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Équations

 et l'équivalencelogiquedésignée par 

Sommaire

Ne pas confondre "égal à" et "équivaut à" !Équation produitEquation x² = aÉquation quotient

Ne pas confondre "égal à" et "équivaut à" !

L'égalitédésignée par 
=\textbf{=}=
 et l'équivalencelogiquedésignée par 
⇔\Leftrightarrow⇔
 n'ont pas la même signification.
Voici des exemples d'utilisation du signe\(\textbf{=}\)
  • `` calcul numérique :`1+3=4` ;
  • \(\) calcul algébrique :\(3x-x+3=2x+3\) ;
  • ``expression algébrique d'une fonction :`f(x)=-3x+1`.
Quand utilise-ton le symbole \(\boldsymbol \Leftrightarrow\)?
Ce symbole "équivaut à" traduit une double implication, c'est-à-dire qu'il signifie "si et seulement si".
On utilise ce symbole lors de la résolution d'une équation ou d'une inéquation : deux équations ou inéquations sont équivalentes lorsqu'elles ont le même ensemble de solutions.

Équation produit

Propriété
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
Exemple 1
Résolvons dans
R\mathbb{R}R
 l'équation 
(3−x)(x+2)=0(3-x)(x+2)=0(3−x)(x+2)=0
.
Le membre de gauche de l'égalité est un produit de deux facteurs :
3−x3-x3−x
 et
x+2x+2x+2
.
On utilise la propriété précédente :
(3−x)(x+2)=0⇔3−x=0oux+2=0⇔x=3oux=−2(3-x)(x+2)=0 \Leftrightarrow 3-x=0\quad \text{ou}\quad x+2=0 \Leftrightarrow x=3\quad \text{ou}\quad x=-2(3−x)(x+2)=0⇔3−x=0oux+2=0⇔x=3oux=−2
On conclut par\(\mathbf{\mathscr{S}=\{-2;3\}}\), ce qui signifie que l'ensemble des solutions est l'ensemble constitué des nombres 
−2-2−2
 et 
333
.
Exemple 2
Résolvons dans
R\mathbb{R}R
l'équation 
(E):  2(3x−4)(2−3x)=0(E):\; 2(3x-4)(2-3x)=0(E):2(3x−4)(2−3x)=0
.
(E)⇔(3x−4)(2−3x)=02=0(E)\Leftrightarrow (3x-4)(2-3x)=\dfrac{0}{2}=0(E)⇔(3x−4)(2−3x)=20​=0
(E)⇔3x−4=0  ou  2−3x=0(E)\Leftrightarrow 3x-4=0\;\text{ou}\;2-3x=0(E)⇔3x−4=0ou2−3x=0
(E)⇔x=43  ou  x=23(E)\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{3}\;\text{ou}\;x=\dfrac{2}{3}(E)⇔x=34​oux=32​
On conclut :
S={23;43}{\mathbf{\mathscr{S}=\left\lbrace\dfrac{2}{3}; \dfrac{4}{3} \right\rbrace}}S={32​;34​}
Exemple 3
Résolvons dans
R\mathbb{R}R
l'équation 
(E):  (x+1)(3−5x)−(x+1)(x−3)=0(E):\;(x+1)(3-5x)-(x+1)(x-3)=0(E):(x+1)(3−5x)−(x+1)(x−3)=0
(E)⇔(x+1)[(3−5x)−(x−3)]=0(E)\Leftrightarrow (x+1)[(3-5x)-(x-3)]=0(E)⇔(x+1)[(3−5x)−(x−3)]=0
(E)⇔(x+1)(3−5x−x+3)=0(E)\Leftrightarrow (x+1)(3-5x-x+3)=0(E)⇔(x+1)(3−5x−x+3)=0
(E)⇔(x+1)(−6x+6)=0\\ (E)\Leftrightarrow (x+1)(-6x+6)=0(E)⇔(x+1)(−6x+6)=0
(E)⇔x+1=0  ou  −6x+6=0\\ (E)\Leftrightarrow x+1=0\;\text{ou}\;-6x+6=0(E)⇔x+1=0ou−6x+6=0
(E)⇔x=−1  ou  x=1\\ (E)\Leftrightarrow x=-1\;\text {ou}\;x=1(E)⇔x=−1oux=1
On conclut :
S={−1;1}{\mathbf{\mathscr{S}=\left\lbrace-1; 1 \right\rbrace}}S={−1;1}
Exemple 4
Résolvons dans
R\mathbb{R}R
l'équation 
(E):  9x2−16=0(E):\;9x^2 -16=0(E):9x2−16=0
(E)⇔(3x)2−42=0(E)\Leftrightarrow (3x)^2-4^2=0(E)⇔(3x)2−42=0
(E) ⇔(3x−4)(3x+4)=0(E)\ \Leftrightarrow (3x-4)(3x+4)=0(E) ⇔(3x−4)(3x+4)=0
(E)⇔3x−4=0  ou  3x+4=0(E)\Leftrightarrow 3x-4=0\;\text{ou}\;3x+4=0(E)⇔3x−4=0ou3x+4=0
(E) ⇔x=43  ou  x=−43(E)\ \Leftrightarrow x=\dfrac{4}{3}\;\text{ou}\;x=-\dfrac{4}{3}(E) ⇔x=34​oux=−34​
On conclut :
S={−43;43}{\mathbf{\mathscr{S}=\left\lbrace-\dfrac{4}{3}; \dfrac{4}{3} \right\rbrace}}S={−34​;34​}
Exemple 5
Résolvons dans
R\mathbb{R}R
l'équation 
(E):  x2+2x+1=0(E):\;x^2 +2x+1=0(E):x2+2x+1=0
(E)⇔x2+2×x×1+12=0(E)\Leftrightarrow x^2+2\times x\times 1+1^2=0(E)⇔x2+2×x×1+12=0
(E)⇔(x+1)2=0(E)\Leftrightarrow (x+1)^2=0(E)⇔(x+1)2=0
(E)⇔x+1=0  ou  x+1=0(E)\Leftrightarrow x+1=0\;\text{ou}\;x+1=0(E)⇔x+1=0oux+1=0
(E)⇔x+1=0(E)\Leftrightarrow x+1=0(E)⇔x+1=0
(E)⇔x=−1(E)\Leftrightarrow x=-1(E)⇔x=−1
On dit que 
−1-1−1
 est unesolution double.
On conclut :
S={−1}{\mathbf{\mathscr{S}=\left\lbrace-1 \right\rbrace}}S={−1}

Equation x² = a

Propriété
On souhaite résoudre une équation du type 
x2=ax^2=ax2=a
 , où 
a∈Ra\in\mathbb{R}a∈R
. Les solutions de cette équation dépendent du signe de 
aaa
.
  • Si \(a<0\) alors l'équation n'a pas de solution réelle.
  • Si \(a=0\) alors l'équation admet une seule solution qui est le nombre \(0\).
  • Si \(a>0\) alors l'équation admet deux solutions opposées qui sont \(-\sqrt a\) et \(\sqrt a\).
Démonstration
  • Si\(a<0\).
    Dans l'ensemble des nombres réels, un carré est toujours positif ou nul.
    Donc lorsque \(a<0\), il n'existe aucun nombre réel vérifiant \(x^2=a\).
    L'équation \(x^2=a\) n'a pas de solution réelle. On écrit : \(\mathscr{S}=\emptyset\).
  • Si\(a=0\). L'équation devient\(x^2=0\).
    Le seule nombre réel ayant un carré égal à \(0\) est \(0\).
    Donc \(\mathscr{S}=\{0\}\).
  • Si\(a>0\).
    \(a>0\) donc \(\sqrt a\) existe.
    On obtient une équation produit. Ainsi :
    \(x^2=a \Leftrightarrow x-\sqrt a=0\;\text{ou}\;x+\sqrt a=0\Leftrightarrow x=\sqrt a\;\text{ou}\;x=-\sqrt a\).
    Donc \(\mathscr{S}=\{-\sqrt a;\sqrt a\}\).
Remarque
Ne pas confondre 
S={0}\mathscr{S}=\{0\}S={0}
 qui signifie que l'ensemble des solutions est constitué du seul nombre 
000
(c'est-à-dire du singleton
000
) et
S=∅\mathscr{S}=\emptysetS=∅
 qui signifie que l'ensemble des solutions est vide.
Exemples
1.Résolvons dans
R\mathbb{R}R
 l'équation 
x2=64x^2=64x2=64
. 
On a 
a=64a=64a=64
 donc
a>0a>0a>0
.
Les solutions de l'équation sont 
−64=−8-\sqrt{64}=-8−64​=−8
 et 
64=8\sqrt{64}=864​=8
S={−8;8}\mathscr{S}=\{-8;8\}S={−8;8}
.
2. Résolvons dans
R\mathbb{R}R
 l'équation
  x2=−4\; x^2=-4x2=−4
 .
On a 
a=−4a=-4a=−4
 donc
a<0a<0a<0
.
L'équation n'a pas de solution réelle.
S=∅\mathscr{S}=\emptysetS=∅
.

Équation quotient

Propriété
Soit
aaa
et 
bbb
 deux nombres réels, avec 
bbb
 non nul.
On a :
ab=0\dfrac{a}{b}=0ba​=0
 si et seulement si
a=0a=0a=0
.
Remarque
Il faut toujours commencer par s'assurer que le quotient est bien défini.
Exemple 1
Résolvons dans
R\mathbb{R}R
 l'équation 
x+12=0\dfrac{x+1}{2}=02x+1​=0
.
Contrainte
Le dénominateur ne dépend pas de l'inconnue, il n'y a donc pas de contrainte.
Ce quotient existe pour tout réel
xxx
.
Résolution
D'après la propriété précédente : 
x+12=0⇔x+1=0⇔x=−1\dfrac{x+1}{2}=0 \Leftrightarrow x+1=0 \Leftrightarrow x=-12x+1​=0⇔x+1=0⇔x=−1
.
Donc 
S={−1}\mathscr{S}=\{-1\}S={−1}
.
Exemple 2
Résolvons dans
R\mathbb{R}R
l'équation 
x+2x−1=0\dfrac{x+2}{x-1}=0x−1x+2​=0
.
Contrainte
Le quotient 
x+2x−1\dfrac{x+2}{x-1}x−1x+2​
 existe si et seulement si 
x−1≠0x-1\neq0x−1=0
 c'est à dire si et seulement si 
x≠1x\neq1x=1
.
Donc l'ensemble de définition de l'équation est 
R\{1}\mathbb{R} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbraceR\{1}
.
Résolution
x+2x−1=0⇔x+2=0⇔x=−2\dfrac{x+2}{x-1}=0\Leftrightarrow x+2=0 \Leftrightarrow x=-2x−1x+2​=0⇔x+2=0⇔x=−2
. 
Le résultat obtenu n'est pas la valeur interdite.
Donc 
S={−2}\mathscr{S}=\{-2\}S={−2}
.
Exemple 3
Résolvons dans
R\mathbb{R}R
l'équation 
x2−x=1\dfrac{x}{2-x}=12−xx​=1
.
Contrainte
Le quotient 
x2−x\dfrac{x}{2-x}2−xx​
 existe si et seulement si 
2−x≠02-x\neq02−x=0
 c'est à dire si et seulement si 
x≠2x\neq2x=2
.
Donc l'ensemble de définition de l'équation est 
R\{2}\mathbb{R} \backslash \left\lbrace 2 \right\rbraceR\{2}
.
Résolution
La propriété précédente s'applique lorsque le membre de droite de l'égalité est zéro. On commence donc par transformer l'égalité pour obtenir zéro comme membre de droite.
x2−x=1⇔x2−x−1=0\qquad\dfrac{x}{2-x}=1\Leftrightarrow \dfrac{x}{2-x}-1=02−xx​=1⇔2−xx​−1=0
x2−x=1⇔x2−x−2−x2−x=0\qquad\dfrac{x}{2-x}=1\Leftrightarrow \dfrac{x}{2-x}-\dfrac{2-x}{2-x}=02−xx​=1⇔2−xx​−2−x2−x​=0
x2−x=1⇔x−2+x2−x=0\qquad \dfrac{x}{2-x}=1\Leftrightarrow \dfrac{x-2+x}{2-x}=02−xx​=1⇔2−xx−2+x​=0
x2−x=1⇔2x−22−x=0\qquad\dfrac{x}{2-x}=1\Leftrightarrow \dfrac{2x-2}{2-x}=02−xx​=1⇔2−x2x−2​=0
x2−x=1⇔2x−2=0\qquad\dfrac{x}{2-x}=1\Leftrightarrow 2x-2=02−xx​=1⇔2x−2=0
x2−x=1⇔x=1\qquad\dfrac{x}{2-x}=1\Leftrightarrow x=12−xx​=1⇔x=1
 .
Le résultat obtenu n'est pas la valeur interdite.
Donc 
S={1}\mathscr{S}=\{1\}S={1}
.