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Ensemble de nombres

 ce symbole signifie "appartient à".

Sommaire

Appartenance, inclusionNombres entiersNombres décimauxNombres rationnelsNombres réels

Appartenance, inclusion

Notations
...\color{red}\in...
 ce symbole signifie "appartient à".
...∉......\color{red}\notin......∈/...
 ce symbole signifie "n'appartient pas à".
On utilise ces symboles pour indiquer si un élément appartient ou non à un ensemble.
Remarque
En géométrie, on utilise par exemple ces symboles pour indiquer si un point appartient ou non à une droite.
A∈d\text A\color{red}{\in}dA∈d
 signifie que le point 
A\text AA
 appartient à la droite 
d
.
B∉d\text B\color{red}\notin dB∈/d
 signifie que le point 
B\text BB
 n'appartient pas à la droite 
d
.
Notation
...\color{red}\subset...
 ce symbole signifie "est inclus dans".
...⊄......\color{red}{\not\subset}......⊂...
 ce symbole signifie "n'est pas inclus dans".
On utilise ces symboles pour indiquer si un ensemble appartient ou non à un autre ensemble.

Nombres entiers

Définition
L'ensemble des nombres entiers naturels, noté
N\mathbb{N}N
, est l'ensemble constitué desnombres entiers positifs
0,1,2,3,4...0, 1, 2, 3,4...0,1,2,3,4...
On note :
N={0;1;2;3;4;5;6;7;...}\mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;5;6;7;...\}N={0;1;2;3;4;5;6;7;...}
.
Remarques
  • Un nombre positif peut être précédé d'un signe \(+\), par exemple \(+3\). En écriture simplifiée, on ne notera que \(3\).
  • L'ensemble\(\mathbb{N}\) est infini.
  • L'ensemble des nombres entiers naturels non nuls se note \(\mathbb{N}^\color{red}*\).
    L'étoile mise "en exposant" signifie qu'on exclut le nombre zéro de l'ensemble.
Définition
L'ensemble des nombres entiers relatifs, noté 
Z\mathbb{Z}Z
, est l'ensemble constitué desnombres entiers positifs et négatifs.
On note :
Z={....−4;−3;−2;−1;0;1;2;3;4;...}\mathbb{Z}=\{....-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...\}Z={....−4;−3;−2;−1;0;1;2;3;4;...}
.
Remarques
  • On visualise une symétrie dans l'ensemble\(\mathbb{Z}\). Dans cet ensemble, chaque nombre a son symétrique par rapport à \(0\).
  • \(\mathbb{Z}^*\)est l'ensemble des nombres entiers relatifs privé de zéro.
Propriété
L'ensemble des nombres entiers naturels est inclus dans l'ensemble des nombres entiers relatifs. On écrit : 
N⊂Z\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}N⊂Z
.
Exemples
  • \(-6\in\mathbb{Z}\) mais \(-6\notin\mathbb{N}\). Donc le plus petit ensemble de nombres dans lequel se trouve \(-6\) est \(\mathbb{Z}\).
  • \(3\in\mathbb{N}\) et \(3\in\mathbb{Z}\) . Donc le plus petit ensemble de nombres dans lequel se trouve le nombre \(3\) est \(\mathbb{N}\).

Nombres décimaux

Définition
Un nombredécimalest un nombre pouvant s'écrire sous la forme
a10n\dfrac{a}{10^n}10na​
, où 
a\in\mathbb{Z}
 et 
n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N
.
Autrement dit : un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de
101010
.
Exemples
5,1=5110 et −71,567=−715671035,1=\dfrac{51}{10} \ \text{et}\ -71,567=\dfrac{-71567}{10^3}5,1=1051​ et −71,567=103−71567​
 sont des nombres décimaux.
Définition
L'ensemble des nombres décimaux se note 
D\mathbb{D}D
.
On a donc :
D={a10nouˋa∈Z  et  n∈N}\mathbb{D}=\left\lbrace \dfrac{a}{10^n} \quad\text{où}\quad a\in \mathbb{Z}\;\text{et}\;n\in\mathbb{N} \right\rbraceD={10na​ouˋa∈Zetn∈N}
.
Remarque
Un nombre entier est aussi un nombre décimal.
Par exemple,
89=891=8910089=\dfrac{89}{1}=\dfrac{89}{10^0}89=189​=10089​
.
Propriété
L'ensemble des nombres entiers relatifs est inclus dans l'ensemble des nombres décimaux.
On a donc :
Z⊂D\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}Z⊂D
 et, finalement,
N⊂Z⊂D\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}N⊂Z⊂D
.
L'ensemble
N\mathbb{N}N
 est un sous-ensemble de l'ensemble
Z\mathbb{Z}Z
 qui lui même est un sous-ensemble de l'ensemble
D\mathbb{D}D
.

Nombres rationnels

Définitions
Un nombre rationnel est un nombre s'écrivant sous la forme 
ab\dfrac{a}{b}ba​
 avec 
a∈Za\in\mathbb{Z}a∈Z
 et 
b∈Z∗b\in\color{red}{\mathbb{Z}^*}b∈Z∗
.
L'ensemble des nombres rationnels se note
Q\mathbb{Q}Q
.
On a alors :
Q={abouˋa∈Z  et  b∈Z∗}\mathbb{Q}=\left\lbrace \dfrac{a}{b} \quad\text{où}\quad a\in \mathbb{Z}\;\text{et}\;b\in\mathbb{Z}^* \right\rbraceQ={ba​ouˋa∈Zetb∈Z∗}
.
Propriété
L'ensemble des nombres décimaux est inclus dans l'ensemble des nombres rationnels. On a donc : 
D⊂Q\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}D⊂Q
.
Comme l'ensemble des nombres décimaux contient l'ensemble des nombres entiers relatifs qui contient lui même l'ensemble des nombres entiers naturels, on obtient :
N⊂Z⊂D⊂Q\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}N⊂Z⊂D⊂Q
.
Exemples
  • \(\dfrac{2}{5}\in\mathbb{Q}\) or \(\dfrac{2}{5}=0,4=\dfrac{4}{10}\in\mathbb{D}\) mais \(\dfrac{2}{5}\notin\mathbb{Z}\) .
    Donc le plus petit ensemble dans lequel se trouve le nombre \(\dfrac{2}{5}\) est l'ensemble \(\mathbb{D}\).
  • \(\dfrac{2}{3}\in\mathbb{Q}\) mais \(\dfrac{2}{3}\notin\mathbb{D}\).
    Donc le plus petit ensemble dans lequel se trouve le nombre \(\dfrac{2}{3}\) est \(\mathbb{Q}\).

Nombres réels

Définition
Les nombres réels sont les abscisses des points d'une droite graduée.
L'ensemble des nombres réels se note
R\mathbb{R}R
.
Sur cette droite graduée, l'abscisse du point 
A\text AA
 est 
−83\dfrac{-8}{3}3−8​
, celle du point 
B\text BB
 est
π\piπ
.
L'abscisse du point 
C\text CC
 est 
2\sqrt22​
, celle de 
D\text DD
 est 
−6,4-6,4−6,4
 et celle de 
E\text EE
 est 
777
.
Propriété
L'ensemble des nombres réels contient tous les nombres rationnels. On a donc : \(\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).
Finalement, on a :
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\qquad\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
.
En résumé
​​​​​Exemples
  • \(\sqrt2\in\mathbb{R}\) et\(\sqrt2\notin\mathbb{Q}\).
    Le plus petit ensemble dans lequel se trouve \(\sqrt2\) est \(\mathbb{R}\).
  • \(-56,8\in\mathbb{R}\) et\(-56,8=\dfrac{-568}{10}\in\mathbb{D}\).
  • \(-56,8\)  n'est pas un nombre entier donc le plus petit ensemble de nombres dans lequel se trouve \(-56,8\) est \(\mathbb{D}\).