Équation et inéquation

Énoncé

1.

5

 est-il une solution de l'équation 

3x^2-x+1=0

 ?
2.

\dfrac{2}{3}

 est-il une solution de l'équation 

9x^2-4=0

 ?
3.

-3

 est-il une solution de l'inéquation 

(2x-1)(x+2)<11

 ?
4.

\dfrac{1}{2}

 est-il une solution de l'inéquation 

(x+3)^2\leq5(x+3)(x-2)

 ?
Solution

1.

3\times 5^2-5+1=3\times 25-4=75-4=71

.

71 \neq0

donc 

5

 n'est pas une solution de cette équation.
2.

9\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4=9\times \dfrac{4}{9}-4=4-4=0

 donc 

\dfrac{2}{3}

 est une solution de cette équation.
3.

(2\times (-3)-1)(-3+2)=-7\times (-1)=7

.

7<11

donc 

-3

 est une solution de cette inéquation.
4.L'inéquation s'écrit aussi 

(x+3)^2-5(x+3)(x-2)\leq 0

\left(\dfrac{1}{2}+3\right)^2-5\left(\dfrac{1}{2}+3\right)\left(\dfrac{1}{2}-2\right)=\left(\dfrac{7}{2}\right)^2-5\times \dfrac{7}{2}\left(-\dfrac{3}{2}\right) \\ \quad =\dfrac{49}{4}+\dfrac{5\times 7\times 3}{4}=\dfrac{49+105}{4}=\dfrac{154}{4}=38,5

38,5>0

. Le résultat obtenue ne vérifie pas l'inégalité.
Par conséquent,

\dfrac{1}{2}

 n'est pas une solution de l'inéquation.

*Salaire

Un personne dépense le tiers de son salaire pour se loger et les deux septièmes pour se nourrir.
Il lui reste alors 

880

 euros pour ses autres dépenses.

Quel est le montant de son salaire ?

**Résolution d'équation

Résoudre dans

\mathbb{R}

 les équations suivantes et, pour chacun des cas, préciser quel est le plus petit ensemble de nombres dans lequel se trouve la solution obtenue.

1.

\dfrac{x-3}{2}=1

2.

\dfrac{2-x}{2}=1

3.

3-\dfrac{x}{4}=5-x

4.

\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{2}+3=1-\dfrac{x}{6}

5.

3(x-2)-4(2x-1)=x

6.

-2(3x-1)-4(2-x)=5

7.

\sqrt 2x-4=x+1

8.

4-\sqrt 3x=1-x

**Des petits problèmes de nombres

1.La somme de quatre nombres impairs consécutifs est égale à 

40

. 
    Déterminer ces 

quatre nombres impairs.

2.Est-il possible que la somme de trois nombres pairs consécutifs soit égale à un nombre impair ?

**Un tour de magie

Une classe assiste à un spectacle d'un magicien au cirque d'hiver à Paris.

1.Le magicien demande à un enfant assis dans la salle :

de penser à un nombre entier ;
de la multiplier par \(2\) ;
de retrancher \(3\) à ce produit ;
de multiplier le tout par \(6\).

L'enfant dit qu'il obtient pour résultat 

294

. Quel était le nombre de départ ?

2.Un autre enfant, qui n'était pas interrogé par le magicien, a effectué ces opérations avec un autre nombre qu'il a choisi au départ.
Il annonce au magicien qu'il a obtenu 

200

. Celui-ci lui répond que ce n'est pas possible.
Expliquer pourquoi il est impossible d'obtenir le nombre 

200

 comme résultat des opérations proposées par le magicien.

**Inéquation

Résoudre dans

\mathbb{R}

 les inéquations suivantes.

1.

\dfrac{3x-4}{5}<2

2.

\dfrac{1-4x}{3}\geq x+1

3.

\dfrac{x}{2}+4\leq \dfrac{x}{3}-1

4.

3(5-2x)\geq\dfrac{x+1}{2}

☛*** Équation et factorisation

Énoncé

Résoudre dans

\mathbb{R}

 les équations suivantes.

1.

3x^2=x

2.

4x^2=81

3.

(3x-1)^2-(x+2)^2=0

4.

9(x+1)^2-(2x+5)^2=0

5.

(x-2)(4x+1)=2(x-2)(x-1)

Solution
1. \(3x^2-x=0 \Leftrightarrow x(3x-1)=0 \Leftrightarrow x=0\; \text{ou}\;3x-1=0 \Leftrightarrow x=0\; \text{ou}\;x=\dfrac{1}{3}\)
Donc 

\mathscr{S}=\left\lbrace0; \dfrac{1}{3} \right\rbrace

.
2.

4x^2-81=0 \Leftrightarrow (2x-9)(2x+9)=0 \Leftrightarrow 2x-9=0\;\text{ou}\;2x+9=0

\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{2}\;\text{ou}\;x=-\dfrac{9}{2}

Donc 

\mathscr{S}=\left\lbrace-\dfrac{9}{2}; \dfrac{9}{2} \right\rbrace

.
3.

[(3x-1)-(x+2)][(3x-1)+(x+2)]=0 \Leftrightarrow (3x-1-x-2)(3x-1+x+2)=0 \Leftrightarrow (2x-3)(4x+1)=0\\ \Leftrightarrow 2x-3=0\; \text{ou}\;4x+1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\; \text{ou}\; x=-\dfrac{1}{4}

Donc 

\mathscr{S}=\left\lbrace-\dfrac{1}{4}; \dfrac{3}{2} \right\rbrace

.
4.

[3(x+1)]^2-(2x+5)^2=0 \Leftrightarrow [3(x+1)-(2x+5)][3(x+1)+(2x+5)]=0 \\ \Leftrightarrow (3x+3-2x-5)(3x+3+2x+5)=0 \Leftrightarrow (x-2)(5x+8)=0 \\ \Leftrightarrow x-2=0\; \text{ou}\;5x+8=0 \iff x=2\; \text{ou} \; x=-\dfrac{8}{5}

Donc 

\mathscr{S}=\left\lbrace-\dfrac{8}{5}; 2 \right\rbrace

.
5.

(x-2)(4x+1)-2(x-2)(x-1)=0 \Leftrightarrow (x-2)[(4x+1)-2(x-1)]=0 \\ \Leftrightarrow (x-2)(4x-2x+1+2)=0 \Leftrightarrow x-2=0\;\text{ou}\;2x+3=0 \\ \Leftrightarrow x=2\; \text{ou}\;x=-\dfrac{3}{2}

Donc 

\mathscr{S}=\left\lbrace-\dfrac{3}{2}; 2 \right\rbrace

.

☛* Solution ou pas ?

*Salaire

**Résolution d'équation

**Des petits problèmes de nombres

**Un tour de magie

**Inéquation

☛*** Équation et factorisation