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Fractions

La division par \(\boldsymbol 0\) n'existe pas. Pourquoi?

Sommaire

✎ Fraction et écriture fractionnaire✎ Simplification de fractions✎ Fractions égales✎ Addition et soustraction de fractionsAdditions et soustractions de fractions✎ Multiplication et division de fractionsMultiplication et division de fractions☛ Calculer avec des fractions

✎ Fraction et écriture fractionnaire

La division par \(\boldsymbol 0\) n'existe pas. Pourquoi?
Une division représente un partage équitable. Par exemple, diviser par 
222
 un paquet de bonbons revient à partager de manière équitable cette quantité entre 
222
 individus. Or, s'il n'y a personne, la question du partage ne se pose pas !
Définition
Une fraction est un quotient de deux nombres entiers relatifs.
Soit 
aaa
 et 
bbb
 deux nombres entiers relatifs, avec
bbb
 non nul.
Alors 
ab\dfrac{a}{b}ba​
 s'appelle une fraction.
aaa
 est lenumérateur, 
bbb
 est ledénominateur.
ab\dfrac{a}{b}ba​
est le nombre qui, multiplié par
bbb
, donne
aaa
.
Autrement dit, on a 
ab×b=a\dfrac{a}{b}\times b=aba​×b=a
.
Exemples
37;−65;1−4\dfrac{3}{7}\quad;\quad \dfrac{-6}{5}\quad;\quad \dfrac{1}{-4}73​;5−6​;−41​
 sont des fractions.
1−4=−0,25\dfrac{1}{-4}=-0,25−41​=−0,25
Remarque
Les nombres 
0,63;70,1;2,51,3\dfrac{0,6}{3}\quad;\quad \dfrac{7}{0,1}\quad;\quad\dfrac{2,5}{1,3}30,6​;0,17​;1,32,5​
 ne s'appellent pas des fractions, car le numérateur et le dénominateur ne sont pas tous les deux des nombres entiers relatifs. On dit que ces nombres sont desécritures fractionnaires.
Par abus de langage, on parle presque toujours de fractions.
Toutes les règles de calcul concernant les fractions restent valables pour les écritures fractionnaires.

✎ Simplification de fractions

Définition
Une fraction est diteirréductiblelorsque son numérateur et son dénominateur ont un seul diviseur commun qui est
111
.
Remarque
Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont "dans une même table de multiplication", alors cette fraction n'est pas irréductible. 
Propriété
Pour tous nombres
aaa
,
bbb
 et
kkk
 entiers relatifs tels que
b≠0b \ne 0b=0
 et 
k≠0k \ne 0k=0
, on a :
a×kb×k=ab\qquad \dfrac{a \color{red}{\times k}}{b \color{red}{\times k}}=\dfrac{a}{b} \qquadb×ka×k​=ba​
et
a÷kb÷k=ab\qquad \dfrac{a \color{red}{\div k}}{b \color{red}{\div k}}=\dfrac{a}{b} \qquadb÷ka÷k​=ba​
Remarque
Pour simplifier une fraction, il ne faut pas hésiter à décomposer son numérateur et son dénominateur sous la forme de produits, comme dans les exemples ci-dessous.
Exemples\(\qquad\dfrac{20}{15}=\dfrac{\color{red}5\times4}{\color{red}5\times3}=\dfrac{4}{3}\)  On simplifie par 
5\color{red}55
.
Les nombres 
333
 et 
444
 n'ont pas de diviseur commun autre que
111
. Donc la fraction 
43\dfrac{4}{3}34​
 est irréductible.
−8154=−9×96×9=−96=−3×32×3=−32\qquad \dfrac{-81}{54}=-\dfrac{9 \times \color{red} 9}{6 \times \color{red}9}=-\dfrac{9}{6}=-\dfrac{3 \times \color{blue} 3}{2 \times \color{blue}3}=-\dfrac{3}{2}54−81​=−6×99×9​=−69​=−2×33×3​=−23​
 .
Ici, deux simplifications successives sont effectuées.
On peut aussi procéder, en une seule étape, de la manière suivante.
−8154=−27×327×2=−32\dfrac{-81}{54}= -\dfrac{\color{red}{27}\times3}{\color{red}{27}\times2}=-\dfrac{3}{2}54−81​=−27×227×3​=−23​
 .
Une seule simplification par 
27\color{red}{27}27
 est effectuée.
La fraction 
−32-\dfrac{3}{2}−23​
 est irréductible puisque les nombres 
333
 et 
222
 n'ont pas de diviseur commun autre que
111
.

✎ Fractions égales

Propriété
Soit
a,ba, ba,b
 et 
kkk
 des entiers relatifs, avec 
b≠0b\neq0b=0
 et
k≠0k\neq0k=0
.
On a 
ab=a×kb×k\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\color{red}{\times k}}{b\color{red}{\times k}}ba​=b×ka×k​
Autrement dit, si on multiplie le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même entier relatif non nul, alors on obtient une fraction égale à la fraction initiale. 
Exemples
12=1×32×3=36\qquad\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\times3}{2\times3}=\dfrac{3}{6}21​=2×31×3​=63​
25=2×65×6=1230\qquad\dfrac{2}{5}=\dfrac{2\times 6}{5\times 6}=\dfrac{12}{30}52​=5×62×6​=3012​
Remarque
Cette propriété est, par exemple, utile pour additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents.

✎ Addition et soustraction de fractions

Propriété
Pour tous nombres entiers relatifs 
a,ba, ba,b
 et 
ccc
, avec 
b≠0b \neq0b=0
, on a :
ab+cb=a+cbab−cb=a−cb\quad\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b}\qquad\qquad\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b}=\dfrac{a-c}{b}ba​+bc​=ba+c​ba​−bc​=ba−c​
Remarque
Dans la propriété ci-dessus, les fractions que l'on ajoute ou que l'on soustrait ontle même dénominateur!
Exemples
35+15=3+15=4535−15=3−15=25\qquad \dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{3+1}{5}=\dfrac{4}{5}\qquad\qquad\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{3-1}{5}=\dfrac{2}{5}53​+51​=53+1​=54​53​−51​=53−1​=52​
Remarque
Lorsque les fractions n'ont pas le même dénominateur, il faut modifier l'écriture d'au moins l'une des deux afin qu'elles aient le même dénominateur.
Exemples
  • \(\qquad\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1\times 2}{3\times 2}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2-1}{6}=\dfrac{1}{6}\)
Ici, le dénominateur de la seconde fraction est un multiple de celui de la première. Nous n'avons donc besoin de modifier l'écriture que de la première fraction.
  • \(\qquad\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3\times 4}{5\times 4}+\dfrac{1\times 5}{4\times 5}=\dfrac{12}{20}+\dfrac{5}{20}=\dfrac{12+5}{20}=\dfrac{17}{20}\)
−57+13=−5×37×3+1×73×7=−1521+721=−15+721=7−1521=−821\qquad\dfrac{-5}{7}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{-5\times 3}{7\times 3}+\dfrac{1\times 7}{3\times 7}=\dfrac{-15}{21}+\dfrac{7}{21}=\dfrac{-15+7}{21}=\dfrac{7-15}{21}=\dfrac{-8}{21}7−5​+31​=7×3−5×3​+3×71×7​=21−15​+217​=21−15+7​=217−15​=21−8​
Dans les deux exemples précédents, il est nécessaire de modifier l'écriture des deux fractions que l'on ajoute.
  • \(\qquad\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{3\times 3}{3\times 4}+\dfrac{5\times2}{6\times2}=\dfrac{9}{12}+\dfrac{10}{12}=\dfrac{19}{12}\)
Ici, nous avons modifié l'écriture des deux fractions en utilisant le plus petit multiple commun aux nombres
444
 et 
666
, c'est-à-dire
121212
.

Additions et soustractions de fractions

Exercice 1
Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
A=14+38B=710−15C=1+12D=12−1E=23+16−512E=3−34+18\begin{array}{}A=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}\qquad&B=\dfrac{7}{10}-\dfrac{1}{5}\qquad&C=1+\dfrac{1}{2}\\D=\dfrac{1}{2}-1\qquad&E=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{12}\qquad&E=3-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{8}\end{array}A=41​+83​D=21​−1​B=107​−51​E=32​+61​−125​​C=1+21​E=3−43​+81​​
Exercice 2
Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
A=76+94B=−415+310C=76−139D=−3+57E=12−73+34\begin{array}{lll}A=\dfrac{7}{6}+\dfrac{9}{4} \qquad & B=-\dfrac{4}{15}+\dfrac{3}{10} \qquad & C=\dfrac{7}{6} - \dfrac{13}{9} \\ \\D=-3+\dfrac{5}{7} \qquad & E=\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{3}+\dfrac{3}{4}\end{array}A=67​+49​D=−3+75​​B=−154​+103​E=21​−37​+43​​C=67​−913​

✎ Multiplication et division de fractions

PropriétéMultiplier deux fractions
Pour tous nombres
aaa
,
bbb
,
ccc
 et
ddd
 entiers relatifs, avec 
b≠0b \ne 0b=0
 et 
d≠0d \ne 0d=0
, on a :
ab×cd=a×cb×d\qquad \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a \times c}{b \times d}ba​×dc​=b×da×c​
Exemples
∙−57×3−4=−5×37×(−4)=−15−28=1528\qquad \small \bullet \quad \normalsize \dfrac{-5}{7} \times \dfrac{3}{-4}=\dfrac{-5 \times 3}{7 \times (-4)}=\dfrac{-15}{-28}=\dfrac{15}{28}∙7−5​×−43​=7×(−4)−5×3​=−28−15​=2815​
∙1215×2114=12×2115×14=6×2×3×73×5×7×2=65\qquad \small \bullet \quad \normalsize \dfrac{12}{15} \times \dfrac{21}{14}=\dfrac{12 \times 21}{15 \times 14}=\dfrac{6 \times \color{red}2 \times \color{blue}3 \times \color{green}7}{\color{blue}3 \times 5 \times \color{green}7 \times \color{red}2}=\dfrac{6}{5}∙1512​×1421​=15×1412×21​=3×5×7×26×2×3×7​=56​
PropriétéMultiplier une fraction par un nombre
Pour tous nombres entiers relatifs 
a,  b,  ca,\;b,\;ca,b,c
, avec \(b\ne0\), on a :
ab×c=c×ab=a×cb\qquad \dfrac{a}{b}\times c=c\times \dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times c}{b}ba​×c=c×ba​=ba×c​
Exemple
−58×6=−5×68=−5×2×34×2=−154\quad \dfrac{-5}{8} \times 6=\dfrac{-5 \times 6}{8}=\dfrac{-5 \times \color{red} 2 \times 3}{4 \times \color{red} 2}=-\dfrac{15}{4}8−5​×6=8−5×6​=4×2−5×2×3​=−415​
PropriétéDiviser deux fractions
Pour tous nombres entiers relatifs 
aaa
,
bbb
,
ccc
 et
ddd
 , avec 
b≠0b \ne 0b=0
, 
c≠0c \ne 0c=0
et 
d≠0d \ne 0d=0
, on a donc :
ab÷cd=abcd=ab×dc\qquad \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d}=\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b} \times\dfrac{d}{c}ba​÷dc​=dc​ba​​=ba​×cd​
Pour diviser la fraction
ab\dfrac{a}{b}ba​
 par la fraction
cd\dfrac{c}{d}dc​
, on multiplie
ab\dfrac{a}{b}ba​
 par l'inverse de 
cd\dfrac{c}{d}dc​
 c'est-à-dire par
dc\dfrac{d}{c}cd​
.
Exemples
∙−57÷34=−5734=−57×43=−5×47×3=−2021\qquad \small \bullet \quad \normalsize \dfrac{-5}{7} \div\dfrac{3}{4}=\dfrac{\dfrac{-5}{7}}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{-5}{7} \times \dfrac{4}{3}=\dfrac{-5 \times 4}{7 \times 3}=-\dfrac{20}{21}∙7−5​÷43​=43​7−5​​=7−5​×34​=7×3−5×4​=−2120​
∙34÷7=347=34×17=3×14×7=328\qquad \small \bullet \quad \normalsize \dfrac{3}{4} \div7=\dfrac{\dfrac{3}{4}}{7}=\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{7}=\dfrac{3 \times 1}{4 \times 7}=\dfrac{3}{28}∙43​÷7=743​​=43​×71​=4×73×1​=283​
∙−8÷14−5=−814−5=−8×−514=−8×(−5)14=2×4×52×7=207\qquad \small \bullet \quad \normalsize -8 \div\dfrac{14}{-5}=\dfrac{-8}{\dfrac{14}{-5}}=-8 \times \dfrac{-5}{14} =\dfrac{-8 \times (-5)}{14}=\dfrac{\color{red}2 \times 4 \times 5}{\color{red}2 \times 7}=\dfrac{20}{7}∙−8÷−514​=−514​−8​=−8×14−5​=14−8×(−5)​=2×72×4×5​=720​

Multiplication et division de fractions

Calculer en détaillant les étapes et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
A=−511×32B=−12×−718C=42−28×−15−24D=−2724×15−18×85\begin{array}{ll}A=\dfrac{-5}{11} \times \dfrac{3}{2} \qquad \qquad & B=-12 \times \dfrac{-7}{18} \\ \\C=\dfrac{42}{-28} \times \dfrac{-15}{-24} \qquad \qquad & D=\dfrac{-27}{24} \times \dfrac{15}{-18} \times \dfrac{8}{5} \\ \\ \end{array}A=11−5​×23​C=−2842​×−24−15​​B=−12×18−7​D=24−27​×−1815​×58​​
E=67÷34F=145÷(−6)G=−4÷−367H=6325÷4245\begin{array}{ll}E=\dfrac{6}{7} \div \dfrac{3}{4} \qquad \qquad & F=\dfrac{14}{5} \div (-6) \\ \\G=-4 \div \dfrac{-36}{7} \qquad \qquad & H=\dfrac{63}{25} \div \dfrac{42}{45}\end{array}E=76​÷43​G=−4÷7−36​​F=514​÷(−6)H=2563​÷4542​​

☛ Calculer avec des fractions

 Énoncé
Calculer chacune des expressions suivantes en détaillant la démarche.
A=−73×3+5×(−65)A=-\dfrac{7}{3}\times3 + 5\times\left(-\dfrac{6}{5}\right)A=−37​×3+5×(−56​)
B=83−4×53+12B =\dfrac{8}{3} - 4\times\dfrac{5}{3} + 12B=38​−4×35​+12
C=15×(−7−8)+25×(7+8)C = \dfrac{1}{5}\times(-7-8)+\dfrac{2}{5}\times(7+8)C=51​×(−7−8)+52​×(7+8)
D=1−12+13−14+15D = 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}D=1−21​+31​−41​+51​
Solution
A=-7-6=-13
B=83−203+12=8−203+12=−123+12=−4+12=12−4=8B=\dfrac{8}{3}-\dfrac{20}{3}+12=\dfrac{8-20}{3}+12=\dfrac{-12}{3}+12=-4+12=12-4=8B=38​−320​+12=38−20​+12=3−12​+12=−4+12=12−4=8
C=15×(−15)+25×15=−15+305=155=3C=\dfrac{1}{5}\times (-15)+\dfrac{2}{5}\times 15=\dfrac{-15+30}{5}=\dfrac{15}{5}=3C=51​×(−15)+52​×15=5−15+30​=515​=3
D=60−30+20−15+1260=4760D=\dfrac{60-30+20-15+12}{60}=\dfrac{47}{60}D=6060−30+20−15+12​=6047​