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Calcul numérique

Après avoir précisé la ou les valeurs interdites, écrire sous la forme d'une fraction les expressions...

Sommaire

Écriture sous la forme d'une fractionÉcriture sans radical au dénominateur☛ Inverse et radical☛ Racine carrée et carré

Écriture sous la forme d'une fraction

Après avoir précisé la ou les valeurs interdites, écrire sous la forme d'une fraction les expressions suivantes.
A(x)=1x+1+1B(x)=2x−3+4x−1C(x)=1−9x2D(x)=61−x−3x+2\begin{array}{}A(x)=\dfrac{1}{x+1}+1&\quad B(x)=\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{4}{x-1}\\C(x)=1-\dfrac{9}{x^2}&\quad D(x)=\dfrac{6}{1-x}-\dfrac{3}{x+2}\end{array}A(x)=x+11​+1C(x)=1−x29​​B(x)=x−32​+x−14​D(x)=1−x6​−x+23​​
Prolongement possible: étudier le signe des expressions précédentes.

Écriture sans radical au dénominateur

Écrire les nombres suivants sans radical au dénominateur.
Par exemple,
14+3=1×(4−3)(4+3)(4−3)=4−342−(3)2=4−316−9=4−37\dfrac{1}{4+\sqrt 3}=\dfrac{1\times (4-\sqrt 3)}{(4+\sqrt 3)(4-\sqrt 3)}=\dfrac{4-\sqrt 3}{4^2-(\sqrt 3)^2}=\dfrac{4-\sqrt 3}{16-9}=\dfrac{4-\sqrt 3}{7}4+3​1​=(4+3​)(4−3​)1×(4−3​)​=42−(3​)24−3​​=16−94−3​​=74−3​​
On a ici utilisé l'expression conjuguée de\(4+\sqrt 3\) qui est\(4-\sqrt 3\).
1.
22\quad \dfrac{2}{\sqrt 2}2​2​
2.
−67\quad\dfrac{-6}{\sqrt 7}7​−6​
3.
11+3\quad \dfrac{1}{1+\sqrt 3}1+3​1​
4.
25−1\quad\dfrac{2}{\sqrt 5-1}5​−12​
5.
23−2\quad \dfrac{\sqrt 2}{3-\sqrt 2}3−2​2​​

☛ Inverse et radical

Énoncé
Déterminer l'inverse de chacun des nombres suivants. Écrire les nombres obtenus sans radical au dénominateur.
A=2+3\quad A=2+\sqrt 3A=2+3​
B=7−6\quad B=\sqrt 7-\sqrt 6B=7​−6​
C=22−5\quad C=2\sqrt 2-\sqrt 5C=22​−5​
Solution
1A=1×(2−3)(2+3)(2−3)=2−34−3=2−3\dfrac{1}{A}=\dfrac{1\times (2-\sqrt 3)}{(2+\sqrt 3)(2-\sqrt 3)}=\dfrac{2-\sqrt 3}{4-3}=2-\sqrt 3A1​=(2+3​)(2−3​)1×(2−3​)​=4−32−3​​=2−3​
1B=1×(7+6)(7−6)(7+6)=7+67−6=7+6\dfrac{1}{B}=\dfrac{1\times (\sqrt 7+\sqrt 6)}{(\sqrt 7-\sqrt 6)(\sqrt 7+\sqrt 6)}=\dfrac{\sqrt 7+\sqrt 6}{7-6}=\sqrt 7+\sqrt 6B1​=(7​−6​)(7​+6​)1×(7​+6​)​=7−67​+6​​=7​+6​
1C=1×(22+5)(22−5)(22+5)=22+58−5=22+53\dfrac{1}{C}=\dfrac{1\times(2\sqrt 2+\sqrt 5)}{(2\sqrt 2-\sqrt 5)(2\sqrt 2+\sqrt 5)}=\dfrac{2\sqrt 2+\sqrt 5}{8-5}=\dfrac{2\sqrt 2+\sqrt 5}{3}C1​=(22​−5​)(22​+5​)1×(22​+5​)​=8−522​+5​​=322​+5​​

☛ Racine carrée et carré

Énoncé
1.Dans chaque cas, comparer les réels positifs
AAA
 et
BBB
 en les mettant au carré.a.
A=25A=2 \sqrt 5A=25​
 et 
B=32B=3\sqrt 2B=32​
b. 
A=3−2A=\sqrt 3-\sqrt 2A=3​−2​
 et 
B=6−26B=\sqrt{6-2\sqrt 6}B=6−26​​
2.On considère le réel 
A=3+53−5+3−53+5A=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt 5}{3-\sqrt 5}}+\sqrt{\dfrac{3-\sqrt 5}{3+\sqrt 5}}A=3−5​3+5​​​+3+5​3−5​​​
.
Calculer
AAA
. Astuce : élever\(A\) au carré!
Solution
1. a. Les réels
AAA
 et
BBB
 sont positifs. Ils sont donc rangés dans le même ordre que leurs carrés.
A2=(25)2=4×5=20A^2=(2\sqrt5)^2=4\times 5=20A2=(25​)2=4×5=20
 et 
B2=9×2=18B^2=9\times 2=18B2=9×2=18
. On a 
B2<A2B^2<A^2B2<A2
.
    Donc 
B<AB<AB<A
.b.Les réels
AAA
 et
BBB
 sont positifs. Ils sont donc rangés dans le même ordre que leurs carrés.
A2=(3−2)2=3−26+2=5−26A^2=(\sqrt 3-\sqrt 2)^2=3-2\sqrt 6+2=5-2\sqrt6A2=(3​−2​)2=3−26​+2=5−26​
 et 
B2=6−26B^2=6-2\sqrt 6B2=6−26​
. On a 
A2<B2A^2<B^2A2<B2
.Donc 
A<BA<BA<B
​​​​​​.
2. Le réel 
AAA
 est un nombre positif puisque c'est la somme de deux racines carrées qui sont positives.
On élève
AAA
 au carré.
On utilise la première identité remarquable.
A2=3+53−5+23+53−5×3−53+5+3−53+5A^2=\dfrac{3+\sqrt 5}{3-\sqrt 5}+2\sqrt{\dfrac{3+\sqrt 5}{3-\sqrt 5}\times\dfrac{3-\sqrt 5}{3+\sqrt 5}}+\dfrac{3-\sqrt5}{3+\sqrt 5}A2=3−5​3+5​​+23−5​3+5​​×3+5​3−5​​​+3+5​3−5​​
A2=2+(3+5)2+(3−5)2(3−5)(3+5)=2+14+65+14−659−5=2+284=2+7=9A^2=2+\dfrac{(3+\sqrt 5)^2+(3-\sqrt 5)^2}{(3-\sqrt 5)(3+\sqrt 5)}=2+\dfrac{14+6\sqrt 5+14-6\sqrt 5}{9-5}=2+\dfrac{28}{4}=2+7=9A2=2+(3−5​)(3+5​)(3+5​)2+(3−5​)2​=2+9−514+65​+14−65​​=2+428​=2+7=9
Comme 
A>0A>0A>0
, on obtient
A=3A=3A=3
.