Calcul littéral

Voici deux programmes de calculs.

Programme 1

Choisir un nombre.
Multiplier ce nombre par 3.
Soustraire 2 au résultat.
Multiplier le résultat par 5.

Programme 2

Choisir un nombre.
Soustraire 1 au nombre choisi.
Multiplier le résultat par 10.
Ajouter au résultat le quintuple du nombre de départ.

1.Montrer qu'en prenant

-4

pour nombre de départ, on obtient

-70

avec le programme 2.
2.Donner le résultat des deux programmes en prenant 3 pour nombre de départ. 
3.Donner le résultat des deux programmes en prenant

-2

pour nombre de départ.
4. Louise affirme que : " Pour tout nombre réel, le résultat du programme 1 est égal au résultat du programme 2". A-t-elle raison ?

Expressions littérales

Définition

Une expression littérale est une écriture mathématique contenant une ou plusieurs lettres.

Exemples

Grâce à une expression littérale, on peut exprimer le périmètre d'un rectangle en fonction de sa largeur et sa longueur : un rectangle a pour largeur `l` et pour longueur `L` alors son périmètre s'écrit `2(l+L)` et son aire s'écrit `l\times L`.
Grâce à une expression littérale, on peut exprimer la longueur d'un cercle et l'aire d'un disque en fonction de son rayon : on considère un cercle de rayon `R` alors la longueur de ce cercle s'écrit `2\pi R` et l'aire du disque de rayon `R` s'écrit `\pi \times R^2`.
`2x + 6`, `5 ( 3- 2y)`;`3x^2 + 2x +6x^2- 7x+5` sont des expressions littérales.
Une expression littérale peut parfois être transformée : on la réduit, on la développe, on la factorise. On effectue alors ducalcul littéral.

✎ Développer une expression littérale

Définition

On considère une expression écrite sous la forme d'un produit.
Développercette expression, c'est la transformer pour l'écrire sous la forme d'une somme.

PropriétéSimple distributivité

Pour tous nombres

k

,

a

et

b

, on a :

k(a+b)=ka+kb

.

Exemples

On développe les expressions suivantes en utilisant la simple distributivité.

\(-3(-4x+7) =-3 \times (-4x)-3 \times 7=12x-21\)
\(2x(3x+11)=2x \times 3x + 2x \times 11=6x^2+22x\)

PropriétéDouble distributivité

Pour tous nombres

a

,

b

,

c

et

d

, on a :

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

.

Exemples

On développe des expressions en utilisant la double distributivité.

\small {A(x)=(x+3)(x-7) \\A(x)=x \times x+x \times (-7)+3 \times x+3\times(-7) \\A(x)=x^2-7x+3x-21 \\}

\small {B(x)=(2x-5)(7x-3) \\B(x)=2x \times 7x+2x \times (-3)-5 \times 7x-5 \times(-3) \\B(x)=14x^2-6x-35x+15 \\}

✎ Réduire une expression littérale

Définition

Réduire une expression, c'est la simplifier le plus possible.

Exemple 1

On considère l'expression suivante.

3x + 2y - 4x + 3y

On peut simplifier cette expression en regroupant les termes "en

x

" et les termes "en

y

".

\color{\red}{3x - 4x = -x)

\color{\green}{2y + 3y = 5y}

Ainsi, on obtient :

\color{\red}{3x} \color{\green}{+2y} \color{\red}{- 4x}\color{\green}{ + 3y}=\color{\red}{-x}\color{\green}{+5y}

Exemple 2

On réduit les expressions suivantes.

\(\quad (5-5)x+1=0\times x+1=0+1=0\)
\(\quad (6-5)x=1x=x\)
\(\quad 4(2x-y)+6=8x-4y+6\)
\(\quad -2(3-x)+5(3x-2)=-6+2x+15x-10=17x-16\)

Pour cette réduction, on utilise le résultat suivant.
Pour tous nombres 

a

,

b

,

c

et

d

, on a : 

a-(b+c-d)=a-b-c+d

.

✎ Attention aux parenthèses

MéthodePriorités opératoires

Les parenthèses indiquent une priorité dans un calcul en ligne : on doit effectuer en premier les calculs qui se trouvent à l'intérieur des parenthèses.

A=5\times (2+4)=5\times 6=30

B=(7-4\times3)\times 2=(7-12)\times 2=-5\times 2=-10

MéthodeSigne\(-\) devant une parenthèse

-(4-2x)

 signifie

(-1)\times(4-2x)

.

-(3x+12)

 signifie

(-1)\times(3x+12)

.
Ainsi :

A(x)=-(4-2x)=-4+2x

B(x)=1-3(x+4)=1-(3x+12)=1-3x-12=-3x-11

On peut aussi procéder plus directement :

B(x)=1-3(x+4)=1-3x-12=-3x-11

C(x)=\color{red}-(3x+2)(4-2x)=\color{red}{-(}12x-6x^2+8-4x\color{red})=\color{red}{-(}-6x^2+8x+8\color{red})

Donc 

C(x)=6x^2-8x-8

MéthodeParenthèses et puissances

\left( \dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2\times 2}{3\times3}=\dfrac{4}{9}

\dfrac{2^2}{3}=\dfrac{4}{3}

 Ici, la puissance ne porte que sur 

2

.

Remarque

Soit

x

 un nombre. Attention à ne pas confondre

(-x)^2

et

-x^2

.

\qquad(-x)^2=-x\times (-x)=x^2

\qquad-x^2=-x\times x

Exemple

(-2)^4=16

-2^4=-16

  Ici, la puissance ne porte que sur 

2

.

☛ Développer et réduire une expression littérale

Énoncé

Développer et réduire les expressions suivantes.

\begin{array}{lrcl}A(x)=3x(2x-7) \\\\B(y)=(2y-3)(3+4y) \\\\C(t)=-t(2t - 6)+3(t-7) \\\\D(s)=(3s^2+5)(s-4) - s(3s-9) \\\\E(w)= 6w(2-7w)+(5w-8)(1-2w)\end{array}

Solution

A(x)=6x^2-21x

.
(

6

 est le coefficient de 

x^2

et

-21

 est le coefficient de 

x

.)

B(y)=6y+8y^2-9-12y=8y^2-6y-9

.
(

8

 est le coefficient de 

y^2

,

-6

 est le coefficient de 

y

et

-9

 est la constante.)

C(t)=-2t^2+6t+3t-21=-2t^2+9t-21

D(s)=3s^3-12s^2+5s-20-3s^2+9s=3s^3-15s^2+14s-20

E(w)=12w-42w^2+5w-10w^2-8+16w=-52w^2+33w-8

Développer et réduire une expression littérale

Développer et réduire les expressions suivantes.

\begin{array}{lrcl}A(x)=\dfrac{3}{5}x(2x-7) \\\\B(y)=\left(\dfrac{2}{3}y-3\right)(3+4y) \\\\C(t)=-t\left(2t - \dfrac{6}{7}\right)+3\left(\dfrac{t}{7}-7\right) \\\\D(s)=(3s^2+5)(s^4-4) - s^3(3s^5-9) \\\\E(w)= 6w^7(2-7w^2)+(5w^3-8)(1-2w^4)\end{array}

✎ Factoriser une expression littérale - facteur commun

Définition

On considère une expression écrite sous la forme d'une somme.
Factorisercette expression, c'est la transformer pour l'écrire sous la forme d'une produit.

Méthode  Factoriser à l'aide d'un facteur commun

On écrit chaque terme de la somme sous la forme d'un produit. Puis on identifie le (ou les) facteur(s) présent(s) dans chacun des termes : c'est le (ou les) facteur(s) commun(s).

Exemple

3x^2+5x=3x\color{red}{\times x}+5\color{red}{\times x}

3x^2

et

5x

 s'écrivent tous les deux comme un produit dont l'un des facteurs est 

\color{red}x

.
Nous venons ainsi d'exhiber le facteur commun qui est 

\color{red}x

.
Voici la factorisation de l'expression

3x^2 +5x

:

3x^2 +5x=3x\times x+5\times x=(3x+5)\times x=(3x+5)x=x(3x+5)

.

Exemples

\small {\bullet} \normalsize \quad A(x)=9-3x=\color{red}{3\times}3-\color{red}{3\times} x=\color{red}3(3-x)

\small {\bullet} \normalsize \quad B(x)=x^2+x=\color{red}x\times x+\color{red}x\times 1=\color{red}x(x+1)

\small {\bullet} \normalsize \quad C(x) = (x+1)x-3x(x+1) \\\; \, \quad C(x) = \color{red} {(x+1)} \times \color{blue} x \times 1 -3 \times \color{blue} x \times \color{red} {(x+1)} \\\; \,\quad C(x) = \color{red} {(x+1)} \times \color{blue} x \times (1-3) \\\; \,\quad C(x) = {(x+1)} \times x \times (-2) \\\; \,\quad C(x) = -2x(x+1)

\small {\bullet} \normalsize \quad D(x)= (2x-1)(x+3)-(2x-1)(4-x) \\\; \,\quad D(x)= \color{red}{(2x-1)}(x+3)-\color{red}{(2x-1)}(4-x) \\\; \,\quad D(x)=\color{red}{(2x-1)}[(x+3)-(4-x)]\\ \; \,\quad D(x)=(2x-1)(x+3-4+x) \\\; \,\quad D(x)=(2x+1)(2x-1)

☛ Factoriser une expression littérale - facteur commun

Énoncé
Factoriser les expressions suivantes.

A(x)=5x+15

B(a)=6a-a^2

C(y)=7y-7

D(z)=-5z^2-25z

E(b)=-3b(b+6)+7(b+6)

F(n)=n(5n-2)+(2n-3)(5n-2)

G(t)=(t+1)(5t-6)-(5t-6)(-1+4t)

H(m)=(m+3)(6m+2)-(m+3)^2

I(c)=(3c+2)(c+5)-(3c+2)

J(s)=(4s+8)(s-1)+(s+1)(s+2)

Solution

A(x)=5\times x+5\times 3=5(x+3)

B(a)=6\times a-a\times a=a(6-a)

C(y)=7\times y-7\times 1=7(y-1)

D(z)=-5z\times z-5z\times 5\\D(z)=-5z\times z+(-5z)\times 5\\D(z)=-5z(z+5)

E(b)=(b+6)(-3b+7)

F(n)=(5n-2)[n+(2n-3)]\\F(n)=(5n-2)(n+2n-3)\\F(n)=(5n-2)(3n-3)\\ F(n)=(5n-2)(3\times n-3\times 1)\\F(n)=3(5n-2)(n-1)

G(t)=(5t-6)[(t+1)-(-1+4t)]\\G(t)=(5t-6)(t+1+1-4t)\\G(t)=(5t-6)(-3t+2)

H(m)=(m+3)(6m+2)-(m+3)(m+3)\\H(m)=(m+3)[(6m+2)-(m+3)]\\ H(m)=(m+3)(6m+2-m-3) \\H(m)=(m+3)(5m-1)

I(c)=(3c+2)(c+5)-(3c+2)\times 1=(3c+2)(c+5-1)=(3c+2)(c+4)

J(s)=4(s+2)(s-1)+(s+1)(s+2)\\J(s)=(s+2)[4(s-1)+(s+1)]\\J(s)=(s+2)(4s-4+s+1)\\J(s)=(s+2)(5s-3)

La troisième identité remarquable

Propriété

Pour tous nombres 

a

et

b

, on a l'égalité suivante.

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

ExemplesDéveloppement

\begin{array}{lcl}A(x)=(x+7)(x-7) & \qquad &B(y)=(11-3x)(11+3x)\\A(x)=x^2-7^2 & \qquad &B(y)=11^2-(3x)^2 \\A(x)=x^2-49 & \qquad &B(y)=121-9x^2\end{array}

ExemplesFactorisation

\begin{array}{lcl}C(z)=25-z^2 & \qquad &D(t)=16t^2-81\\C(z)=5^2-z^2 & \qquad &D(t)=(4t)^2-9^2 \\C(z)=(5+z)(5-z) & \qquad &D(t)=(4t-9)(4t+9)\end{array}

☛ Développer une expression littérale - Identité remarquable

Énoncé
Développer les expressions en utilisant l'identité remarquable suivante.

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

 pour tous nombres

a

et

b

.

1.

(x+3)(x-3)

2.

(2y+5)(2y-5)

3.

(3z-4)(3z+4)

4.

(7u-2v)(7u+2v)

5.

(8c+d)(8c-d)

Solution

1.

(x+3)(x-3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9

2.

(2y+5)(2y-5) = (2y)^2 - 5^2 = 4y^2 - 25

3.

(3z-4)(3z+4) = (3z)^2 - 4^2 = 9z^2 - 16

4.

(7u-2v)(7u+2v) = (7u)^2 - (2v)^2 = 49u^2 - 4v^2

5.

(8c+d)(8c-d) = (8c)^2 - d^2 = 64c^2 - d^2

☛ Factoriser une expression littérale - Identité remarquable

Énoncé
Factoriser chacune des expressions en utilisant l'identité remarquable suivante.

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

 pour tous nombres

a

et

b

.

1.

4x2 - 25

.

2.

9y2 - 49

.

3.

16z2 - 81

.

4.

144-25t^2

.

5.

100-36u^2

.

Solution

1. Ici,

a = 2x

et

b = 5

.
Donc 

4x^2-25=(2x)^2-5^2=(2x-5)(2x+5)

.

(2x + 5)(2x - 5)

 est la forme factorisée de 

4x^2-25

2. Ici,

a = 3y

et

b = 7

.
Donc 

9y^2-49=(3y)^2-7^2=(3y + 7)(3y - 7)

.

(3y -7)(3x +7)

 est la forme factorisée de 

9y^2-49

3. Ici,

a = 4z

et

b = 9

.
Donc 

16z^2-81=(4z)^2-9^2=(4z + 9)(4z - 9)

.

4. Ici,

a = 12

et

b = 5t

.
Donc 

144-25t^2=12^2-(5t)^2=(12 + 5t)(12 - 5t)

.

5.Ici,

a = 10

et

b = 6u

.
Donc 

100-36u^2=10^2-(6u)^2=(10+6u)(10-6u)

.

Programmes de calcul

Expressions littérales

✎ Développer une expression littérale

✎ ​Réduire une expression littérale

✎ Attention aux parenthèses

☛ Développer et réduire une expression littérale

Développer et réduire une expression littérale

✎ Factoriser une expression littérale - facteur commun

☛ Factoriser une expression littérale - facteur commun

La troisième identité remarquable

☛ Développer une expression littérale - Identité remarquable

☛ Factoriser une expression littérale - Identité remarquable

✎ Réduire une expression littérale