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Au cours du chapitre

 un triangle équilatéral tel que 

Sommaire

Produits scalaires dans un triangle équilatéralMesure d'angle et produit scalaireCalculer des produits scalaires dans un carréVecteurs orthogonauxCalcul de produits scalairesProduit scalaire et norme

Produits scalaires dans un triangle équilatéral

Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle équilatéral tel que 
AB=3\text{AB}=3AB=3
.
Calculer les produits scalaires suivants.
1.
AB⃗⋅AC⃗\vec{\text A\text B} \cdot \vec{\text A\text C}AB⋅AC
2.
AB⃗⋅CB⃗\vec{\text A\text B} \cdot \vec{\text C\text B}AB⋅CB
3.
AC⃗⋅CB⃗\vec{\text A\text C}\cdot \vec{\text C\text B}AC⋅CB

Mesure d'angle et produit scalaire

Dans chacun des cas suivants, donner une valeur approchée au degré près de la mesure en degrés de l'angle 
ABC^\widehat{\text A\text B\text C}ABC
.
1.
AB=4,BC=2\text{AB}=4,\text{BC}=2AB=4,BC=2
 et 
BA⃗⋅BC⃗=3\vec{\text B\text A} \cdot \vec{\text B\text C}=3BA⋅BC=3
.
2.
AB=3,BC=5\text{AB}=3,\text{BC}=5AB=3,BC=5
 et 
BA⃗⋅BC⃗=1\vec{\text B\text A} \cdot \vec{\text B\text C}=1BA⋅BC=1
.
3.
AB=1,BC=5\text{AB}=1,\text{BC}=5AB=1,BC=5
 et 
AB⃗⋅BC⃗=4\vec{\text A\text B} \cdot \vec{\text B\text C}=4AB⋅BC=4
.

Calculer des produits scalaires dans un carré

Soit 
ABCD\text{ABCD}ABCD
 un carré de centre 
I\text II
et de côté 4 cm.
Calculer les produits scalaires suivants.
1.
AB⃗⋅AD⃗\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text D}AB⋅AD
2.
AB⃗⋅CD⃗\vec{\text A\text B} \cdot \vec{\text C\text D}AB⋅CD
3.
AD⃗⋅BD⃗\vec{\text A\text D} \cdot \vec{\text B\text D}AD⋅BD
4.
AD⃗⋅AI⃗\vec{\text A\text D} \cdot \vec{\text A\text I}AD⋅AI
5.
ID⃗⋅IC⃗\vec{\text I\text D} \cdot\vec{\text I\text C}ID⋅IC
6.
ID⃗⋅IB⃗\vec{\text I\text D} \cdot \vec{\text I\text B}ID⋅IB

Vecteurs orthogonaux

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Dans chacun des cas suivants, dire si les vecteurs sont orthogonaux. Justifier chaque réponse.
1.
u⃗(1−3)\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\-3 \end{pmatrix}u(1−3​)
 et 
v⃗(−13)\vec{v}\begin{pmatrix} -1\\3 \end{pmatrix}v(−13​)
2.
u⃗(23)\vec{u}\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\3 \end{pmatrix}u(2​3​)
 et 
v⃗(−223)\vec{v}\begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\\dfrac{2}{3} \end{pmatrix}v(−2​32​​)
3.
u⃗(1,25−7)\vec{u}\begin{pmatrix} 1,25\\-7 \end{pmatrix}u(1,25−7​)
 et 
v⃗(−0,8−17)\vec{v}\begin{pmatrix} -0,8\\-\dfrac{1}{7} \end{pmatrix}v(−0,8−71​​)
4.
u⃗(−46)\vec{u}\begin{pmatrix} -4\\6 \end{pmatrix}u(−46​)
 et 
v⃗(−10)\vec{v}\begin{pmatrix} -1\\0\end{pmatrix}v(−10​)

Calcul de produits scalaires

Soit
A,B,C\text A,\text B,\text CA,B,C
trois points distincts du plan et soit 
u⃗\vec{u}u
 et 
v⃗\vec{v}v
les vecteurs non nuls définis par 
u⃗=AB⃗\vec{u}=\vec{\text A\text B}u=AB
 et 
v⃗=AC⃗\vec{v}=\vec{\text A\text C}v=AC
. Soit
θ=BAC^\theta=\widehat{\text B\text A\text C}θ=BAC
.
Calculer 
u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}u⋅v
 dans les cas suivants.
1.
∥u⃗∥=3,∥v⃗∥=4\lVert\vec{u}\lVert=3, \lVert\vec{v}\lVert=4∥u∥=3,∥v∥=4
 et 
θ=90∘\theta=90^\circθ=90∘
2.
∥u⃗∥=5,∥v⃗∥=2\lVert\vec{u}\lVert=5, \lVert\vec{v}\lVert=2∥u∥=5,∥v∥=2
 et 
θ=30∘\theta=30^\circθ=30∘
3.
∥u⃗∥=7,∥v⃗∥=9\lVert\vec{u}\lVert=7, \lVert\vec{v}\lVert=9∥u∥=7,∥v∥=9
 et 
θ=120∘\theta=120^\circθ=120∘
4.
∥u⃗∥=5,∥v⃗∥=4\lVert\vec{u}\lVert=5, \lVert\vec{v}\lVert=4∥u∥=5,∥v∥=4
 et 
θ=180∘\theta=180^\circθ=180∘

Produit scalaire et norme

Dans une base orthonormée 
(i⃗;j⃗)(\vec{i};\vec{j})(i;j​)
, on considère les vecteurs 
u⃗=32i⃗+12j⃗\vec{u}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\vec{i}+\dfrac{1}{2}\vec{j}u=23​​i+21​j​
 et 
v⃗=−2j⃗\vec{v}=-2\vec{j}v=−2j​
.
Calculer les expressions suivantes.
1.
(u⃗+v⃗).(u⃗−v⃗)(\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v})(u+v).(u−v)
2.
∣∣u⃗+v⃗∣∣2−∣∣u⃗−v⃗∣∣2||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2∣∣u+v∣∣2−∣∣u−v∣∣2
3.
∣∣2u⃗+v⃗∣∣2||2\vec{u}+\vec{v}||^2∣∣2u+v∣∣2
4.
∣∣2u⃗−v⃗∣∣2||2\vec{u}-\vec{v}||^2∣∣2u−v∣∣2