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Propriétés du produit scalaire

\(\text A,\text B,\text C\)

Sommaire

Produit scalaire et normeProduit scalaire et coordonnéesBilinéarité et opérationsApplication du produit scalaire - ExempleChoix de l'expression la plus efficace - Exemple

Produit scalaire et norme

Propriété
Soit
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
deux vecteurs du plan et
A,B,C\text A,\text B,\text CA,B,C
trois points tels que
u⃗=AB⃗\vec{u}=\vec{\text A\text B}u=AB
et
v⃗=AC⃗\vec{v}=\vec{\text A\text C}v=AC
. On a :
u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}(\lVert\vec{u}+\vec{v}\lVert^2-\lVert\vec{u}\lVert^2-\lVert\vec{v}\lVert^2)u⋅v=21​(∥u+v∥2−∥u∥2−∥v∥2)
AB⃗⋅AC⃗=12(∥AB⃗+AC⃗∥2−∥AB⃗∥2−∥AC⃗∥2)\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}=\frac{1}{2}(\lVert\vec{\text A\text B}+\vec{\text A\text C}\lVert^2-\lVert\vec{\text A\text B}\lVert^2-\lVert\vec{\text A\text C}\lVert^2)AB⋅AC=21​(∥AB+AC∥2−∥AB∥2−∥AC∥2)
Démonstration
Si
u⃗=0⃗\vec{u}=\vec{0}u=0
, le produit scalaire est nul et 
12(∥0⃗+v⃗∥2−∥0⃗∥2−∥v⃗∥2)=0\frac{1}{2}(\lVert\vec{0}+\vec{v}\lVert^2-\lVert\vec{0}\lVert^2-\lVert\vec{v}\lVert^2)=021​(∥0+v∥2−∥0∥2−∥v∥2)=0
, l'égalité est donc vraie.
Si
u⃗≠0⃗\vec{u} \ne \vec{0}u=0
, on munit le plan d'un repère orthonormé 
(A;I;J)(\text A;\text I;\text J)(A;I;J)
avec
AI⃗=1∥u⃗∥u⃗\vec{\text A\text I}=\frac{1}{\lVert\vec{u}\lVert}\vec{u}AI=∥u∥1​u
(vecteur de norme unitaire colinéaire à 
u⃗\vec{u}u
).
Soit 
θ\thetaθ
une mesure de l'angle
(AB⃗;AC⃗)=(u⃗;v⃗)(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})=(\vec{u};\vec{v})(AB;AC)=(u;v)
. Dans le repère
(A;I;J)(\text A;\text I;\text J)(A;I;J)
, les coordonnées de
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
sont
u⃗(∥u⃗∥0)\vec u \begin{pmatrix} \lVert\vec{u}\lVert \\ 0 \end{pmatrix}u(∥u∥0​)
et
v⃗(∥v⃗∥cos⁡θ∥v⃗∥sin⁡θ)\vec v \begin{pmatrix} \lVert\vec{v}\lVert \cos\theta \\ \lVert\vec{v}\lVert \sin\theta \end{pmatrix}v(∥v∥cosθ∥v∥sinθ​)
. On en déduit
u⃗+v⃗(∥u⃗∥+∥v⃗∥cos⁡θ∥v⃗∥sin⁡θ)\vec{u}+\vec{v} \begin{pmatrix} \lVert\vec{u}\lVert+\lVert\vec{v}\lVert \cos\theta \\ \lVert\vec{v}\lVert \sin\theta \end{pmatrix}u+v(∥u∥+∥v∥cosθ∥v∥sinθ​)
.
Ainsi,
∥u⃗+v⃗∥2=(∥u⃗∥+∥v⃗∥cos⁡θ)2+(∥v⃗∥sin⁡θ)2=∥u⃗∥2+2∥u⃗∥×∥v⃗∥cos⁡θ+∥v⃗∥2cos⁡2θ+∥v⃗∥2sin⁡2θ\lVert\vec{u}+\vec{v}\lVert^2=(\lVert\vec{u}\lVert+\lVert\vec{v}\lVert \cos\theta)^2+(\lVert\vec{v}\lVert \sin\theta)^2=\lVert\vec{u}\lVert^2+2\lVert\vec{u}\lVert \times\lVert\vec{v}\lVert \cos\theta+\lVert\vec{v}\lVert^2\cos^2\theta+\lVert\vec{v}\lVert^2\sin^2\theta∥u+v∥2=(∥u∥+∥v∥cosθ)2+(∥v∥sinθ)2=∥u∥2+2∥u∥×∥v∥cosθ+∥v∥2cos2θ+∥v∥2sin2θ
∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2∥u⃗∥×∥v⃗∥cos⁡θ+∥v⃗∥2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=∥u⃗∥2+2∥u⃗∥×∥v⃗∥cos⁡θ+∥v⃗∥2\lVert\vec{u}+\vec{v}\lVert^2=\lVert\vec{u}\lVert^2+2\lVert\vec{u}\lVert \times\lVert\vec{v}\lVert \cos\theta+\lVert\vec{v}\lVert^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\lVert\vec{u}\lVert^2+2\lVert\vec{u}\lVert \times\lVert\vec{v}\lVert \cos\theta+\lVert\vec{v}\lVert^2∥u+v∥2=∥u∥2+2∥u∥×∥v∥cosθ+∥v∥2(cos2θ+sin2θ)=∥u∥2+2∥u∥×∥v∥cosθ+∥v∥2
∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\lVert\vec{u}+\vec{v}\lVert^2=\lVert\vec{u}\lVert^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\lVert\vec{v}\lVert^2∥u+v∥2=∥u∥2+2u⋅v+∥v∥2
d'où 
u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}(\lVert\vec{u}+\vec{v}\lVert^2-\lVert\vec{u}\lVert^2-\lVert\vec{v}\lVert^2)u⋅v=21​(∥u+v∥2−∥u∥2−∥v∥2)
.
Exemple
La figure suivante montre un parallélogramme
ABCD\text A\text B\text C\text DABCD
avec
AB=4,BC=3\text A\text B=4, \text B\text C=3AB=4,BC=3
et
AC=6\text A\text C=6AC=6
.
Déterminons le produit scalaire
AB⃗⋅AD⃗\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text D}AB⋅AD
à l'aide de la propriété précédente.
AB⃗⋅AD⃗=12(∥AB⃗+AD⃗∥2−∥AB⃗∥2−∥AD⃗∥2)\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text D}=\frac{1}{2}(\lVert \vec{\text A\text B}+\vec{\text A\text D}\lVert^2-\lVert \vec{\text A\text B}\lVert^2-\lVert \vec{\text A\text D}\lVert^2)AB⋅AD=21​(∥AB+AD∥2−∥AB∥2−∥AD∥2)
. Comme
AB⃗+AD⃗=AC⃗\vec{\text A\text B}+\vec{\text A\text D}=\vec{\text A\text C}AB+AD=AC
, on en déduit 
AB⃗⋅AD⃗=12(∥AC⃗∥2−∥AB⃗∥2−∥AD⃗∥2)\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text D}=\frac{1}{2}(\lVert \vec{\text A\text C}\lVert^2-\lVert \vec{\text A\text B}\lVert^2-\lVert \vec{\text A\text D}\lVert^2)AB⋅AD=21​(∥AC∥2−∥AB∥2−∥AD∥2)
soit 
AB⃗⋅AD⃗=12(62−42−32)=112\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text D}=\dfrac{1}{2}(6^2-4^2-3^2) = \dfrac{11}{2}AB⋅AD=21​(62−42−32)=211​
.

Produit scalaire et coordonnées

Propriété
Dans un repère orthonormé
(O,I,J)(\text O,\text I,\text J)(O,I,J)
, on considère les vecteurs 
u⃗(xy)\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}u(xy​)
 et 
v⃗(x′y′)\vec v \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}v(x′y′​)
.
Leur produit scalaire est donné par
u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'u⋅v=xx′+yy′
.
Démonstration
On utilise l'expression du produit scalaire avec les normes pour obtenir le résultat cherché.
u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}(\lVert\vec{u}+\vec{v}\lVert^2-\lVert\vec{u}\lVert^2-\lVert\vec{v}\lVert^2)u⋅v=21​(∥u+v∥2−∥u∥2−∥v∥2)
u⃗⋅v⃗=12[(x+x′)2+(y+y′)2−(x2+y2)−(x′2+y′2)]\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}\Big[(x+x')^2+(y+y')^2-(x^2+y^2)-(x'^2+y'^2)\Big]u⋅v=21​[(x+x′)2+(y+y′)2−(x2+y2)−(x′2+y′2)]
u⃗⋅v⃗=12(x2+2xx′+x′2+y2+2yy′+y′2−x2−y2−x′2−y′2)\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}(x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2-x^2-y^2-x'^2-y'^2)u⋅v=21​(x2+2xx′+x′2+y2+2yy′+y′2−x2−y2−x′2−y′2)
u⃗⋅v⃗=12(2xx′+2yy′)=xx′+yy′\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}(2xx'+2yy')=xx'+yy'u⋅v=21​(2xx′+2yy′)=xx′+yy′
Exemple
On veut calculer le produit scalaire
AB⃗⋅AC⃗\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}AB⋅AC
connaissant les coordonnées des points
A,B,C\text A,\text B,\text CA,B,C
dans le repère orthonormé
(O,I,J)(\text O,\text I,\text J)(O,I,J)
:
A(2;2),B(3;0),C(−1;1)\text A(2;2), \text B(3;0),\text C(-1;1)A(2;2),B(3;0),C(−1;1)
.
On commence par déterminer les coordonnées des vecteurs
AB⃗\vec{\text A\text B}AB
et 
AC⃗\vec{\text A\text C}AC
dans ce repère. On a 
AB⃗(3−20−2)\vec{\text A\text B} \begin{pmatrix} 3-2 \\ 0-2 \end{pmatrix}AB(3−20−2​)
soit 
AB⃗(1−2)\vec{\text A\text B} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}AB(1−2​)
. De façon analogue, on obtient 
AC⃗(−3−1)\vec{\text A\text C} \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}AC(−3−1​)
. En utilisant la formule du produit scalaire par les coordonnées des vecteurs, on a  
AB⃗⋅AC⃗=1×(−3)+(−2)×(−1)=−1\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}=1\times(-3)+(-2)\times(-1)=-1AB⋅AC=1×(−3)+(−2)×(−1)=−1
.

Bilinéarité et opérations

Propriétés
Pour tous vecteurs
u⃗,v⃗,w⃗\vec{u},\vec{v},\vec{w}u,v,w
et tout réel
kkk
,
u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅w
(u⃗+v⃗)⋅w⃗=u⃗⋅w⃗+v⃗⋅w⃗(\vec{u}+\vec{v})\cdot \vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}(u+v)⋅w=u⋅w+v⋅w
u⃗⋅(kv⃗)=(ku⃗)⋅v⃗=k(u⃗⋅v⃗)\vec{u}\cdot (k\vec{v})=(k\vec{u})\cdot\vec{v}=k(\vec{u}\cdot\vec{v})u⋅(kv)=(ku)⋅v=k(u⋅v)
Démonstration (idée dans un repère orthonormé)
Si l'on se place dans un repère orthonormé, l'expression du produit scalaire avec les coordonnées permet de vérifier chacune des égalités proposées.
Propriétés Identités remarquables
Pour tous vecteurs
u⃗,v⃗\vec{u},\vec{v}u,v
,
(u⃗+v⃗)2=u⃗2+2u⃗⋅v⃗+v⃗2(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2(u+v)2=u2+2u⋅v+v2
soit
∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\lVert\vec{u}+\vec{v}\lVert^2=\lVert\vec{u}\lVert^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\lVert\vec{v}\lVert^2∥u+v∥2=∥u∥2+2u⋅v+∥v∥2
(u⃗−v⃗)2=u⃗2−2u⃗⋅v⃗+v⃗2(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2(u−v)2=u2−2u⋅v+v2
soit
∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\lVert\vec{u}-\vec{v}\lVert^2=\lVert\vec{u}\lVert^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\lVert\vec{v}\lVert^2∥u−v∥2=∥u∥2−2u⋅v+∥v∥2
(u⃗+v⃗)(u⃗−v⃗)=u⃗2−v⃗2=∥u⃗∥2−∥v⃗∥2(\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2=\lVert\vec{u}\lVert^2-\lVert\vec{v}\lVert^2(u+v)(u−v)=u2−v2=∥u∥2−∥v∥2
Démonstration
Il suffit de développer chacune des trois expressions en utilisant les propriétés déjà étudiées pour réduire et simplifier les résultats.

Application du produit scalaire - Exemple

Dans un carré
ABCD\text A\text B\text C\text DABCD
, soit
E\text EE
et
F\text FF
les milieux respectifs des segments
[AB][\text A\text B][AB]
et
[BC][\text B\text C][BC]
. La situation est illustrée dans le fichier de géométrie dynamique où ont été tracés les segments
[AF][\text A\text F][AF]
et
[DE][\text D\text E][DE]
.
Il semblerait que les droites
(AF)(\text A\text F)(AF)
et
(DE)(\text D\text E)(DE)
soient perpendiculaires. Nous allons valider ou réfuter cette conjecture à l'aide du produit scalaire.
En effet, d'après le cours, nous savons que 
(AF)(\text A\text F)(AF)
et
(DE)(\text D\text E)(DE)
sont perpendiculaires si et seulement si
AF⃗⋅DE⃗=0.\vec{\text A\text F}\cdot{\vec{\text D\text E}}=0.AF⋅DE=0.
On a
AF⃗⋅DE⃗=(AB⃗+BF⃗)⋅(DA⃗+AE⃗).\vec{\text A\text F}\cdot{\vec{\text D\text E}}=(\vec{\text A\text B}+\vec{\text B\text F})\cdot(\vec{\text D\text A}+\vec{\text A\text E}).AF⋅DE=(AB+BF)⋅(DA+AE).
AF⃗⋅DE⃗=AB⃗⋅DA⃗+AB⃗⋅AE⃗+BF⃗⋅DA⃗+BF⃗⋅AE⃗.\vec{\text A\text F}\cdot{\vec{\text D\text E}}=\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text D\text A}+\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text E}+\vec{\text B\text F}\cdot\vec{\text D\text A}+\vec{\text B\text F}\cdot\vec{\text A\text E}.AF⋅DE=AB⋅DA+AB⋅AE+BF⋅DA+BF⋅AE.
Or,
AB⃗⋅DA⃗=BF⃗⋅AE⃗=0\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text D\text A}=\vec{\text B\text F}\cdot\vec{\text A\text E}=0AB⋅DA=BF⋅AE=0
car les directions de chaque couple de vecteurs sont perpendiculaires dans un carré. De plus, 
AB⃗⋅AE⃗=AB×AE×cos⁡(0)=AB×12AB=12AB2\vec {\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text E}=\text A\text B\times \text A\text E\times \cos(0)=\text A\text B\times \dfrac{1}{2}\text A\text B=\dfrac{1}{2}\text A\text B^2AB⋅AE=AB×AE×cos(0)=AB×21​AB=21​AB2
et
BF⃗⋅DA⃗=BF×DA×cos⁡(π)=−12BC×AD=−12BC×BC=−12BC2=−12AB2\vec {\text B\text F}\cdot\vec{\text D\text A}=\text B\text F\times \text D\text A\times \cos(\pi)=-\dfrac{1}{2}\text B\text C\times \text A\text D=-\dfrac{1}{2}\text B\text C\times \text B\text C=-\dfrac{1}{2}\text B\text C^2=-\dfrac{1}{2}\text A\text B^2BF⋅DA=BF×DA×cos(π)=−21​BC×AD=−21​BC×BC=−21​BC2=−21​AB2
Au total, on a donc 
AF⃗⋅DE⃗=0+12AB2−12AB2+0=0\vec{\text A\text F}\cdot{\vec{\text D\text E}}=0+\dfrac{1}{2}\text A\text B^2-\dfrac{1}{2}\text A\text B^2+0=0AF⋅DE=0+21​AB2−21​AB2+0=0
Les vecteurs
AF⃗\vec{\text A\text F}AF
et
DE⃗\vec{\text D\text E}DE
sont donc orthogonaux et les droites
(AF)(\text A\text F)(AF)
et
(DE)(\text D\text E)(DE)
sont perpendiculaires.

Choix de l'expression la plus efficace - Exemple

Nous allons calculer le produit scalaire
AB⃗⋅AC⃗\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}AB⋅AC
dans chacun des cas suivants en choisissant l'expression qui rend son calcul le plus simple possible.
    • Dans laFigure 1,
B\text BB
est le projeté orthogonal de
C\text CC
sur
(AB)(\text A\text B)(AB)
. On a donc
AB⃗⋅AC⃗=AB×AB=AB2=32=9\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}=\text A\text B\times \text A\text B=\text A\text B^2=3^2=9AB⋅AC=AB×AB=AB2=32=9
.
    • Dans laFigure 2, on utilise l'expression du produit scalaire avec les normes. On a
AB⃗⋅AC⃗=12(AC2+AB2−BC2)=12(36+16−9)=432\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}=\dfrac1 2(\text A\text C^2+\text A\text B^2-\text B\text C^2)=\dfrac 1 2 (36+16-9)=\dfrac {43} 2AB⋅AC=21​(AC2+AB2−BC2)=21​(36+16−9)=243​
.
    • Dans laFigure 3, on reconnaît un repère orthonormé et on peut utiliser l'expression avec les coordonnées des vecteurs
AB⃗(22)\vec {\text A\text B} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}AB(22​)
et 
AC⃗(−14)\vec {\text A\text C} \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}AC(−14​)
. Ainsi
AB⃗⋅AC⃗=2×(−1)+2×4=6\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}=2\times (-1)+2\times 4=6AB⋅AC=2×(−1)+2×4=6
.
    • Dans laFigure 4, on utilise l'identité remarquable
BC⃗2=(AC⃗−AB⃗)2\vec{\text B\text C}^2=(\vec{\text A\text C}-\vec{\text A\text B})^2BC2=(AC−AB)2
qui donne
AB⃗⋅AC⃗=12(AB2+AC2−BC2)=26,125\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}=\dfrac1 2 (\text A\text B^2+\text A\text C^2-\text B\text C^2)=26,125AB⋅AC=21​(AB2+AC2−BC2)=26,125
.
    • Enfin, dans laFigure 5, on utilise la formule avec le cosinus et on a  
AB⃗⋅AC⃗=AB×AC×cos⁡(π4)=32\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}=\text A\text B\times \text A\text C \times \cos(\dfrac{\pi}{4})=3\sqrt{2}AB⋅AC=AB×AC×cos(4π​)=32​
.