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Propriété Règle des signes

Le produit ou le quotient de deux nombres demême signedonne un résultatpositif.
Le produit ou le quotient de deux nombres designes différentsdonne un résultatnégatif.

Remarques

La "règle des signes" ne s'utilise que pour le produit ou le quotient de nombres.
Ne pas confondre : `-4-6=-4+(-6)=-10`  et\(-4\times(-6)=24\).
Dans le premier cas, on ajoute deux nombres relatifs. Dans le second cas, on les multiplie.

Exemples

\(A_1=8\times3=24\)
\(B_1=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{15}{28} .\)
Dans ces deux calculs, nous multiplions des nombres positifs. Donc les résultats sont positifs.
\(A_2=-4\times5=-20\)
\(B_2=\dfrac{1}{2}\times(-7)=-\dfrac{7}{2}\).
Dans ces deux calculs, nous multiplions des nombres de signes différents. Donc les résultats sont négatifs.
\(A_3=\dfrac{-6}{-2}=-6\div(- 2)=3\).
Ici, on divise deux nombres négatifs donc de même signe. Le résultat est positif.
\(A_4=\dfrac{\dfrac{3}{4}}{-\dfrac{5}{8}}=-\dfrac{3}{4}\times \dfrac{8}{5}=-\dfrac{3\times4\times2}{4\times5}=-\dfrac{6}{5}\).
Dans ce calcul, nous divisons le nombre positif \(\dfrac{3}{4}\) par le nombre négatif \(-\dfrac{5}{8}\). Donc le résultat est négatif.

Valeur absolue d'un nombre

Définitions

Soit\(x\) un réel.
La valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), est sa distance à zéro. On a donc : \(|x|=d(x;0)\).
\(\)Soit\(x\) et\(y\) deux réels.
La distance entre ces deux nombres est le nombre \(|x-y|\), qui se lit "valeur absolue de\(x-y\)". On a donc :\(d(x;y)=|x-y|\).

Exemples

Le nombre `9` se note aussi`+9`. Il est constitué du signe\(+\) et de sa distance à zéro, ou valeur absolue, qui est\(9\). On a donc :\(|+9|=9\).
Le nombre `-15`  est constitué du signe \(-\)et de sa distance à zéro, ou valeur absolue, qui est `15`. On a donc :\(|-15|=15\).

Remarque

Soit

x

 un réel. La valeur absolue de 

x

 est un nombre positif.

Exemples

\(\quad|6|=d(6;0)=6\).
\(\quad |-3|=d(-3;0)=3\)
\(\quad |6-8|=d(6;8)=2\) ou encore :\(|6-8|=|-2|=d(-2;0)=2\)

Propriété

Soit

x

 un réel.
On a : 

\lvert x \rvert = \left\lbrace \begin{array}{cl} x & \text{si } \; x \geqslant 0\\ - x & \text{si } \; x < 0\end{array} \right.

Exemples

\(|-3,5|=-(-3,5)=3,5\ \text{car}-3,5<0\)
\(|8,2|=8,2\quad \text{car}\quad 8,2>0\)

Résolvons dans\(\mathbb{R}\) l'équation \(|x|=5\).
\(|x|=5 \Leftrightarrow d(x;0)=5 \Leftrightarrow x=-5 \; \text{ou}\;x=5\). Donc \(\mathscr{S}=\{-5;5\}\).
Résolvons dans\(\mathbb{R}\) l'équation \(|x-2|=3\).
\(|x-2|=3 \Leftrightarrow d(x;2)=3 \Leftrightarrow x=2+3\;\text{ou}\;x=2-3 \Leftrightarrow x=5\;\text{ou}\;x=-1\).
Donc \(\mathscr{S}=\{-1;5\}\).
Résolvonsdans\(\mathbb{R}\) l'inéquation \(|x-4|\leq1\).
Cette inéquation équivaut à \(d(x;4)\leq1\).
On cherche donc l'intervalle ayant pour centre \(4\) et pour rayon \(1\). Les extrémités de l'intervalle font partie de l'ensemble des solutions puisque l'inégalité est "large".
Donc \(\mathscr{S}=[3;5]\).

Racine carrée - Généralités

La racine carrée est introduite au collège, par exemple lors de l'application du théorème de Pythagore.

Définition

Soit 

a

 un réel positif.
La racine carrée de 

a

 est le nombre réel positif noté 

\sqrt a

 tel que 

(\sqrt a)^2 =a

.

Remarques

Le signe \(\sqrt{.}\)s'appelle unradical.
On ne peut déterminer la racine carrée que d'un nombre réel positif.
Pour tout `a`réel positif, on a :\(\sqrt a\geq0\).

Exemples

\sqrt 0=0\quad\sqrt 1=1\quad\sqrt 4=2\quad\sqrt 9=3\quad\sqrt{16}=4\quad\sqrt{25}=5\quad\sqrt{36}=6\quad\sqrt{49}=7

, etc.

Les nombres

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144

 sont appelés des carrés parfaits.

Exemple
Pour quelles valeurs de 

x

, l'expression 

\sqrt{x+2}

 a t-elle un sens ?
L'expression sous le radical doit être positive ou nulle.
Donc 

\sqrt{x+2}

 existe si et seulement si 

x+2\geq0

 ce qui équivaut à 

x\geq-2

.
L'expression 

\sqrt{x+2}

 est définie pour 

x\in [-2;+\infty[

.

Racine carrée - Propriétés

Propriétés

Soit 

a\; \text{et} \;b\;

deux nombres réels positifs. On a :
1. 

\sqrt{a\times b}=\sqrt a \times\sqrt b

2.

\text{Si}\;b>0\;\text{;}\quad \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}

3.Si

a

et

b

sont strictement positifs, alors on a :

\sqrt{a+b}<\sqrt a+\sqrt b

.

Exemples

\(\sqrt 3 \times \sqrt2=\sqrt{3\times 2}=\sqrt 6\)
\(\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt 2}=\sqrt{\dfrac{5}{2}}\)

Remarques

\(\sqrt{9+16}\neq\sqrt 9+\sqrt{25}\) comme l'indique la propriété précédente.
En effet, \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\) et \(\sqrt 9+\sqrt{16}=3+4=7\).
Les résultats sont bien différents.
\(\sqrt 3+\sqrt 2\) ne peut pas s'écrire autrement de manière exacte !
\(\sqrt{3-2}=\sqrt 1=1\). On effectue d'abord l'opération sous le radical.

Exemples

1.Écrivons les nombres ci-dessous sous la forme 

a\sqrt b

 , où 

a\;\text{et}\;b

 sont des réels positifs et 

b

 est le plus petit possible.

\(\sqrt{28}=\sqrt{4\times 7}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\sqrt 7\)
\(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=\sqrt{9}\times\sqrt 3=3\sqrt 3\)

2.Montrons que les nombres suivants sont des nombres rationnels.

\(\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt 9}=\dfrac{5}{3}\)
\(\sqrt{\dfrac{49}{81}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}}=\dfrac{7}{9}\)

Démonstrations

1.Soit 

a\; \text{et} \;b\;

deux nombres réels positifs. D'après la "règle des signes", on a :

ab\geq0

.
Donc 

\sqrt{ab}

 est bien défini et on a 

(\sqrt{ab})^2=ab

.
De plus 

(\sqrt a\times \sqrt b)^2=(\sqrt a)^2 \times (\sqrt b)^2=a\times b=ab

.
On vient de montrer que les nombres positifs 

\sqrt{ab}

et

\sqrt a\times \sqrt b

 ont des carrés égaux. Donc ils sont égaux.
2.La démonstration est analogue à celle de la question précédente.
3.Considérons un triangle 

\text{ABC}

 rectangle en

\text A

 tel que 

\text {AB}=\sqrt a

et

\text {AC}=\sqrt b

.
Alors, d'après le théorème de Pythagore, on a 

\text {BC}^2=\text {AB}^2+\text {AC}^2=(\sqrt a)^2+(\sqrt b)^2=a+b

.
Et donc 

\text {BC}=\sqrt{a+b}

  (puisque 

BC

 est une longueur donc est positive).
D'après l'inégalité triangulaire, on a :  

\text {BC < AB + AC}

.
Soit

\sqrt{a+b} <\sqrt a+\sqrt b

.

Propriété

Soit

a

 un réel. On a :

\sqrt{a^2}=|a|.

Exemple

\quad\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3

​​​​​

Puissance - Généralités

Définition

Soit 

a\in \mathbb{R}

et

n\in \mathbb{N}^*

.
Alors 

a^n=a\times a\times a\times ...\times a

 , où le réel 

a

 est répété

n

 fois dans le produit.

a^n

 se lit "

a

 puissance 

n

" ou encore "

a

 exposant 

n

".

Remarque 

Soit

a

 un réel. On a :

a^1=a

.

Exemples

\(\quad 3^2=3\times 3=9\)
\(\quad 2^4=2\times 2\times 2\times 2=16\)
\(\quad 7^1=7\)

Définition

Soit 

a\in \mathbb{R}^*

.
Alors, on a :

a^0=1

.

Exemple

20^0=1

Définition

Soit 

a\in \mathbb{R}^*

et

n\in \mathbb{N}

.
Alors, on a

a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}

.

Exemples

\(\quad 5^{-3}=\dfrac{1}{5^3}=\dfrac{1}{125}\)
\(\quad 2^{-4}=\dfrac{1}{2^4}=\dfrac{1}{16}\)
\(\quad \dfrac{1}{2^{-3}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2^3}}=1\times \dfrac{2^3}{1}=2^3=8\)

Puissance - Propriétés

Propriété

Soit 

a\in \mathbb{R}^*

,

n\in \mathbb{Z}

et

m\in \mathbb{Z}

 . Alors, on a :

\(a^n\times a^m=a^{n+m}\)
\((a^n)^m=a^{n\times m}\)
\(\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\)

Exemples

\(\quad 2^3\times2^5=2^{3+5}=2^8\)
\(\quad 10^5 \times 10^6=10^{5+6}=10^{11}\)
\(\quad 3^4=3^{3+1}=3^3\times 3^1=3^3\times 3\)
\(\quad 5\times5^4\times 5^2=5^{1+4+2}=5^7\)
\(\quad (2^2)^4=2^{2\times 4}=2^8\)
\(\quad \dfrac{3}{3^5}=3^{1-5}=3^{-4}\)

Remarque

Comment écrire autrement ce calcul

3^20+3^21

?

3^20+3^21=3^20+3^{1+20}=3^20\times 1+3^1\times 3^20=3^20(1+3^1)=3^20\times 4

.

Propriété

Soit 

a\in\mathbb{R}^*

;

b\in \mathbb{R}^*

et

n\in \mathbb{Z}

. Alors, on a :

\((a\times b)^n=a^n\times b^n\)
\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)

Exemples

\(\quad (3\times x)^2=3^2\times x^2=9x^2\) , où\(x\) est un réel non nul.
\(\quad \left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{2^3}{3^3}=\dfrac{8}{27}\)

Propriété et définition

Tout nombre décimal non nul peut s'écrire sous la forme

a\times 10^n

où

1\leq |a| <10

et

n\in \mathbb{Z}

.
C'est l'écriture scientifique de ce nombre.

Exemples

\(\quad 3876,4189=3,8764189\times 10^3\)
\(3,8764189\times 10^3\) est l'écriture scientifique du nombre\(3876,4189\).
\(\quad -0,0006=-6\times10^{-4}\)
\(-6\times10^{-4}\) est l'écriture scientifique du nombre \(-0,0006\).