alpha+\beta)cos(α+β)
et
sin(α+β)\text{sin}(\alpha+\beta)sin(α+β)
.
3.Justifier
BC=sin(α)cos(β)\text{BC}=\text{sin}(\alpha)\text{cos}(\beta)BC=sin(α)cos(β)
et
CE=cos(α)sin(β)\text{CE}=\text{cos}(\alpha)\text{sin}(\beta)CE=cos(α)sin(β)
.
4.Exprimer 
AB\text{AB}AB
et 
DE\text{DE}DE
en fonction de 
cos(α),cos(β),sin(α),sin(β)\text{cos}(\alpha),\text{cos}(\beta),\text{sin}(\alpha),\text{sin}(\beta)cos(α),cos(β),sin(α),sin(β)
. 
5.En remarquant que
DE=FB\text{DE}=\text{FB}DE=FB
puis
AB=AF+FB\text{AB}=\text{AF+FB}AB=AF+FB
et
BE=BC+CE\text{BE}=\text{BC+CE}BE=BC+CE
conclure. 
Les formules de soustraction se démontrent à partir de celles de l'addition en écrivant
cos(α−β)=cos(α+(−β))\text{cos}(\alpha-\beta)=\text{cos}(\alpha+(-\beta))cos(α−β)=cos(α+(−β))
et
sin(α−β)=sin(α+(−β))\text{sin}(\alpha-\beta)=\text{sin}(\alpha+(-\beta))sin(α−β)=sin(α+(−β))
et en utilisant les formules des angles associés.

Formules de duplication et bissection

Propriétés Formules de duplication
Pour tout réel
α\alphaα
cos(2α)=cos2(α)−sin2(α)\text{cos}(2\alpha)=\text{cos}^2(\alpha)-\text{sin}^2(\alpha)cos(2α)=cos2(α)−sin2(α)
sin(2α)=2sin(α)cos(α)\text{sin}(2\alpha)=2\text{sin}(\alpha)\text{cos}(\alpha)sin(2α)=2sin(α)cos(α)
Exemple
On veut déterminer
cos(2π3)\text{cos}\left(\dfrac{2\pi}3\right)cos(32π​)
et
sin(2π3)\text{sin}\left(\dfrac{2\pi}3\right)sin(32π​)
 en utilisant la formule de duplication. 
cos(2π3)=cos2(π3)−sin2(π3)=(12)2−(32)2=14−34=−12\text{cos}\left(\dfrac{2\pi}3\right)=\text{cos}^2\left(\dfrac{\pi}3\right)-\text{sin}^2\left(\dfrac{\pi}3\right)=\left(\dfrac{1}2\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}2\right)^2=\dfrac{1}4-\dfrac{3}4=-\dfrac{1}2cos(32π​)=cos2(3π​)−sin2(3π​)=(21​)2−(23​​)2=41​−43​=−21​
sin(2π3)=2×sin(π3)×cos(π3)=2×32×12=32\text{sin}\left(\dfrac{2\pi}3\right)=2\times \text{sin}\left(\dfrac{\pi}3\right)\times\text{cos}\left(\dfrac{\pi}3\right)=2\times\dfrac{\sqrt{3}}2\times\dfrac 1 2=\dfrac{\sqrt{3}}2sin(32π​)=2×sin(3π​)×cos(3π​)=2×23​​×21​=23​​
Démonstration
On utilise les formules de somme avec
β=α\beta=\alphaβ=α
.
Pour tout réel 
α\alphaα
, 
cos(2α)=cos(α+α)=cos(α)×cos(α)−sin(α)×sin(α)=cos2(α)−sin2(α)\text{cos}(2\alpha)=\text{cos}(\alpha+\alpha)=\text{cos}(\alpha)\times\text{cos}(\alpha) -\text{sin}(\alpha)\times \text{sin}(\alpha)=\text{cos}^2(\alpha)-\text{sin}^2(\alpha)cos(2α)=cos(α+α)=cos(α)×cos(α)−sin(α)×sin(α)=cos2(α)−sin2(α)
sin(2α)=sin(α+α)=sin(α)×cos(α)+cos(α)×sin(α)=2sin(α)cos(α)\text{sin}(2\alpha)=\text{sin}(\alpha+\alpha)=\text{sin}(\alpha)\times\text{cos}(\alpha)+\text{cos}(\alpha)\times\text{sin}(\alpha)=2\text{sin}(\alpha)\text{cos}(\alpha)sin(2α)=sin(α+α)=sin(α)×cos(α)+cos(α)×sin(α)=2sin(α)cos(α)
Propriétés  Formules de bissection
Pour tout réel
α\alphaα
cos(α2)=±1+cos(α)2\text{cos}\left(\dfrac{\alpha}2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1+\text{cos}(\alpha)}2}cos(2α​)=±21+cos(α)​​
sin(α2)=±1−cos(α)2\text{sin}\left(\dfrac{\alpha}2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\text{cos}(\alpha)}2}sin(2α​)=±21−cos(α)​​
Le symbole
±\pm±
signifie que le signe du résultat est à choisir au cas par cas selon l'intervalle auquel appartient le réel
α2\dfrac{\alpha}22α​
.
Exemple
On veut calculer
cos(π8)\text{cos}\left(\dfrac{\pi}8\right)cos(8π​)
.
D'une part, on remarque
π8=12×π4\dfrac{\pi}8=\dfrac 1 2 \times \dfrac{\pi}48π​=21​×4π​
et, d'autre part, 
π8∈[0;π2]\dfrac{\pi}8\in \left[0;\dfrac{\pi}2\right]8π​∈[0;2π​]
. On en déduit
cos(π8)>0\text{cos}\left(\dfrac{\pi}8\right)>0cos(8π​)>0
et, par la formule de bissection,
cos(π8)=1+cos(π4)2=1+222=2+24=2+22\text{cos}\left(\dfrac{\pi}8\right)=\sqrt{\dfrac{1+\text{cos}\left(\dfrac{\pi}4\right)}2}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}cos(8π​)=21+cos(4π​)​​=21+22​​​​=42+2​​​=22+2​​​
.
Démonstration
    • On utilise l'égalité
α=2×α2\alpha=2\times\dfrac{\alpha}2α=2×2α​
et on écrit, pour tout réel
α\alphaα
, 
cos(α)=cos(2×α2)=cos2(α2)−sin2(α2)\text{cos}(\alpha)=\text{cos}\left(2\times\dfrac{\alpha}2\right)=\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)-\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)cos(α)=cos(2×2α​)=cos2(2α​)−sin2(2α​)
.Pour tout réel 
α\alphaα
,
cos2(α2)+sin2(α2)=1\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)+\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1cos2(2α​)+sin2(2α​)=1
, c'est à dire
sin2(α2)=1−cos2(α2)\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1-\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)sin2(2α​)=1−cos2(2α​)
et on en déduit
cos(α)=cos2(α2)−(1−cos2(α2))\text{cos}(\alpha)=\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)-(1-\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right))cos(α)=cos2(2α​)−(1−cos2(2α​))
puis
cos(α)=2cos2(α2)−1\text{cos}(\alpha)=2\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)-1cos(α)=2cos2(2α​)−1
qui équivaut à
cos2(α2)=1+cos(α)2\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)=\dfrac{1+\text{cos}(\alpha)}2cos2(2α​)=21+cos(α)​
, d'où le résultat.
    • Pour tout réel
α\alphaα
,
sin2(α2)+cos2(α2)=1\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)+\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)=1sin2(2α​)+cos2(2α​)=1
.On écrit
sin2(α2)=1−cos2(α2)=1−1+cos(α)2=1−cos(α)2\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)=1-\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)=1-\dfrac{1+\text{cos}(\alpha)}{2}=\dfrac{1-\text{cos}(\alpha)}{2}sin2(2α​)=1−cos2(2α​)=1−21+cos(α)​=21−cos(α)​
d'où le résultat.

Une application : irrationalité d'un cosinus

L'objectif de cet exercice est de démontrer que
cos(π9)\text{cos}\left(\dfrac\pi 9\right)cos(9π​)
est un nombre irrationnel à l'aide du résultat suivant (admis).Propriété (admise)
L'équation
8x3−6x−1=08x^3-6x-1=08x3−6x−1=0
n'admet pas de solutions rationnelles.
1.Écrire 
cos(π3)\text{cos}\left(\dfrac\pi 3\right)cos(3π​)
en fonction de 
cos(π9)\text{cos}\left(\dfrac\pi 9\right)cos(9π​)
. On pourra remarquer que 
cos(π3)=cos(2π9+π9)\text{cos}\left(\dfrac \pi 3\right)=\text{cos}\left(\dfrac {2\pi} 9+\dfrac {\pi} 9 \right)cos(3π​)=cos(92π​+9π​)
.
2.Démontrer que
4cos3(π9)−3cos(π9)=124\text{cos}^3\left(\dfrac\pi 9\right)-3\text{cos}\left(\dfrac\pi 9\right)=\dfrac1 24cos3(9π​)−3cos(9π​)=21​
.
3.Conclure.