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\(\text C,\text D,\text E,\text F\)

Sommaire

Construction de pointsCoordonnées de vecteursCalcul de normesColinéarité de vecteursCoordonnées du milieuRelation de ChaslesDéterminer une valeur à l'aide du cercle trigonométriqueRésolution d'équations

Construction de points

Placer sur la droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
les points
C,D,E,F\text C,\text D,\text E,\text FC,D,E,F
définis par les relations vectorielles suivantes.
1.
AC⃗=−12AB⃗\vec{\text A\text C}=-\dfrac{1}{2}\vec{\text A\text B}AC=−21​AB
2.
AD⃗=45AB⃗\vec{\text A\text D}=\dfrac{4}{5}\vec{\text A\text B}AD=54​AB
3.
AE⃗=95AB⃗\vec{\text A\text E}=\dfrac{9}{5}\vec{\text A\text B}AE=59​AB
4. 
BF⃗=−32AB⃗\vec{\text B\text F}=-\dfrac{3}{2}\vec{\text A\text B}BF=−23​AB

Coordonnées de vecteurs

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les vecteurs de coordonnées
u⃗(13)\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix}u(13​)
 et 
v⃗(−52)\vec{v}\begin{pmatrix} -5\\2 \end{pmatrix}v(−52​)
.
Déterminer les coordonnées des vecteurs définis par :
1.
w⃗=u⃗+v⃗\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}w=u+v
2.
t⃗=2u⃗−3v⃗\vec{t}=2\vec{u}-3\vec{v}t=2u−3v
3.
k⃗=v⃗−u⃗\vec{k}=\vec{v}-\vec{u}k=v−u
4.
l⃗=−u⃗−5v⃗\vec{l}=-\vec{u}-5\vec{v}l=−u−5v

Calcul de normes

Dans un repère orthonormé, on considère les points de coordonnées
A(−2;2),B(2;4)\text{A}(-2;2), \text{B}(2;4)A(−2;2),B(2;4)
 et 
C(−4;6)\text{C}(-4;6)C(−4;6)
.
1.Déterminer les normes des vecteurs 
AB⃗,AC⃗\vec{\text A\text B}, \vec{\text A\text C}AB,AC
 et 
BC⃗\vec{\text B\text C}BC
.
2.En déduire la nature du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.

Colinéarité de vecteurs

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les vecteurs
u⃗(1−3),v⃗(−737)\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\-3 \end{pmatrix}, \vec{v}\begin{pmatrix} -\dfrac{7}{3}\\7 \end{pmatrix}u(1−3​),v(−37​7​)
et 
w⃗(74−214)\vec{w}\begin{pmatrix} \dfrac{7}{4}\\-\dfrac{21}{4} \end{pmatrix}w​47​−421​​​
.
1.Les vecteurs  
u⃗\vec{u}u
 et 
v⃗\vec{v}v
 sont-ils colinéaires ? Justifier la réponse.
2.Les vecteurs  
u⃗\vec{u}u
 et 
w⃗\vec{w}w
 sont-ils colinéaires ? Justifier la réponse.
3. Les vecteurs  
v⃗\vec{v}v
 et 
w⃗\vec{w}w
 sont-ils colinéaires ? Justifier la réponse.

Coordonnées du milieu

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère 
I\text{I}I
 milieu de 
[AB][\text{AB}][AB]
.
Déterminer les coordonnées de 
I\text{I}I
 dans les cas suivants.
1.
A(−2;5)\text{A}(-2;5)A(−2;5)
 et 
B(2;7)\text{B}(2;7)B(2;7)
2.
A(−47;9)\text{A}(-\dfrac{4}{7};9)A(−74​;9)
 et 
B(−1;13)\text{B}(-1;\dfrac{1}{3})B(−1;31​)
3.
A(−8;−2)\text{A}(-8;-2)A(−8;−2)
 et 
B(45;−6)\text{B}(\dfrac{4}{5};-6)B(54​;−6)

Relation de Chasles

En utilisant la relation de Chasles, compléter les égalités suivantes.
1.
AB⃗+BD⃗=...\vec{\text A\text B}+\vec{\text B\text D}=...AB+BD=...
2.
A...⃗+BD⃗=AD⃗\vec{\text A...}+\vec{\text B\text D}=\vec{\text A\text D}A...+BD=AD
3.
B...⃗+MD⃗=BD⃗\vec{\text B...}+\vec{\text M\text D}=\vec{\text B\text D}B...+MD=BD
4.
BC⃗+...⃗=0⃗\vec{\text B\text C}+\vec{...}=\vec{0}BC+...=0
5. 
DB⃗+AB⃗=...\vec{\text D\text B}+\vec{\text A\text B}=...DB+AB=...

Déterminer une valeur à l'aide du cercle trigonométrique

À l'aide du cercle trigonométrique, donner la valeur exacte des réels suivants.
1.
A=cos(π6)A=\text{cos}(\dfrac{\pi}{6})A=cos(6π​)
2.
B=sin(3π)B=\text{sin}(3\pi)B=sin(3π)
3.
C=cos(−5π4)C=\text{cos}(-\dfrac{5\pi}{4})C=cos(−45π​)
4.
D=sin(4π3)D=\text{sin}(\dfrac{4\pi}{3})D=sin(34π​)

Résolution d'équations

Résoudre sur 
[0;2π[[0;2\pi[[0;2π[
 les équations suivantes.
1.
sinx=−32\text{sin}x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}sinx=−23​​
2.
cosx=22\text{cos}x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}cosx=22​​
3.
sinx=0\text{sin}x=0sinx=0
4. 
cosx=−1\text{cos}x=-1cosx=−1