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Arithmétique

Le crible d'Ératosthène est un procédé qui permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un...

Sommaire

Crible d'ErathostèneLe crible d'EratosthèneCrible Erathostène - Corrigé
✎ Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers✎ Nombres premiersArithmétique et raclette aux fromages

Crible d'Erathostène

Le crible d'Eratosthène

Le crible d'Ératosthène est un procédé qui permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier naturel donné
NNN
.
MéthodeTrouver la liste des nombres premier inférieurs à 100
  • 1 n'est pas un nombre premier : le barrer. 
  • 2 est un nombre premier : l'entourer et barrer tous les multiples de 2. 
  • 3 est un nombre premier : l'entourer et barrer tous les multiples de 3. 
  • 5 est un nombre premier : l'entourer et barrer tous les multiples de 5. 
  • Poursuivre. Noter la liste des nombres premiers obtenus (ceux qui ne sont pas barrés).

Crible Erathostène - Corrigé


✎ Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Méthode
Pour décomposer un nombre entier naturel en un produit de facteurs premiers, on utilise la méthode des divisions successives par des nombres premiers jusqu'à ce que le nombre initial soit écrit sous la forme d'un produit de nombres premiers.
Exemple
On veut décomposer le nombre 12 en un produit de facteurs premiers.
  •  On divise 12 par 2. On obtient : \(12 = 6 × 2\).
  •  On divise 6 par 2. On obtient :`6 = 3 × 2`.
On obtient donc : 
12=6×2=2×3×2=2×2×3=22×312 = 6 \times 2 = 2\times3\times2= 2 \times 2 \times 3=2^2\times312=6×2=2×3×2=2×2×3=22×3
.

✎ Nombres premiers

Les nombres premiers sont importants en mathématiques ; ils sont des éléments de base de la théorie des nombres. Ils sont utilisés en cryptographie pour créer des codes secrets, comme dans le système RSA (du nom de ses concepteurs Rivest, Shamir, Adleman).
Définition
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et lui-même. 
Exemples
Les nombres premiers inférieurs à 20 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.
Remarque
Le nombre 1 n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur, lui-même.

Arithmétique et raclette aux fromages

1.a.Justifier que 330 n’est pas un nombre premier. b.Décomposer 330 en produit de facteurs premiers.c.Justifier que 110 divise 330 et ne divise pas 500.d.Décomposer 500 en produit de facteurs premiers.
La fromagerie Ski-Foux a préparé une assiette spéciale raclette. La fromagère a coupé 330 morceaux de fromage au lait cru et 500 morceaux de fromage à l'ail des ours. Elle souhaite répartir le plus de morceaux de fromage possible dans 110 plateaux raclette. Il y aura le même nombre de morceaux de fromage au lait cru dans chaque plateau raclette.
2.Combien de morceaux de fromage au lait cru y a-t-il dans chaque plateau de raclette ?
La fromagère met aussi le même nombre de morceaux de fromage à l'ail des ours dans chaque plateau de raclette.
3. a.Combien de morceaux de fromage à l'ail des ours y a-t-il dans chaque plateau de raclette ?b.Combien de morceaux de fromage à l'ail des ours reste-t-il ?c.Combien de morceaux de fromage à l'ail des ours devrait-elle couper en plus pour ne pas avoir de reste ?
Un plateau de raclette coûte 12 euros. À partir de 10 plateaux de raclette achetés, la fromagère offre une réduction de 5 % sur le montant total.
4.Combien coûtent 12 plateaux de raclette ?