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Calcul numérique

Effectuer les calculs suivants. Dans chaque cas, donner le résultat sous la forme d'une fraction irr...

Sommaire

**Fraction☛ **Vrai ou faux - puissance**Puissance☛ **Racine carrée***Valeur absolue

**Fraction

Effectuer les calculs suivants. Dans chaque cas, donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
A=13−12+34\quad A=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}A=31​−21​+43​
B=2−127+27×38\quad B=2-\dfrac{12}{7}+\dfrac{2}{7}\times \dfrac{3}{8}B=2−712​+72​×83​
C=3×421−114\quad C=3\times \dfrac{4}{21}-\dfrac{1}{14}C=3×214​−141​
D=(13−1)×(34+13)\quad D=\left(\dfrac{1}{3}-1\right)\times \left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}\right)D=(31​−1)×(43​+31​)
E=12+112−1\quad E=\dfrac{\dfrac{1}{2}+1}{\dfrac{1}{2}-1}E=21​−121​+1​
F=11+11+23\quad F=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{3}}}F=1+1+32​1​1​

☛ **Vrai ou faux - puissance

Énoncé
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1.
3−2×3−6=3123^{-2}\times 3^{-6}=3^{12}3−2×3−6=312
2.
3−5+310=353^{-5}+3^{10}=3^53−5+310=35
3.
873×3−31915×2221=122×361\dfrac{8^{73}\times3^{-31}}{9^{15}\times 2^{221}}=\dfrac{1}{2^2\times 3^{61}}915×2221873×3−31​=22×3611​
4.
(35×2−2)2(9−1×23)3=3−16×213\dfrac{(3^5\times 2^{-2})^2}{(9^{-1}\times 2^3)^3}=3^{-16}\times 2^{13}(9−1×23)3(35×2−2)2​=3−16×213
5.
12100×(1,5)49×6−148=3612^{100}\times (1,5)^{49}\times 6^{-148}=3612100×(1,5)49×6−148=36
Solution
1.
3−2×3−6=3−2+(−6)=3−83^{-2}\times 3^{-6}=3^{-2+(-6)}=3^{-8}3−2×3−6=3−2+(−6)=3−8
.
Or, 
3−8≠3123^{-8}\neq3^{12}3−8=312
. Donc la proposition est fausse.
2.
3−5+310=135+310=1+310×3535=1+315353^{-5}+3^{10}=\dfrac{1}{3^5}+3^{10}=\dfrac{1+3^{10}\times 3^5}{3^5}=\dfrac{1+3^{15}}{3^5}3−5+310=351​+310=351+310×35​=351+315​
.
Or, 
1+31535≠35\dfrac{1+3^{15}}{3^5}\neq3^5351+315​=35
. Donc la proposition est fausse.
3.
873×3−31915×2221=(23)73×3−31(32)15×2221=23×732221×3−3132×15=23×73−221×3−31−2×15=2−2×3−61=122×361\dfrac{8^{73}\times3^{-31}}{9^{15}\times 2^{221}}=\dfrac{(2^3)^{73}\times 3^{-31}}{(3^2)^{15}\times 2^{221}}=\dfrac{2^{3\times73}}{2^{221}}\times \dfrac{3^{-31}}{3^{2\times 15}}=2^{3\times73-221}\times 3^{-31-2\times15}=2^{-2}\times3^{-61}\\ \quad=\dfrac{1}{2^2\times 3^{61}}915×2221873×3−31​=(32)15×2221(23)73×3−31​=222123×73​×32×153−31​=23×73−221×3−31−2×15=2−2×3−61=22×3611​
Donc la proposition est vraie.
4.
(35×2−2)2(9−1×23)3=310×2−4((32)−1×23)3=310×2−4(3−2)3×29=3103−6×2−429=316×2−13\dfrac{(3^5\times 2^{-2})^2}{(9^{-1}\times 2^3)^3}=\dfrac{3^{10}\times 2^{-4}}{((3^2)^{-1}\times2^3)^3}=\dfrac{3^{10}\times 2^{-4}}{(3^{-2})^3\times 2^9}=\dfrac{3^{10}}{3^{-6}}\times\dfrac{2^{-4}}{2^9}=3^{16}\times 2^{-13}(9−1×23)3(35×2−2)2​=((32)−1×23)3310×2−4​=(3−2)3×29310×2−4​=3−6310​×292−4​=316×2−13
Donc la proposition est fausse.
5.
12100×(1,5)49×6−148=(3×22)100×(32)49×1(2×3)148=3100×3493148×2200249×2148=3100+49−148×2200−49−148=31×23=2412^{100}\times (1,5)^{49}\times 6^{-148}=(3\times 2^2)^{100}\times\left(\dfrac{3}{2}\right)^{49}\times\dfrac{1}{(2\times3)^{148}}=\dfrac{3^{100}\times3^{49}}{3^{148}}\times\dfrac{2^{200}}{2^{49}\times2^{148}}\\\quad=3^{100+49-148}\times 2^{200-49-148}=3^1\times2^3=2412100×(1,5)49×6−148=(3×22)100×(23​)49×(2×3)1481​=31483100×349​×249×21482200​=3100+49−148×2200−49−148=31×23=24
Donc la proposition est fausse.

**Puissance

En utilisant les règles de calcul des puissances, simplifier l'écriture de chacun des nombres proposés, puis déterminer le plus petit ensemble de nombres auquel il appartient.
A=(23)7×(32)5B=223×0,524C=873×3−31915×2220A=\left(\dfrac{2}{3}\right)^7\times\left(\dfrac{3}{2}\right)^5\quad B=2^{23}\times0,5^{24}\quad C=\dfrac{8^{73}\times3^{-31}}{9^{15}\times2^{220}}A=(32​)7×(23​)5B=223×0,524C=915×2220873×3−31​
D=(43)50×0,7551D=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{50}\times0,75^{51}D=(34​)50×0,7551
E=(35×2−2)2(9−1×23)3E=\dfrac{\left(3^5\times2^{-2}\right)^2}{\left(9^{-1}\times2^3\right)^3}E=(9−1×23)3(35×2−2)2​

☛ **Racine carrée

Énoncé
1.Vérifier que les nombres suivants sont des entiers naturels.
A=121−16B=8×50C=30021×634A=\sqrt {121}-\sqrt{16} \qquad B=\sqrt8\times\sqrt{50} \qquad C=\dfrac{\sqrt{300}}{\sqrt{21}}\times \sqrt{\dfrac{63}{4}}A=121​−16​B=8​×50​C=21​300​​×463​​
2.Écrire les expressions suivantes sous la forme 
aba\sqrt bab​
 , où 
aaa
 et 
bbb
 sont des entiers naturels, 
bbb
 étant le plus petit possible.
A=52×11B=7×108C=200−8+450D=27+312−300A=\sqrt{5^2\times11}\quad B=\sqrt{7\times 10^8}\quad C=\sqrt{200}-\sqrt 8+4\sqrt{50}\quad D=\sqrt{27}+3\sqrt{12}-\sqrt{300}A=52×11​B=7×108​C=200​−8​+450​D=27​+312​−300​
Solution
1.
A=112−42=11−4=7A=\sqrt{11^2}-\sqrt{4^2}=11-4=7A=112​−42​=11−4=7
7∈N7\in \mathbb{N}7∈N
B=8×50=4×2×50=4×100=2×10=20\quad B=\sqrt{8\times 50}=\sqrt{4\times2\times50}=\sqrt 4\times \sqrt{100}=2\times 10=20B=8×50​=4×2×50​=4​×100​=2×10=20
20∈N20\in \mathbb{N}20∈N
C=300×6321×4=2×2×3×25×3×3×77×3×2×2=25×9=25×9C=5×3=15\quad C=\sqrt{\dfrac{300\times63}{21\times4}}=\sqrt{\dfrac{2\times2\times 3\times 25\times3\times 3\times7}{7\times3\times 2\times 2}}=\sqrt{25\times 9}=\sqrt{25}\times \sqrt 9\\ \quad C=5\times 3=15C=21×4300×63​​=7×3×2×22×2×3×25×3×3×7​​=25×9​=25​×9​C=5×3=15
15∈N15\in \mathbb{N}15∈N
2.
A=52×11=511A=\sqrt{5^2}\times \sqrt {11}=5\sqrt {11}A=52​×11​=511​
B=7×108=(104)2×7=1047\quad B=\sqrt{7}\times\sqrt{10^8}=\sqrt{(10^4)^2}\times\sqrt 7=10^4\sqrt 7B=7​×108​=(104)2​×7​=1047​
C=2×100−2×4+42×25=102−22+4×5×2=(10−2+20)2C=282C=\sqrt{2\times 100}-\sqrt{2\times 4}+4\sqrt{2\times 25}=10\sqrt 2-2\sqrt2+4\times 5\times \sqrt 2=(10-2+20)\sqrt 2\\ \quad C=28\sqrt 2C=2×100​−2×4​+42×25​=102​−22​+4×5×2​=(10−2+20)2​C=282​
D=3×9+33×4−3×100=33+3×2×3−103=(3+6−10)3D=−3D=\sqrt{3\times 9}+3\sqrt{3\times 4}-\sqrt{3\times100}=3\sqrt3+3\times 2\times \sqrt 3-10\sqrt 3=(3+6-10)\sqrt 3\\\quad D=-\sqrt 3D=3×9​+33×4​−3×100​=33​+3×2×3​−103​=(3+6−10)3​D=−3​

***Valeur absolue

1.Écrire sans valeur absolue les nombres suivants.
    a.
∣−4+5∣|-4+5|∣−4+5∣
    b.
∣π−1∣|\pi-1|∣π−1∣
c.
∣12−1∣\lvert \dfrac{1}{2}-1 \rvert∣21​−1∣
    d.
∣5−2∣|\sqrt 5-2|∣5​−2∣
2.Résoudre dans
R\mathbb{R}R
 les équations suivantes.a.
∣x∣=2|x|=2∣x∣=2
b.
∣x−3∣=1|x-3|=1∣x−3∣=1
c.
∣x+3∣=5|x+3|=5∣x+3∣=5
d.
∣x−2∣=−1|x-2|=-1∣x−2∣=−1
3.Résoudre dans
R\mathbb{R}R
 les inéquations suivantes.a.
∣x∣<2|x|<2∣x∣<2
b.
∣x−1∣≤3|x-1|\leq3∣x−1∣≤3