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Produit scalaire dans le plan

\(\text A,\text B,\text C\)

Sommaire

Définition du produit salaireCalcul du produit scalaire - ExemplesCas de deux vecteurs colinéairesVecteurs orthogonauxProjeté orthogonal

Définition du produit salaire

Définition
Soit
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
deux vecteurs du plan et
A,B,C\text A,\text B,\text CA,B,C
trois points tels que
u⃗=AB⃗\vec{u}=\vec{\text A\text B}u=AB
et
v⃗=AC⃗\vec{v}=\vec{\text A\text C}v=AC
.
Leproduit scalairedes vecteurs 
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
, noté 
u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot{} \vec{v}u⋅v
, est lenombre réeldéfini par :
    • si
u⃗≠0⃗\vec{u}\ne \vec{0}u=0
et
v⃗≠0⃗\vec{v}\ne \vec{0}v=0
, 
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡(u⃗;v⃗)=AB×AC×cos⁡(AB⃗;AC⃗)\vec{u} \cdot{} \vec{v}=\lVert \vec{u} \rVert\times \lVert \vec{v} \rVert\times \cos(\vec{u};\vec{v})=\text A\text B\times \text A\text C\times \cos(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})u⋅v=∥u∥×∥v∥×cos(u;v)=AB×AC×cos(AB;AC)
 ;
    • si 
u⃗=0⃗\vec{u} = \vec{0}u=0
ou
v⃗=0⃗\vec{v} = \vec{0}v=0
,
u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot{} \vec{v}=0u⋅v=0
.
Exemple
Soit
A,B\text A,\text BA,B
et
C\text CC
trois points distincts tels que
AB=5,AC=3,(AB⃗;AC⃗)=π3\text A\text B=5, \text A\text C=3, (\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})= \dfrac{\pi}{3}AB=5,AC=3,(AB;AC)=3π​
.
On a
AB⃗⋅AC⃗=∥AB⃗∥×∥AC⃗∥×cos⁡(AB⃗;AC⃗)=5×3×cos⁡(π3)=152\vec{\text A\text B} \cdot{} \vec{\text A\text C}=\lVert \vec{\text A\text B} \rVert\times \lVert \vec{\text A\text C} \rVert\times \cos(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})=5\times 3\times \cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{15}{2}AB⋅AC=∥AB∥×∥AC∥×cos(AB;AC)=5×3×cos(3π​)=215​
.

Calcul du produit scalaire - Exemples

Considérons le triangle équilatéral
ABC\text A\text B\text CABC
de côté
222
.Déterminons les produits scalaires suivants.
BC⃗⋅BA⃗=BC×BA×cos⁡(BC⃗;BA⃗).\vec{\text B\text C}\cdot\vec{\text B\text A}=\text B\text C\times \text B\text A \times \cos(\vec{\text B\text C};\vec{\text B\text A}).BC⋅BA=BC×BA×cos(BC;BA).
Or
BC=BA=2\text B\text C=\text B\text A=2BC=BA=2
et
(BC⃗;BA⃗)=π3(\vec{\text B\text C};\vec{\text B\text A})=\dfrac{\pi}{3}(BC;BA)=3π​
.On en déduit
BC⃗⋅BA⃗=2×2×cos⁡(π3)=2×2×12=2.\vec{\text B\text C}\cdot\vec{\text B\text A}=2\times 2 \times \cos(\dfrac{\pi}{3})=2\times 2 \times \dfrac{1}{2}=2.BC⋅BA=2×2×cos(3π​)=2×2×21​=2.
Soit
I\text II
le milieu de
[AB]\text{[AB]}[AB]
.
AI⃗⋅AC⃗=AI×AC×cos⁡(AI⃗;AC⃗).\vec{\text A\text I}\cdot\vec{\text A\text C}=\text A\text I\times \text A\text C \times \cos(\vec{\text A\text I};\vec{\text A\text C}).AI⋅AC=AI×AC×cos(AI;AC).
Or
AC=2\text A\text C=2AC=2
,
AI=12AC=1\text A\text I=\dfrac{1}{2}\text A\text C=1AI=21​AC=1
et
(AI⃗;AC⃗)=π3(\vec{\text A\text I};\vec{\text A\text C})=\dfrac{\pi}{3}(AI;AC)=3π​
.On en déduit
AI⃗⋅AC⃗=1×2×cos⁡(π3)=1×2×12=1.\vec{\text A\text I}\cdot\vec{\text A\text C}=1\times 2 \times \cos(\dfrac{\pi}{3})=1\times 2 \times \dfrac{1}{2}=1.AI⋅AC=1×2×cos(3π​)=1×2×21​=1.
BC⃗⋅CA⃗=BC×CA×cos⁡(BC⃗;CA⃗).\vec{\text B\text C}\cdot\vec{\text C\text A}=\text B\text C\times \text C\text A \times \cos(\vec{\text B\text C};\vec{\text C\text A}).BC⋅CA=BC×CA×cos(BC;CA).
Or
BC=CA=2\text B\text C=\text C\text A=2BC=CA=2
et
(BC⃗;CA⃗)=2π3(\vec{\text B\text C};\vec{\text C\text A})=\dfrac{2\pi}{3}(BC;CA)=32π​
, il s'agit, en effet, de la mesure de l'angle formé par les directions 
(BC)(\text B\text C)(BC)
et 
(CA)(\text C\text A)(CA)
.Pour le visualiser, il est utile de dessiner le représentant du vecteur
CA⃗\vec{\text C\text A}CA
d'origine
B\text BB
.On en déduit
BC⃗⋅CA⃗=2×2×cos⁡(2π3)=2×2×(−12)=−2.\vec{\text B\text C}\cdot\vec{\text C\text A}=2\times 2 \times \cos(\dfrac{2\pi}{3})=2\times 2 \times (-\dfrac{1}{2})=-2.BC⋅CA=2×2×cos(32π​)=2×2×(−21​)=−2.
 Il aurait été également possible de remarquer que 
BC⃗=−CB⃗\vec{\text B\text C}=-\vec{\text C\text B}BC=−CB
et d'utiliser l'angle orienté 
(CA⃗;CB⃗)(\vec{\text C\text A};\vec{\text C\text B})(CA;CB)
de mesure
π3\dfrac{\pi}{3}3π​
.

Cas de deux vecteurs colinéaires

Propriété
Soit
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
deux vecteurs, non nuls, colinéaires.
    • Si 
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
ont le même sens, alors
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥\vec{u} \cdot{} \vec{v}=\lVert \vec{u} \rVert\times \lVert \vec{v} \rVertu⋅v=∥u∥×∥v∥
.
    • Si
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
sont de sens contraire, alors
u⃗⋅v⃗=−∥u⃗∥×∥v⃗∥\vec{u} \cdot{} \vec{v}=-\lVert \vec{u} \rVert\times \lVert \vec{v} \rVertu⋅v=−∥u∥×∥v∥
.
Démonstration
Comme
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
sont deux vecteurs non nuls, il existe 
A,B,C\text A,\text B,\text CA,B,C
trois points distincts tels que
u⃗=AB⃗\vec{u}=\vec{\text A\text B}u=AB
et
v⃗=AC⃗\vec{v}=\vec{\text A\text C}v=AC
.
    • Si
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
sont colinéaires et de même sens, alors
(AB⃗;AC⃗)=0(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})=0(AB;AC)=0
et
cos⁡(0)=1\cos(0)=1cos(0)=1
. On en déduit
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥\vec{u} \cdot{} \vec{v}=\lVert \vec{u} \rVert\times \lVert \vec{v} \rVertu⋅v=∥u∥×∥v∥
.
    • Si
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
sont colinéaires et de sens opposé, alors
(AB⃗;AC⃗)=π(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})=\pi(AB;AC)=π
et
cos⁡(π)=−1\cos(\pi)=-1cos(π)=−1
. On en déduit
u⃗⋅v⃗=−∥u⃗∥×∥v⃗∥\vec{u} \cdot{} \vec{v}=-\lVert \vec{u} \rVert\times \lVert \vec{v} \rVertu⋅v=−∥u∥×∥v∥
.
Nous allons maintenant considérer le cas particulier où
u⃗=v⃗\vec{u}=\vec{v}u=v
.
Définition
Soit
u⃗\vec{u}u
un vecteur. Le carré scalaire de 
u⃗\vec{u}u
, noté 
u⃗2\vec{u}^2u2
, est le nombre réel défini par
u⃗2=u⃗⋅u⃗\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}u2=u⋅u
.
La définition du produit scalaire entraîne
u⃗2=∥u⃗∥2\vec{u}^2=\lVert\vec{u}\lVert^2u2=∥u∥2
.

Vecteurs orthogonaux

Définition
Soit
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
deux vecteurs du plan et
A,B,C\text A,\text B,\text CA,B,C
trois points tels que
u⃗=AB⃗\vec{u}=\vec{\text A\text B}u=AB
et
v⃗=AC⃗\vec{v}=\vec{\text A\text C}v=AC
. 
On dit que les vecteurs 
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
sont orthogonauxsi et seulement si les droites
(AB)(\text A\text B)(AB)
et
(AC)(\text A\text C)(AC)
sont perpendiculaires.
Remarque
Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.
Propriété
Deux vecteurs
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
du plan sont orthogonauxsi et seulement si 
u⃗⋅v⃗=0.\vec{u} \cdot \vec{v}=0.u⋅v=0.
Démonstration
Si l'un des vecteurs
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
est nul, l'équivalence est évidente.
Supposons maintenant
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
tous deux non nuls. Soit
A,B,C\text A,\text B,\text CA,B,C
trois points tels que 
u⃗=AB⃗\vec{u}=\vec{\text A\text B}u=AB
et
v⃗=AC⃗\vec{v}=\vec{\text A\text C}v=AC
. Dire que leur produit scalaire est nul équivaut à dire que
AB×AC×cos⁡(AB⃗;AC⃗)=0\text A\text B\times \text A\text C\times \cos(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})=0AB×AC×cos(AB;AC)=0
. Comme
A≠B\text A\ne \text BA=B
et
A≠C\text A\ne \text CA=C
(sinon l'un des vecteurs
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
serait nul), le produit est nul si et seulement si
cos⁡(AB⃗;AC⃗)=0\cos(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})=0cos(AB;AC)=0
, soit lorsque l'angle orienté
(AB⃗;AC⃗)(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})(AB;AC)
est droit et les droites
(AB)(\text{AB})(AB)
et
(AC)(\text{AC})(AC)
sont perpendiculaires.

Projeté orthogonal

Rappel
Le projeté orthogonal d'un point
C\text CC
sur une droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
est le point d'intersection entre la droite 
(AB)(\text A\text B)(AB)
et la perpendiculaire à 
(AB)(\text A\text B)(AB)
 passant par
C.\text C.C.
Propriété
Soit
A,B,C\text A,\text B,\text CA,B,C
trois points (
A\text AA
et
B\text BB
distincts).
Si
H\text HH
est le projeté orthogonal du point
C\text CC
sur la droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
, alors
AB⃗⋅AC⃗=AB⃗⋅AH⃗\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text C}=\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text H}AB⋅AC=AB⋅AH
.
Remarque
Les vecteurs
AB⃗\vec{\text A\text B}AB
et
AH⃗\vec{\text A\text H}AH
sont colinéaires. Voici les deux configurations possibles.
    • Si
(AB⃗;AC⃗)(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})(AB;AC)
est aigu, 
AB⃗⋅AC⃗=AB×AH\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text C}=\text A\text B\times \text A\text HAB⋅AC=AB×AH
.
    • Sinon 
AB⃗⋅AC⃗=−AB×AH\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text C}=-\text A\text B\times \text A\text HAB⋅AC=−AB×AH
.