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Calcul littéral

Pour chaque expression littérale, déterminer l'ensemble dans lequel se trouve la variable 

Sommaire

Ensemble de définitionVers "l'identification"☛ Developper une expression littéraleÀ la découverte d'autres identités remarquablesDémontrer une égalité☛ Factoriser une expression littéraleExpression et valeur absolueDéfis

Ensemble de définition

Pour chaque expression littérale, déterminer l'ensemble dans lequel se trouve la variable 
xxx
 afin que cette expression soit définie.
1.
f1(x)=3x−6f_1(x)=\sqrt{3x-6}f1​(x)=3x−6​
2.
f2(x)=1−xf_2(x)=\sqrt{1-x}f2​(x)=1−x​
3.
f3(x)=x2f_3(x)=\sqrt{x^2}f3​(x)=x2​
4. 
f4(x)=1x2−1f_4(x)=\dfrac{1}{x^2-1 }f4​(x)=x2−11​
5.
f5(x)=22+xf_5(x)=\dfrac{2}{\sqrt{2+x}}f5​(x)=2+x​2​

Vers "l'identification"

Exercice 1
Après avoir précisé la ou les valeurs interdites, montrer les égalités suivantes.
1.
4x2+7x+1x+2=4x−1+3x+2\dfrac{4x^2+7x+1}{x+2}=4x-1+\dfrac{3}{x+2}x+24x2+7x+1​=4x−1+x+23​
2.
x2−5x+5x−3=x−2−1x−3\dfrac{x^2-5x+5}{x-3}=x-2-\dfrac{1}{x-3}x−3x2−5x+5​=x−2−x−31​
Exercice 2
Pour chaque égalité, préciser la ou les valeurs interdites, puis déterminer les réels 
a,ba,ba,b
 et 
ccc
 tels que :
1. 
3x2−2x+4x=ax+b+cx\dfrac{3x^2-2x+4}{x}=ax+b+\dfrac{c}{x}x3x2−2x+4​=ax+b+xc​
2. 
−x2−2x+5x+3=ax+b+cx+3\dfrac{-x^2-2x+5}{x+3}=ax+b+\dfrac{c}{x+3}x+3−x2−2x+5​=ax+b+x+3c​

☛ Developper une expression littérale

Énoncé
Développer les expressions suivantes.
1.
A1(x)=(3x+2)2A_1(x)=(\sqrt3x+\sqrt2)^2A1​(x)=(3​x+2​)2
2.
A2(a)=(a3−1)2A_2(a)=(a^3-1)^2A2​(a)=(a3−1)2
3.
A3(y)=(2y2−1)2−2(4−y)2A_3(y)=(2y^2-1)^2-2(4-y)^2A3​(y)=(2y2−1)2−2(4−y)2
4.
A4(x)=(2−x)3A_4(x)=(2-x)^3A4​(x)=(2−x)3
5.
A5(x)=(x+1+2)(x+1−2)A_5(x)=(x+1+\sqrt 2)(x+1-\sqrt 2)A5​(x)=(x+1+2​)(x+1−2​)
6.
A6(y)=(2y−1)(y+3)(4y−5)A_6(y)=(2y-1)(y+3)(4y-5)A6​(y)=(2y−1)(y+3)(4y−5)
Solution
1.
A1(x)=(3x)2+2×3x×2+22=3x2+26x+2A_1(x)=(\sqrt3x)^2+2\times \sqrt3x\times \sqrt 2+\sqrt 2^2=3x^2+2\sqrt 6x+2A1​(x)=(3​x)2+2×3​x×2​+2​2=3x2+26​x+2
2.
A2(a)=(a3)2−2×a3×1+12=a6−2a3+1A_2(a)=(a^3)^2-2\times a^3 \times 1+1^2=a^6-2a^3+1A2​(a)=(a3)2−2×a3×1+12=a6−2a3+1
3.
A3(y)=(2y2)2−2×2y2×1+12−2(42−2×4×y+y2)=4y4−4y2+1−32+16y−2y2=4y4−6y2+16y−31A_3(y)=(2y^2)^2-2\times 2y^2 \times 1+1^2-2(4^2-2\times 4 \times y+y^2)\\=4y^4-4y^2+1-32+16y-2y^2=4y^4-6y^2+16y-31A3​(y)=(2y2)2−2×2y2×1+12−2(42−2×4×y+y2)=4y4−4y2+1−32+16y−2y2=4y4−6y2+16y−31
4.
A4(x)=(2−x)2(2−x)=(4−4x+x2)(2−x)=8−4x−8x+4x2+2x2−x3=−x3+6x2−12x+8A_4(x)=(2-x)^2(2-x)=(4-4x+x^2)(2-x)=8-4x-8x+4x^2+2x^2-x^3\\=-x^3+6x^2-12x+8A4​(x)=(2−x)2(2−x)=(4−4x+x2)(2−x)=8−4x−8x+4x2+2x2−x3=−x3+6x2−12x+8
Autre méthode
On utilise l'identité remarquable :
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
, pour tous réels
aaa
 et
bbb
.
Donc 
A4(x)=(2−x)3=23−3×22×x+3×2×x2−x3=−x3+6x2−12x+8A_4(x)=(2-x)^3=2^3-3\times 2^2\times x+3\times 2\times x^2-x^3=-x^3+6x^2-12x+8A4​(x)=(2−x)3=23−3×22×x+3×2×x2−x3=−x3+6x2−12x+8
5.
A5(x)=(x+1)2−22=x2+2x+12−2=x2+2x−1A_5(x)=(x+1)^2-\sqrt 2^2=x^2+2x+1^2-2=x^2+2x-1A5​(x)=(x+1)2−2​2=x2+2x+12−2=x2+2x−1
6.
A6(y)=(2y2+6y−y−3)(4y−5)=(2y2+5y−3)(4y−5)=8y3−10y2+20y2−25y−12y+15=8y3+10y2−37y+15A_6(y)=(2y^2+6y-y-3)(4y-5)=(2y^2+5y-3)(4y-5)\\=8y^3-10y^2+20y^2-25y-12y+15=8y^3+10y^2-37y+15A6​(y)=(2y2+6y−y−3)(4y−5)=(2y2+5y−3)(4y−5)=8y3−10y2+20y2−25y−12y+15=8y3+10y2−37y+15

À la découverte d'autres identités remarquables

1.Soit 
a,  b  et  ca,\;b\; \text{et}\;ca,betc
 trois nombres réels. Démontrer que l'on a :
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc\quad (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
2.Soit 
aaa
 et 
bbb
 deux nombres réels. Démontrer que l'on a :a.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
b.
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
3.Soit 
aaa
 et 
bbb
 deux nombres réels. Démontrer que l'on a :a. 
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
    b.
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)

Démontrer une égalité

Soit 
aaa
 et 
bbb
 deux nombres réels.
Démontrer que :
1.
a4−b4=(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)a4−b4=(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)
2.
a4+b4=(a2+2ab+b2)(a2−2ab+b2)a^4+b^4=(a^2+\sqrt 2ab+b^2)(a^2-\sqrt 2ab+b^2)a4+b4=(a2+2​ab+b2)(a2−2​ab+b2)

☛ Factoriser une expression littérale

Énoncé
Factoriser les expressions suivantes.
A(x)=4x2−9+(2x−3)(7x−1)\quad A(x)=4x^2-9+(2x-3)(7x-1)A(x)=4x2−9+(2x−3)(7x−1)
B(x)=x3−x+3(x+1)(x+5)\quad B(x)=x^3-x+3(x+1)(x+5)B(x)=x3−x+3(x+1)(x+5)
C(x)=x2−2x+1−2(x−1)(5x−3)\quad C(x)=x^2-2x+1-2(x-1)(5x-3)C(x)=x2−2x+1−2(x−1)(5x−3)
D(x)=25x2−9−(3−5x)(6−7x)\quad D(x)=25x^2-9-(3-5x)(6-7x)D(x)=25x2−9−(3−5x)(6−7x)
Solution
A(x)=(2x−3)(2x+3)+(2x−3)(7x−1)=(2x−3)[(2x+3)+(7x−1)]=(2x−3)(2x+3+7x−1)=(2x−3)(9x+2)A(x)=(2x-3)(2x+3)+(2x-3)(7x-1)=(2x-3)[(2x+3)+(7x-1)]\\ \quad=(2x-3)(2x+3+7x-1)=(2x-3)(9x+2)A(x)=(2x−3)(2x+3)+(2x−3)(7x−1)=(2x−3)[(2x+3)+(7x−1)]=(2x−3)(2x+3+7x−1)=(2x−3)(9x+2)
B(x)=x(x2−1)+3(x+1)(x+5)=x(x−1)(x+1)+3(x+1)(x+5)=(x+1)[x(x−1)+3(x+5)]=(x+1)(x2−x+3x+15)=(x+1)(x2+2x+15)B(x)=x(x^2-1)+3(x+1)(x+5)=x(x-1)(x+1)+3(x+1)(x+5)\\ \quad =(x+1)[x(x-1)+3(x+5)]=(x+1)(x^2-x+3x+15)=(x+1)(x^2+2x+15)B(x)=x(x2−1)+3(x+1)(x+5)=x(x−1)(x+1)+3(x+1)(x+5)=(x+1)[x(x−1)+3(x+5)]=(x+1)(x2−x+3x+15)=(x+1)(x2+2x+15)
C(x)=(x−1)2−2(x−1)(5x−3)=(x−1)[(x−1)−2(5x−3)]=(x−1)(x−1−10x+6)=(x−1)(−9x+5)C(x)=(x-1)^2-2(x-1)(5x-3)=(x-1)[(x-1)-2(5x-3)]\\ \quad =(x-1)(x-1-10x+6) =(x-1)(-9x+5)C(x)=(x−1)2−2(x−1)(5x−3)=(x−1)[(x−1)−2(5x−3)]=(x−1)(x−1−10x+6)=(x−1)(−9x+5)
D(x)=(5x−3)(5x+3)−(3−5x)(6−7x)=(5x−3)(5x+3)+(5x−3)(6−7x)=(5x−3)[(5x+3)+(6−7x)]=(5x−3)(5x+3+6−7x)=(5x−3)(−2x+9)D(x)=(5x-3)(5x+3)-(3-5x)(6-7x)=(5x-3)(5x+3)+(5x-3)(6-7x)\\ \quad =(5x-3)[(5x+3)+(6-7x)]=(5x-3)(5x+3+6-7x)=(5x-3)(-2x+9)D(x)=(5x−3)(5x+3)−(3−5x)(6−7x)=(5x−3)(5x+3)+(5x−3)(6−7x)=(5x−3)[(5x+3)+(6−7x)]=(5x−3)(5x+3+6−7x)=(5x−3)(−2x+9)

Expression et valeur absolue

Exprimer chacun des cas suivants sans valeur absolue.
1.
f_1(x)=|x+1|
2.
f_2(x)=|2-4x|
3.
f_3(x)=|x-2|+|x+4|
4.
f_4(x)=|2x+1|-|x-5|
5.
f_5(x)=3|x+1|-x+2

Défis

1.Soit
n∈Nn\in \mathbb{N}n∈N
. On considère l'expression 
(8n+1+8n)2(4n−4n−1)3\dfrac{(8^{n+1}+8^n)^2}{(4^n-4^{n-1})^3}(4n−4n−1)3(8n+1+8n)2​
.a.Déterminer la valeur de cette expression pour 
n=0  ;n=1  ;n=2n=0\;;n=1\;;n=2n=0;n=1;n=2
 et 
n=3n=3n=3
.
        Que constatez-vous ?b.Avez-vous une explication ?
2.Déterminer le plus petit entier naturel 
nnn
 tel que :
11+2+12+3+13+4+...+1n−2+n−1+1n−1+n≥99\quad \dfrac{1}{1+\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 2 +\sqrt 3}+\dfrac{1}{\sqrt 3 +\sqrt 4}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n-2}+\sqrt{n-1} }+\dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\geq 991+2​1​+2​+3​1​+3​+4​1​+...+n−2​+n−1​1​+n−1​+n​1​≥99