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Intervalle, inégalité, inéquation

\(<\quad ;\quad >\quad;\quad\leq\quad;\quad\geq\)

Sommaire

Lire une inégalitéIntervalles - DéfinitionIntervalles ayant une extrémitéIntervalles ayant deux extrémitésCentre et rayon d'un intervalleIntersection et réunion d'intervallesInéquation

Lire une inégalité

Notations
On dispose des
444
 symboles suivants.
<;>;≤;≥<\quad ;\quad >\quad;\quad\leq\quad;\quad\geq<;>;≤;≥
En lisant de la gauche vers la droite :
  • \(<\)  signifie "est strictement inférieur à" ;
  • \(>\) signifie "est strictement supérieur à" ;
  • \(\leq\) signifie "est inférieur ou égal à" ;
  • \(\geq\) signifie "est supérieur ou égal à".
Exemples
  • \(6>2\) se lit "\(6\) est strictement supérieur à \(2\)".
  • \(\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{4}\) se lit "\(\dfrac{1}{2}\) est strictement inférieur à \(\dfrac{3}{4}\)".
  • \(-5<0\) se lit  "\(-5\) est strictement inférieur à\(0\) " qui se lit aussi "\(-5\) est strictement négatif".
  • \(-5\leq0\) se lit "\(-5\) est inférieur ou égal à \(0\) " qui se lit aussi  "\(-5\) est négatif ou nul".
  • \(x>0\) se lit "\(x\) est strictement positif".

Intervalles - Définition

Définition
Un intervalle de
R\mathbb{R}R
 est une partie (un sous-ensemble) de l'ensemble des nombres réels.
Notation
Un intervalle se note entre crochets.
Remarque
On a :
R=]−∞;+∞[\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[R=]−∞;+∞[
.
−∞-\infty−∞
 se lit "moins l'infini" et 
+∞+\infty+∞
 se lit "plus l'infini".

Intervalles ayant une extrémité

Définitions et notations
Soit
aaa
 un réel.
  • L'intervalle noté\(\left]-\infty;a\right]\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(x\leq a\).
    L'extrémité \(a\) fait partie de l'intervalle.
  • L'intervalle noté\(\left]-\infty;a\right[\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(x< a\).
    L'extrémité \(a\) ne fait pas partie de l'intervalle.
  • L'intervalle noté\(\left[a;+\infty\right[\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(x\geq a\). 
    L'extrémité \(a\) fait partie de l'intervalle.
  • L'intervalle noté\(\left]a;+\infty\right[\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(x> a\). 
    L'extrémité \(a\) ne fait pas partie de l'intervalle.
Notation
R+=[0;+∞[\mathbb{R}_+=[0;+\infty[R+​=[0;+∞[
  et 
R−=]−∞;0]\mathbb{R}_-=]-\infty;0]R−​=]−∞;0]
.
Exemples
Sur la droite graduée ci-dessous, l'intervalle
[−2;+∞[[-2;+\infty[[−2;+∞[
 est représenté en rouge.
x∈[−2;+∞[⇔x≥−2x\in[-2;+\infty[ \Leftrightarrow x\geq -2x∈[−2;+∞[⇔x≥−2

Intervalles ayant deux extrémités

 Définitions et notations
Soit 
a∈Ra\in \mathbb{R}a∈R
 et 
b∈Rb\in \mathbb{R}b∈R
 avec 
a<ba<ba<b
.
  • L'intervalle noté\(\left[a;b\right]\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(a\leq x\leq b\).
    Les extrémités \(a\) et\(b\) font partie de l'intervalle.
  • L'intervalle noté\(\left]a;b\right[\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(a<x< b\).
    Les extrémités \(a\) et\(b\) ne font pas partie de l'intervalle.
  • L'intervalle noté\(\left[a;b\right[\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(a\leq x< b\). 
    L'extrémité \(a\) fait partie de l'intervalle mais l'extrémité\(b\) ne fait pas partie de l'intervalle.
  • L'intervalle noté\(\left]a;b\right]\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(a<x \leq b\). 
    L'extrémité \(b\) fait partie de l'intervalle mais l'extrémité\(a\) ne fait pas partie de l'intervalle.
​​​​​​
Exemples
  • Sur la droite graduée ci-dessous, l'intervalle\([-4;5[\) est représenté en rouge.\(\qquad x\in[-4;5[ \iff -4\leq x<5\)
\quad -4
 fait partie de l'intervalle mais pas 
5
. 
  • Sur la droite graduée ci-dessous, l'intervalle`]2;4]`est représenté en rouge.
L'intervalle 
]2;4]
est l'ensemble des nombres réels 
x
 tels que 
2<x\leq4
Il contient 
4
 mais ne contient pas 
2
.

Centre et rayon d'un intervalle

Définitions
Soit 
a  et  ba\;\text{et}\;baetb
 deux nombres réels avec
a<ba<ba<b
.
  • Lecentredes intervalles \([a;b]\;;\;]a;b[\;;\;[a;b[\;;\;]a;b]\) est le nombre réel \(\dfrac{a+b}{2}\).
  • Lerayondes intervalles \([a;b]\;;\;]a;b[\;;\;[a;b[\;;\;]a;b]\) est le nombre réel positif \(\dfrac{b-a}{2}\).
Exemples
  • Considérons l'intervalle \([-3;5[\).
    Alors son centre est \(\dfrac{-3+5}{2}=\dfrac{2}{2}=1\) et son rayon est \(\dfrac{5-(-3)}{2}=\dfrac{8}{2}=4\)
  • Considérons l'intervalle \(\left[\dfrac{1}2{;6}\right]\).
    Alors son centre est \(\dfrac{\dfrac{1}{2}+6}{2}=\dfrac{\dfrac{13}{2}}{2}=\dfrac{13}{4}=3,25\) et son rayon  est \(\dfrac{6-\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{11}{2}}{2}=\dfrac{11}{4}=2,75\).

Intersection et réunion d'intervalles

Définition
On considère
I  et  JI\;\text{et}\;JIetJ
 deux intervalles de
R\mathbb{R}R
.
L'intersectiondes intervalles 
I  et  JI\;\text{et}\;JIetJ
, notée
I∩JI\cap JI∩J
, est l'ensemble des nombres réels qui se trouvent à la fois dans les intervalles
III
 et
JJJ
.
Exemples
  • Soit \(I=[-1;3]\) et \(J=[2;4]\).
​​​​​​L'intervalle 
III
 est représenté en bleu et l'intervalle 
JJJ
 en rouge. La partie de la droite graduée qui est coloriée des deux couleurs en même temps représente l'intersection des intervalles
III
 et 
JJJ
.
On a ainsi
I∩J=[2;3]I\cap J=[2;3]I∩J=[2;3]
.
  • \(]-\infty;1]\cap [-3;8]=[-3;1]\)
  • \([-2;3[\cap ]4;15]=\emptyset\) . L'intersection des deux intervalles est vide. Il n'y a aucun nombre réel qui se trouve à la fois dans l'intervalle \([-2;3[\) et dans l'intervalle \(]4;15]\). On dit que les intervalles sont disjoints.
  • \(]-\infty;3]\cap [3;+\infty[=\{3\}\). L'intersection des deux intervalles est réduite à un point.
Définition
On considère
I  et  JI\;\text{et}\;JIetJ
 deux intervalles de
R\mathbb{R}R
.
Laréuniondes intervalles
I  et  JI\;\text{et}\;JIetJ
, notée
I∪JI\cup JI∪J
, est l'ensemble des nombres réels qui se trouvent dans l'un au moins des intervalles
I  et  JI\;\text{et}\;JIetJ
.
Exemples
  • Soit\(I=[-1;3]\) et \(J=[2;4]\).
​​​​​​L'intervalle 
III
 est représenté en bleu et l'intervalle 
JJJ
 en rouge. La partie de la droite graduée qui est coloriée d'au moins une couleur représente la réunion des intervalles
III
 et 
JJJ
.
On a alors 
I∪J=[−1;4]I\cup J=[-1;4]I∪J=[−1;4]
.
  • \(]-\infty;1]\cup [-3;8]=]-\infty;8]\)
  • \(]-\infty;3]\cup [3;+\infty[=\mathbb{R}\)
  • \([-2;3[\cup ]4;15]\). Cette réunion ne peut pas s'écrire sous la forme d'un seul intervalle puisque les deux intervalles sont disjoints (leur intersection est vide).

Inéquation

Définition
Soit 
aaa
 et 
bbb
 deux nombres réels avec
a≠0a\neq0a=0
.
Une inéquation linéaire du premier degré, d'inconnue
xxx
, est de la forme 
ax+b<0ax+b<0ax+b<0
 ou 
ax+b>0ax+b>0ax+b>0
 ou 
ax+b≤0ax+b \leq0ax+b≤0
 ou
ax+b≥0ax+b \geq0ax+b≥0
.
Méthode 
Résoudre une inéquation, c'est déterminer toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent vraie l'inégalité.
Pour résoudre une inéquation, on utilise les propriétés suivantes.
Propriété 1
Si l'on ajoute ou on soustrait, membre à membre, un même nombre aux deux nombres d'une inégalité, celle-ci ne change pas de sens. Autrement dit, soit 
a  ;b  ;ca\;;b\;;ca;b;c
 trois réels :
a≤b⇔a+c≤b+ca\leq b \Leftrightarrow a+c\leq b+ca≤b⇔a+c≤b+c
a≤b⇔a−c≤b−ca\leq b \Leftrightarrow a-c\leq b-ca≤b⇔a−c≤b−c
Propriété 2
  • Si l'on multiplie les deux membres d'une inégalité par un même nombrestrictement positif, l'inégalité ne change pas de sens.
    Autrement dit,\(a\;;b\;\)deux réels et\(\;k\)un réel strictement positif :\(a\leq b \Leftrightarrow a\times k\leq b \times k\).
  • Si l'on multiplie les deux membres d'une inégalité par un même nombrestrictement négatif, l'inégalité change de sens.
    Autrement dit,\(a\;;b\;\)deux réels et\(\;k\)un réel strictement négatif :\(a\leq b \Leftrightarrow a\times k\color{red}\geq b \times k\).
Exemple 1
Résolvons dans 
R\mathbb{R}R
 l'inéquation 
4x−2≤04x-2\leq04x−2≤0
.
On ajoute
222
 à chaque membre de l'inégalité.
On a alors :
4x−2+2≤0+24x-2\color{red}{+2}\leq0\color{red}{+2}4x−2+2≤0+2
Ce qui équivaut à 
4x≤24x\leq24x≤2
.
On divise chaque membre de l'inégalité par 
444
 (qui est un nombre strictement positif). On a alors : 
4x4≤24\dfrac{4x}{\color{red}4}\leq \dfrac{2}{\color{red}4}44x​≤42​
Ce qui équivaut à 
x≤12x\leq \dfrac{1}{2}x≤21​
Donc l'ensemble des solutions est l'intervalle 
]−∞;12]\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]]−∞;21​]
.
S=]−∞;12]\mathscr{S}=\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]S=]−∞;21​]
.
Exemple 2
Résolvons dans 
R\mathbb{R}R
 l'inéquation 
x−4≤3x+2x-4\leq3x+2x−4≤3x+2
.
On soustrait 
3x3x3x
à chaque membre de l'inégalité.
On a alors : 
x−4−3x≤3x+2−3xx-4\color{red}{-3x}\leq 3x+2\color{red}{-3x}x−4−3x≤3x+2−3x
.
Ce qui équivaut à 
−2x−4≤2-2x-4\leq2−2x−4≤2
.
On ajoute
444
 à chaque membre de l'inégalité.
On a alors : 
−2x−4+4≤2+4.-2x-4\color{red}{+4}\leq 2\color{red}{+4}.−2x−4+4≤2+4.
Ce qui équivaut à 
−2x≤6-2x\leq6−2x≤6
.
On divise chaque membre de l'inégalité par 
−2-2−2
 (qui est un nombre strictement négatif).
Attention l'inégalité change de sens.
On a alors :
−2x−2≥6−2\dfrac{-2x}{\color{red}{-2}}\color{red}{\geq} \dfrac{6}{\color{red}{-2}}−2−2x​≥−26​
 ce qui équivaut à 
x≥−3x\geq-3x≥−3
.
Donc l'ensemble des solutions est l'intervalle 
[−3;+∞[\left[-3;+\infty\right[[−3;+∞[
.
S=[−3;+∞[\mathscr{S}=\left[-3;+\infty\right[S=[−3;+∞[
.
​​​​​Autre méthode
On peut aussi procéder de la manière suivante.
x−4≤3x+2⇔−4−2≤3x−x⇔−62≤2x2⇔−3≤xx-4\leq3x+2 \Leftrightarrow-4-2\leq3x-x\Leftrightarrow \dfrac{-6}{2}\leq\dfrac{2x}{2} \Leftrightarrow -3\leq xx−4≤3x+2⇔−4−2≤3x−x⇔2−6​≤22x​⇔−3≤x
S=[−3;+∞[\mathscr{S}=\left[-3;+\infty\right[S=[−3;+∞[
.